Teorema da norma de Hasse

Na teoría dos números, o teorema da norma de Hasse indica que se L/K é unha extensión cíclica de corpos numéricos, entón se un elemento distinto de cero de K é unha norma local en todas as partes, entón é unha norma global.^[1] Aquí ser unha norma global significa ser un elemento k de K tal que hai un elemento l de L con ${\displaystyle \mathbf {N} _{L/K}(l)=k}$; noutras palabras k é unha norma relativa dalgún elemento do corpo de extensión L. Ser unha norma local significa que para algún primo p de K e algún primo P de L sobre K, entón k é unha norma de L_P; aquí o "primo" p pode ser unha valoración arquimedeana, e o teorema é unha afirmación sobre os completamentos en todas as valoracións, arquimedeanas e non arquímedes.

O teorema non é certo en xeral se a extensión é abeliana mais non cíclica. Hasse deu o contraexemplo de que 3 é unha norma local en todas as partes para a extensión ${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}},{\sqrt {13}})/{\mathbf {Q} }}$ mais non é unha norma global. Serre e Tate demostraron que outro contraexemplo vén dado polo corpo ${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {13}},{\sqrt {17}})/{\mathbf {Q} }}$ onde cada cadrado racional é unha norma local en todas as partes mais ${\displaystyle 5^{2}}$ non é unha norma global.

Este é un exemplo dun teorema que estabelece un principio local-global.

O teorema completo débese a Hasse (1931). O caso especial cando o grao n da extensión é 2 foi probado por Hilbert (1897), e o caso especial cando n é primo foi demostrado por Furtwangler en 1902.^{[Cómpre referencia]}

O teorema da norma de Hasse pódese deducir do teorema de que un elemento do grupo de cohomoloxía de Galois H²(L/K) é trivial se é trivial localmente en todas as partes, o que á súa vez é equivalente ao teorema profundo de que a primeira cohomoloxía do grupo de clases ideles desaparece. Isto é certo para todas as extensións finitas de Galois de corpos numéricos, non só para as cíclicas. Para extensións cíclicas o grupo H²(L/K) é isomorfo ao grupo de cohomoloxía de Tate H⁰( L/K) que describe que elementos son normas, polo que para as extensións cíclicas convértese no teorema de Hasse de que un elemento é unha norma se é unha norma local en todas as partes.

• Hasse, H. (1931). Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. pp. 64–69. 
• H. Hasse, "A history of class field theory", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.XI.
• G. Janusz, Algebraic number fields, Academic Press, 1973. Theorem V.4.5, p. 156
• Hilbert, David (1897). Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en German) 4. pp. 175–546. ISSN 0012-0456. 

• Lema de Hensel.
• Principio local-global.