Relación de congruencia

En álxebra abstracta, unha relación de congruencia (ou simplemente congruencia) é unha relación de equivalencia nunha estrutura alxébrica (como un grupo, anel ou espazo vectorial) que é compatíbel coa estrutura no sentido de que as operacións alxébricas feitas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes.^[1] Toda relación de congruencia ten unha estrutura cociente correspondente, cuxos elementos son as clases de equivalencia (ou clases de congruencia) para a relación. ^[2]

A definición dunha congruencia depende do tipo de estrutura alxébrica que se considere. Pódense facer definicións particulares de congruencia para grupos, aneis, espazos vectoriais, módulos, semigrupos, retículas e outras. O tema común é que unha congruencia é unha relación de equivalencia sobre un obxecto alxébrico que é compatíbel coa estrutura alxébrica, no sentido de que as operacións están ben definidas nas clases de equivalencia.

A noción xeral dunha relación de congruencia pódese definir formalmente no contexto da álxebra universal, un campo que estuda ideas comúns a todas as estruturas alxébricas. Neste escenario, unha relación ${\displaystyle R}$ nunha determinada estrutura alxébrica chámase compatíbel se

para cada ${\displaystyle n}$ e cada operación ${\displaystyle n}$-aria ${\displaystyle \mu }$ definida sobre a estrutura: sempre que ${\displaystyle a_{1}\mathrel {R} a'_{1}}$ e... e ${\displaystyle a_{n}\mathrel {R} a'_{n}}$, entón ${\displaystyle \mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})}$.

Unha relación de congruencia na estrutura defínese daquela como unha relación de equivalencia que tamén é compatíbel.^{[3] [4]}

O exemplo prototípico dunha relación de congruencia é a congruencia módulo ${\displaystyle n}$ no conxunto de números enteiros. Para un número enteiro positivo dado ${\displaystyle n}$, dous números enteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ chámanse congruentes módulo ${\displaystyle n}$, escrito

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

se ${\displaystyle a-b}$ é divisíbel por ${\displaystyle n}$ (ou equivalentemente se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ teñen o mesmo resto cando se divide por ${\displaystyle n}$).

Por exemplo, ${\displaystyle 37}$ e ${\displaystyle 57}$ son congruentes módulo ${\displaystyle 10}$,

${\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}}$

xa que ${\displaystyle 37-57=-20}$ é múltiplo de 10, ou o equivalente xa que ambos ${\displaystyle 37}$ e ${\displaystyle 57}$ teñen un resto de ${\displaystyle 7}$ cando se divide por ${\displaystyle 10}$.

A congruencia módulo ${\displaystyle n}$ (para un ${\displaystyle n}$ fixo) é compatíbel tanto coa suma como coa multiplicación dos números enteiros. É dicir,

se ${\displaystyle \quad a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}}$ e ${\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$

daquela ${\displaystyle \quad a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}}$ e ${\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}$.

A adición e multiplicación correspondentes de clases de equivalencia coñécese como aritmética modular. Desde o punto de vista da álxebra abstracta, a congruencia módulo ${\displaystyle n}$ é unha relación de congruencia no anel de enteiros e a aritmética módulo ${\displaystyle n}$ ocorre no anel cociente correspondente.

Por exemplo, un grupo é un obxecto alxébrico que consiste nun conxunto xunto cunha única operación binaria, que satisfai certos axiomas. Se ${\displaystyle G}$ é un grupo con operación ${\displaystyle \ast }$, unha relación de congruencia sobre ${\displaystyle G}$ é unha relación de equivalencia ${\displaystyle \equiv }$ sobre os elementos de ${\displaystyle G}$ a satisfacer

${\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}$ e ${\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}$

para todos ${\displaystyle g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G}$. Para unha congruencia nun grupo, a clase de equivalencia que contén o elemento identidade é sempre un subgrupo normal, e as outras clases de equivalencia son as outras clases deste subgrupo. En conxunto, estas clases de equivalencia son os elementos dun grupo cociente.

Cando unha estrutura alxébrica inclúe máis dunha operación, as relacións de congruencia deben ser compatíbeis con cada operación. Por exemplo, un anel posúe suma e multiplicación, e unha relación de congruencia nun anel debe satisfacer

${\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}}$ e ${\displaystyle r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}$

sempre que ${\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}}$ e ${\displaystyle s_{1}\equiv s_{2}}$. Para unha congruencia nun anel, a clase de equivalencia que contén o 0 é sempre un ideal polos dous lados, e as dúas operacións sobre o conxunto de clases de equivalencia definen o anel cociente correspondente.

Se ${\displaystyle f:A\,\rightarrow B}$ é un homomorfismo entre dúas estruturas alxébricas (como o homomorfismo de grupos, ou un mapa linear entre espazos vectoriais), entón a relación ${\displaystyle R}$ definida por

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}$ se e só se ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$

é unha relación de congruencia sobre ${\displaystyle A}$. Polo primeiro teorema de isomorfismo, a imaxe de A baixo ${\displaystyle f}$ é unha subestrutura de B isomórfica ao cociente de A por esta congruencia.

Por outra banda, a relación de congruencia ${\displaystyle R}$ induce un homomorfismo único ${\displaystyle f:A\rightarrow A/R}$ dado por

${\displaystyle f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}}$ .

Así, hai unha correspondencia natural entre as congruencias e os homomorfismos de calquera estrutura alxébrica dada.

No caso particular dos grupos, as relacións de congruencia pódense describir en termos elementais do seguinte xeito: Se G é un grupo (con elemento de identidade e e operación *) e o símbolo ~ é unha relación binaria en G, entón ~ é unha congruencia sempre que:

1. Dado calquera elemento a de G, a ~ a (reflexividade);
2. Dados os elementos a e b de G, se a ~ b, entón b ~ a (simetría);
3. Dados os elementos a, b e c de G, se a ~ b e b ~ c, entón a ~ c (transitividade);
4. Dados os elementos a, a ′, b e b ′ de G, se a ~ a′ e b ~ b′, entón a * b ~ a′ * b′;
5. Dados os elementos a e a ′ de G, se a ~ a′, entón a⁻¹ ~ a′⁻¹ (isto está implícito polos outros catro, ^{[note 1]} polo que é estritamente redundante).

As condicións 1, 2 e 3 din que ~ é unha relación de equivalencia.

Unha congruencia ~ está determinada enteiramente polo conxunto {a ∈ G | a ~ e} daqueles elementos de G que son congruentes co elemento identidade, e este conxunto é un subgrupo normal. En concreto, a ~ b se e só se b⁻¹ * a ~ e. Entón, en lugar de falar de congruencias en grupos, a xente adoita falar en termos de subgrupos normais deles; de feito, toda congruencia corresponde unicamente a algún subgrupo normal de G.

Un truco semellante permite falar dos núcleos na teoría de aneis como ideais en lugar de relacións de congruencia, e na teoría de módulos como submódulos en lugar de relacións de congruencia.

Unha situación máis xeral na que este truco é posíbel é cos grupos Omega (no sentido xeral que permiten operadores con aridade múltiple). Pero isto non se pode facer, por exemplo, con monoides, polo que o estudo das relacións de congruencia xoga un papel máis central na teoría dos monoides.

A noción xeral de congruencia é particularmente útil na álxebra universal. Unha formulación equivalente neste contexto é a seguinte: ^[4]

Unha relación de congruencia nunha álxebra A é un subconxunto do produto directo A × A que é á vez unha relación de equivalencia en A e unha subálxebra de A × A.

O kernel dun homomorfismo é sempre unha congruencia. De feito, toda congruencia xorde como un kernel. Para unha congruencia dada ~ sobre A, no conxunto A / ~ de clases de equivalencia pódese dar a estrutura dunha álxebra de forma natural, a álxebra cociente. A función que asigna cada elemento de A á súa clase de equivalencia é un homomorfismo, e o kernel deste homomorfismo é ~.

A rede Con (A) de todas as relacións de congruencia nunha álxebra A é unha retícula alxébrica.

Nun grupo determínase unha congruencia se coñecemos unha única clase de congruencia, en particular se coñecemos o subgrupo normal que é a clase que contén a identidade. Do mesmo xeito, nun anel determínase unha congruencia se coñecemos o ideal que é a clase de congruencia que contén o cero.

Nos semigrupos non existe tal ocorrencia afortunada, polo que estamos ante a necesidade de estudar as congruencias como tal. Máis que outra cousa, é esta necesidade a que dá á teoría dos semigrupos o seu sabor característico. Os semigrupos son de feito o primeiro e máis sinxelo tipo de álxebra ao que se deben aplicar os métodos da álxebra universal. ... ^[5]

• Barendregt, Henk (1990). "Functional Programming and Lambda Calculus". En Jan van Leeuwen. Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science B. Elsevier. pp. 321–364. ISBN 0-444-88074-7. 
• Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. Taylor & Francis. 
• Horn; Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.  (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
• Howie, J. M. (1975). An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. 
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Springer-Verlag. 
• Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939. 

• Teorema chinés do resto.
• Relación de equivalencia.