Rango (álxebra linear)

• o rango dunha familia de vectores é a dimensión do subespazo vectorial xerado por esta familia. Por exemplo, para unha familia de vectores linearmente independentes, o seu rango é o número de vectores;
• o rango dun mapa linear ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle F}$ é a dimensión da súa imaxe, que é un subespazo vectorial de ${\displaystyle F}$. O teorema do rango relaciona a dimensión de ${\displaystyle E}$, a dimensión do kernel de ${\displaystyle f}$ e o rango de ${\displaystyle f}$;
• o rango dunha matriz é o rango do mapa linear que representa, ou o rango da familia dos seus vectores columna;
• O rango dun sistema de ecuacións lineares é o número de ecuacións que ten calquera sistema escalonado equivalente. É igual ao rango da matriz de coeficientes do sistema.

O rango dunha matriz ${\displaystyle A}$ (cuxos coeficientes pertencen a un corpo conmutativo de escalares, ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ), denotado ${\displaystyle {\text{rank}}(A)}$, pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados:

• o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
• a dimensión do subespazo vectorial xerado polos vectores fila (ou columna) de ${\displaystyle A}$;
• a maior orde das matrices cadradas invertíbeis extraídas de ${\displaystyle A}$;
• a maior das ordes de menores non nulos de ${\displaystyle A}$;
• o menor tamaño das matrices ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ cuxo produto é igual a ${\displaystyle A}$.

O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o método Gauss-Jordan e examinando a forma escalonada obtida deste xeito.

Considere a seguinte matriz :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&2&3\\2&0&4&6\\0&2&2&0\\1&2&4&3\\\end{pmatrix}}}$

Chamamos ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}}$ os vectores formados polas catro filas de ${\displaystyle A}$.

Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de ${\displaystyle A}$ é igual ao da familia ${\displaystyle (l_{1},l_{3},l_{4})}$ .

Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i.e. ${\displaystyle l_{4}=l_{1}+l_{3}}$ ). Entón o rango de ${\displaystyle (l_{1},l_{3},l_{4})}$ é igual ao de ${\displaystyle (l_{1},l_{3})}$ .

As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que ${\displaystyle (l_{1},l_{3})}$ é de rango 2 e por tanto o rango de ${\displaystyle A}$ é 2.

O rango dunha forma cuadrática é o rango da matriz asociada.

Dados dous ${\displaystyle K}$-espazos vectoriais ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, onde ${\displaystyle K}$ é un corpo conmutativo e un mapa linear ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle F}$, o rango de ${\displaystyle f}$ é a dimensión da imaxe ${\displaystyle f}$.

Se ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle F}$ son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada ${\displaystyle f}$ en dúas bases de ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle F}$. En particular, o rango da matriz asociada ${\displaystyle f}$ non depende das bases escollidas para representar ${\displaystyle f}$. De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva ${\displaystyle {\text{rank}}\left(P^{-1}AQ\right)={\text{rank}}(A)}$, onde ${\displaystyle A}$ é a matriz que representa ${\displaystyle f}$ nun primeiro par de bases, e ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ son as matrices de cambio de bases.

• Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
• Tamén podemos definir o rango dunha familia ${\displaystyle u}$ por : ${\displaystyle {\text{rank}}(u)=\dim({\text{Vect}}(u))}$ .

Nota : se ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})}$ é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a ${\displaystyle n}$, entón o rango de ${\displaystyle u}$ é o rango do mapa linear $${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\rightarrow E:(r_{1},\dots ,r_{n})\mapsto \sum r_{i}u_{i}}$$Onde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ é o corpo dos escalares. A razón é esta : ${\displaystyle {\text{Vect}}(u)}$ é a imaxe deste mapa linear.

Teorema do rango: sexa ${\displaystyle f}$ unha aplicación linear de ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \dim(E)={\text{rank}}(f)+\dim({\text{Ker}}(f))}$

No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.

Sexa ${\displaystyle K}$ un corpo non necesariamente conmutativo e ${\displaystyle M}$ unha matriz con m filas e n columnas con coeficientes en ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Chamamos rango de ${\displaystyle M}$ (en relación con ${\displaystyle K}$) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle K^{m}}$ equipado coa súa estrutura de ${\displaystyle K}$-espazo vectorial pola dereita^[1]. Demostramos que o rango de ${\displaystyle M}$ tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola esquerda^[2].

Considere por exemplo un corpo non conmutativo K e a matriz ${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a&1\\ca&c\\\end{pmatrix}}}$, onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle c}$ son dous elementos de ${\displaystyle K}$ que non conmutan (e son distintos de cero).

As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola esquerda ${\displaystyle K^{2}}$, porque ${\displaystyle c(a,1)-(ca,c)=(0,0)}$. Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola dereita ${\displaystyle K^{2}}$, porque ${\displaystyle (a,ca)-(1,c)a=(0,0)}$. O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.

Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial pola esquerda ${\displaystyle K^{2}}$. De feito, sexan ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$ escalares tal que ${\displaystyle d(a,ca)+e(1,c)=(0,0)}$. Entón (primeiros compoñentes) ${\displaystyle e=-da}$, polo tanto (segundos compoñentes) ${\displaystyle dca-dac=0}$. Posto que ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c}$ non conmutan, isto resulta en ${\displaystyle d=0}$ (ao multiplicar por ${\displaystyle d^{-1}}$ obtemos unha contradición) . Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial pola esquerda ${\displaystyle K^{2}}$.

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

• Rango dun módulo libre.

• WolframAlpha matrix rank calculator.