Neuse

A neuse é un método de construción xeométrica, no que se emprega unha regra na que se marca unha distancia que debe encaixarse entre dúas curvas, e que ademais debe pasar por un punto dado.^[1] Foi utilizado na antigüidade por matemáticos gregos, aínda que era considerado un recurso atípico que só se debía empregar para abordar determinados problemas cuxa resolución non parecía posible usando exclusivamente regra e compás (nos que non se admite valerse dunha regra cunha marca de distancia).

A construción neuse (do grego νεῦσις de νεύειν neuein "dirección de inclinación"; plural: νεύσεις neuseis) consiste en axustar a posición dun segmento rectilíneo de lonxitude prefixada (denominada diastema, da palabra grega "διάστημα", que significa "distancia") entre dúas curvas dadas (denominadas curva directriz e curva de axuste), de maneira que o segmento ou a súa extensión, pasa a través dun punto dado denominado polo. Dito doutra forma, a posición buscada debe verificar tres condicións: un dos extremos do segmento ten que situarse sobre a curva directriz; o outro extremo ten que situarse sobre a curva de axuste e o segmento ou a súa prolongación debe pasar polo polo.

Unha construción neuse débese realizar mediante o uso da 'regra neusis': unha regra que pode facer rotacións arredor do polo (o que se pode realizar pondo unha chincheta no polo e despois presionando a regra contra a chincheta). Na figura, unha das terminacións da regra está marcada cun círculo amarelo, cuxo centro coincide coa orixe da división da escala da regra. Unha segunda marca na regra (o círculo azul) indica a distancia dada, denominada diastema. A marca amarela móvese ao longo da curva directriz, ata que a marca azul coincide coa curva de axuste. A posición do segmento atopado desta forma móstrase na figura co punto remarcado en azul e o punto remarcado en vermello.

A neuse foi importante porque pode fornecer unha forma de resolver problemas xeométricos que non se poden solucionar a través de construcións con regra e compás unicamente. Exemplos son a trisección de calquera ángulo en tres partes iguais, ou a construción dun heptágono regular.^[2] Matemáticos tales como Arquímedes de Siracusa (287–212 a.C.) utilizaban neuse libremente. Séculos despois Isaac Newton continuaba empregando este procedemento.^[3] Con todo, a técnica caeu en desuso gradualmente.

Sábese que un n-ágono regular é construible mediante neuse para n=

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30 , 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68 , 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111 , 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, ...

Benjamin e Snyder descubriron en 2014 que o endecágono regular é neuse-construible.^[4]

O historiador das matemáticas Thomas Little Heath, suxeriu que Oenópides (440 a.C.) foi o primeiro dos matemáticos gregos en pór as construcións con regra e compás por encima das neuses. O principio de evitar a neuse sempre que fose posible, puido ser difundido por Hipócrates de Quíos (430 a.C.), orixinario da mesma illa que Oenopides, e quen foi —polo que se sabe— o primeiro en escribir libros sobre xeometría sistemática e ordenada. Cen anos despois del, Euclides tamén evitou a neuse no seu moi influente libro, Os Elementos.

O seguinte ataque á neuse veu cando, desde o século IV a.C., o idealismo de Platón gañou terreo. Baixo a súa influencia desenvolveuse unha xerarquía de tres tipos de construcións xeométricas. Descendendo desde o "abstracto e nobre" até o "mecánico e terreal", as tres clases eran:

1. Construcións só con liñas rectas e circunferencias (regra e compás);
2. Construcións que ademais utilizaban as seccións cónicas (elipses, parábolas, hipérboles);
3. Construcións que necesitan outras técnicas, por exemplo a neuse.

Ao final o uso de neuse foi aceptado soamente cando as outras dúas categorías de construción máis elevadas non ofrecían unha solución. A neuse converteuse nun tipo de recurso de última necesidade que se utilizaba cando fallaban todos os demais e máis respectables métodos. Empregar a neuse cando algún dos outros métodos podían ser utilizados foi cualificado polo matemático grego Pappus de Alexandría (325 d.C.) como un "erro a considerar".

• Trisección do ángulo
• Duplicación do cubo
• Cuadratura do círculo

• R. Boeker, 'Neusis', en: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa rede. (1894–), Suplemento 9 (1962) 415–461.– En alemán. A revisión máis comprensiva; con todo, o autor ten opinións curiosas ás veces.
• T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
• H. G. Zeuthen, Die Lehre von dean Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

• Weisstein, Eric W. «NeusisConstruction». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Trisección do ángulo por Paper Folding, inglés