Forma (xeometría)

Unha forma é a configuración dun obxecto no seu contorno ou límites externos, na súa superficie externa, e é independente doutras propiedades como a cor, textura, ou tipo de material.

Algunhas formas sinxelas pódense clasificar en grandes categorías. Por exemplo, os polígonos clasifícanse segundo o seu número de arestas como triángulos, cuadriláteros, pentágonos etc. Cada un deles divídese en categorías máis pequenas, como regulares e irregulares. Os triángulos poden ser equiláteros, isósceles, obtusos, agudos, escalenos etc. mentres que os cuadriláteros poden ser rectángulos, rombos, trapecios, cadrados etc.

Outras formas comúns son puntos, liñas, planos e seccións cónicas como elipses, círculos e parábolas.

Entre as formas tridimensionais máis comúns están a poliedros, que son formas con caras planas, ou os elipsoides, con forma de ovo ou de esfera, os cilindros e os conos.

Se un obxecto cae nunha destas categorías exactamente ou mesmo aproximadamente, podemos utilizalo para describir a forma do obxecto. Así, dicimos que a forma da tapa dun sumidoiro é un disco, porque a súa forma aproximada é o mesmo obxecto xeométrico que un disco ou círculo.

Unha forma xeométrica é a información xeométrica que fica cando a localización, escala, orientación e reflexión son eliminadas da descrición dun obxecto xeométrico.^[1] É dicir, o resultado de mover unha forma arredor, ampliala, xirala ou reflectila nun espello é a mesma forma que a orixinal e non unha forma distinta.

Moitas formas xeométricas bidimensionais poden definirse por un conxunto de puntos ou vértices e liñas que conectan os puntos nunha cadea pechada, así como os puntos interiores resultantes. Estas formas chámanse polígonos e inclúen triángulos, cadrados e pentágonos. Outras formas poden estar delimitadas por curvas como o círculo ou a elipse.

Moitas formas xeométricas tridimensionais poden definirse por un conxunto de vértices, liñas que conectan os vértices e caras bidimensionais encerradas por esas liñas, así como os puntos interiores resultantes. Estas formas chámanse poliedros e inclúen cubos e pirámides como os tetraedros. Outras formas tridimensionais poden estar delimitadas por superficies curvas, como o elipsoide e a esfera.

Dise que unha forma é convexa se todos os puntos dun segmento de liña entre dous dos seus puntos tamén forman parte da forma.

Hai varias formas de comparar as formas de dous obxectos:

• Congruencia: dous obxectos son congruentes se un pode transformarse no outro mediante unha secuencia de rotacións, translacións e / ou reflexos.
• Semellanza : dous obxectos son similares se un pode transformarse no outro mediante unha escala uniforme, xunto cunha secuencia de rotacións, translacións e / ou reflexos.
• Isotopía : dous obxectos son isotópicos se un pode transformarse no outro mediante unha secuencia de deformacións que non rasgan o obxecto nin lle poñen furados.

Ás veces, pódese considerar que dous obxectos similares ou congruentes teñen unha forma diferente se se precisa unha reflexión para transformalos nun no outro. Por exemplo, as letras " b " e " d " son un reflexo mutuo e, polo tanto, son congruentes e similares, pero nalgúns contextos non se considera que teñan a mesma forma. Ás veces, só se considera o contorno ou o límite externo do obxecto para determinar a súa forma. Por exemplo, pódese considerar que unha esfera oca ten a mesma forma que unha esfera sólida. A análise de Procrustes úsase en moitas ciencias para determinar se dous obxectos teñen ou non a mesma forma ou para medir a diferenza entre dúas formas. En matemáticas avanzadas, a cuasi-isometría pode usarse como criterio para afirmar que dúas formas son aproximadamente a mesma.

As formas simples adoitan clasificarse en obxectos xeométricos básicos como un punto, unha liña, unha curva, un plano, unha figura plana (por exemplo, cadrado ou círculo ) ou unha figura sólida (por exemplo, cubo ou esfera ). Non obstante, a maioría das formas que se producen no mundo físico son complexas. Algunhas, como as estruturas vexetais e as costas, poden ser tan complicadas como para desafiar a descrición matemática tradicional - nese caso pódense analizar por xeometría diferencial ou como fractais.

En xeometría, dous subconxuntos dun espazo euclidiano teñen a mesma forma se un pode transformarse ao outro mediante unha combinación de translacións, rotacións (tamén chamadas transformacións ríxidas) e escalas uniformes. Noutras palabras, a forma dun conxunto de puntos é toda a información xeométrica que é invariante ás translacións, rotacións e cambios de tamaño. Ter a mesma forma é unha relación de equivalencia e, en consecuencia, pódese dar unha definición matemática precisa da noción de forma como unha clase de equivalencia de subconxuntos dun espazo euclidiano que ten a mesma forma.^[2][3]

As formas dos obxectos físicos son iguais se os subconxuntos de espazo que estes obxectos ocupan satisfán a definición anterior. En particular, a forma non depende do tamaño e da colocación no espazo do obxecto. Por exemplo, un " d " e un " p " teñen a mesma forma, xa que poden superpoñerse perfectamente se o " d " se traduce á dereita por unha distancia dada, xirado ao revés e ampliado por un determinado factor (ver superimposición de Procustes para máis detalles). Non obstante, unha imaxe espello podería denominarse unha forma diferente. Por exemplo, a " b " e a " p " teñen unha forma diferente, polo menos cando están obrigados a moverse dentro dun espazo bidimensional como a páxina na que están escritos. Aínda que teñen o mesmo tamaño, non hai forma de superpoñelos perfectamente traducíndoos e xirándoos ao longo da páxina. Do mesmo xeito, dentro dun espazo tridimensional, unha man dereita e unha man esquerda teñen unha forma diferente, aínda que sexan as imaxes en espello unhas das outras. As formas poden cambiar se o obxecto se escala de xeito non uniforme. Por exemplo, unha esfera convértese nun elipsoide cando se escala de forma diferente nas direccións vertical e horizontal. Noutras palabras, preservar os eixes de simetría (se existen) é importante para preservar as formas. Ademais, a forma está determinada só polo límite exterior dun obxecto.

Os obxectos que poden transformarse entre si mediante transformacións ríxidas e espellos (pero non a escala) son congruentes. Un obxecto é, polo tanto, congruente coa súa imaxe espello (aínda que non sexa simétrica), pero non cunha versión a escala. Dous obxectos congruentes sempre teñen a mesma forma ou a imaxe de espello e teñen o mesmo tamaño.

Os obxectos que teñen a mesma forma ou formas de imaxe espello chámanse xeométricamente similares, teñan ou non o mesmo tamaño. Así, os obxectos que poden transformarse entre si mediante transformacións ríxidas, espello e escala uniforme son similares. A similitude consérvase cando un dos obxectos está uniformemente escalado, mentres que a congruencia non. Así, os obxectos congruentes son sempre xeometricamente similares, pero os obxectos similares poden non ser congruentes, xa que poden ter un tamaño diferente.

Unha definición máis flexible da forma ten en conta o feito de que as formas realistas adoitan ser deformables, por exemplo, unha persoa en diferentes posturas, unha árbore dobrándose ao vento ou unha man con diferentes posicións dos dedos.

Un xeito de modelar movementos non ríxidos é mediante homeomorfismos. En grosso modo, un homeomorfismo é un estiramento e flexión continuos dun obxecto nunha nova forma. Así, un cadrado e un círculo son homeomorfos entre si, pero unha esfera e unha rosca non. Unha broma matemática que se repite a miúdo é que os topólogos non poden distinguir a súa cunca de café da rosquilla,^[4] xa que unha rosca suficientemente flexible pode reformarse á forma dunha cunca de café creando unha coviña e ampliándoa progresivamente, conservando o burato da rosca no mango da cunca.

Unha forma descrita ten liñas externas que podes ver e conformar a forma. Se estiveses poñendo coordenadas e gráficas de coordenadas, poderías debuxar liñas para mostrar onde podes ver unha forma, pero non cada vez que poñas coordenadas nun gráfico como tal podes facer unha forma. Esta forma ten un contorno e un límite para que a poidas ver e non son só puntos regulares nun papel normal.

As definicións matemáticas mencionadas anteriormente de forma ríxida e non ríxida xurdiron no campo da análise estatística de formas. En particular, a análise de Procrustes é unha técnica empregada para comparar formas de obxectos similares (por exemplo, ósos de diferentes animais) ou medir a deformación dun obxecto deformable. Outros métodos están deseñados para traballar con obxectos non ríxidos (curvables), por exemplo, para a recuperación de forma independente da postura (ver por exemplo Análise de formas espectrais ).

Todos os triángulos similares teñen a mesma forma. Estas formas pódense clasificar usando números complexos u, v, w para os vértices, nun método avanzado por J.A. Lester ^[5] e Rafael Artzy. Por exemplo, un triángulo equilátero pódese expresar cos números complexos 0, 1, (1 + i √3) / 2 que representan os seus vértices. Lester e Artzy chaman a razón

${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}}$

a forma do triángulo ( u, v, w ). Entón a forma do triángulo equilátero é

(0– (1+ √3) / 2) / (0-1) = (1 + i √3) / 2 = cos (60 °) + i sin (60 °) = exp (i π / 3).

Para calquera transformación afín do plano complexo, ${\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}$ un triángulo transfórmase pero non cambia de forma. De aí que a forma sexa unha invariante de xeometría afín. A forma p = S ( u, v, w ) depende da orde dos argumentos da función S, pero as permutacións levan a valores relacionados. Por exemplo,

${\displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).}$ Tamén ${\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}$

A combinación destas permutacións dá ${\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}$ Ademais,

${\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}$ Estas relacións son "regras de conversión" para a forma dun triángulo.

A forma dun cuadrilátero está asociada a dous números complexos p, q . Se o cuadrilátero ten vértices u, v, w, x, entón p = S ( u, v, w ) e q = S ( v, w, x ). Artzy demostra estas proposicións sobre formas cuadriláteras:

1. Se ${\displaystyle p=(1-q)^{-1},}$ entón o cuadrilátero é un paralelogramo .
2. Se un paralelogramo ten | arg p | = | arg q |, entón é un rombo .
3. Cando p = 1 + i e q = (1 + i) / 2, entón o cuadrilátero é cadrado .
4. Se ${\displaystyle p=r(1-q^{-1})}$ e sgn r = sgn (Im p ), entón o cuadrilátero é un trapecio.

Un polígono ${\displaystyle (z_{1},z_{2},...z_{n})}$ ten unha forma definida por n - 2 números complexos ${\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.}$ O polígono limita un conxunto convexo cando todos estes compoñentes de forma teñen compoñentes imaxinarios do mesmo signo.^[6]

Os psicólogos teorizaron que os humanos dividimos mentalmente as imaxes en formas xeométricas simples chamadas xeóns (geons).^[7] Exemplos de xeóns inclúen conos e esferas. Tamén se investigou unha ampla gama doutras representacións de formas.^[8] As características da forma parecen reducirse a tres dimensións básicas: segmentabilidade, compacidade e punta.^[9]

Hai tamén evidencia clara que as formas guían atención humana.^[10][11]

Algúns estudos suxiren que hai algunha relación innata entre o desenvolvemento fonético e as formas, tal como sucede por exemplo no efecto bouba-kik