Solutions de plusieurs problêmes de géométrie et de mécanique

Problêmes de Géométrie^[1].

1°. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés ?

2°. Par un point donné dans le plan d’un parallélogramme, mener avec la règle un parallèle à une droite situee dans ce plan ?

Le premier problême peut se ramener à celui-ci : Mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés, en diminuant ou augmentant le rayon du cercle cherché du rayon du plus petit des trois cercles, suivant qu’il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou diminuer également les rayons des deux autres cercles d’après la nature de leur point de contact.

fig. 4, pl. 4 Je vais d’abord démontrer la proposition suivante sur laquelle se fonde la solution du problême dont il est question : Si par le point ${\displaystyle O}$, fig. 4, pl. 4, où se coupent les tangentes extérieures communes aux cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$, et par le point ${\displaystyle A}$ où doit passer le cercle tangent à ces deux cercles, on mène une droite ${\displaystyle AO}$, que l’on fasse passer ensuite par le point ${\displaystyle O}$ une sécante quelconque ${\displaystyle OT}$, qui vient couper les cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ intérieurement en ${\displaystyle T}$ et ${\displaystyle T'}$ ; qu’enfin par ces deux points ${\displaystyle T}$ et ${\displaystyle T'}$ et par le point ${\displaystyle A}$ on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera ${\displaystyle AO}$ en un point ${\displaystyle B}$ qui sera le même, quelle que soit la sécante ${\displaystyle OT}$.

En effet, ${\displaystyle OB}$ et ${\displaystyle OT}$ étant les sécantes d’un même cercle ${\displaystyle ABT}$, on a :

${\displaystyle AO\times OB=OT\times OT'}$.

Mais si l’on mène une nouvelle sécante ${\displaystyle Ot}$, on a aussi (voyez la page 20 du 1^er vol. de la Correspondance),

${\displaystyle OT\times OT'=Ot\times Ot'}$ ;

${\displaystyle AO\times OB=Ot\times Ot'}$.

Il est évident, d’après cette dernière équation ⁽¹⁾, que les quatre points ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle T'}$, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont placés sur une même circonférence de cercle.

Il est démontré aussi dans l’article cité, que tout cercle tangent aux cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$, a ses deux points de contact placés sur une droite qui passe par le point ${\displaystyle O}$, dans les deux cas où il laisse entièrement hors de sa circonférence, ou qu’il renferme à-la-fois les deux cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$. Il suit de là et de ce que j’ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$, et qui passe par le point ${\displaystyle A}$, passe aussi par le point ${\displaystyle B}$. Ainsi le problême dont il s’agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, mener un cercle qui touche le cercle ${\displaystyle X}$ ou ${\displaystyle Y}$.

Comme ce dernier problême est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, appartient aussi au cercle qui, passant par le point ${\displaystyle A}$, toucheroit extérieurement les cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$.

Pour le démontrer, il suffit de faire voir que toit cercle passant par le point ${\displaystyle A}$ et par deux points ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle p'}$, où une sécante quelconque ${\displaystyle Ot}$ vient couper extérieurement les cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$, passera aussi par le même point ${\displaystyle B}$ ; car alors le cercle qui passe par le point ${\displaystyle A}$, et qui touche extérieurement les cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$, ayant ses points de contact dans la direction du point ${\displaystyle O}$, passera évidemment par les points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$. Or, on voit sans peine^[2] que ${\displaystyle OT\times OT'=Op\times Op'}$ ; donc, d’après l’équation⁽¹⁾,

${\displaystyle Op\times Op'=AO\times OB}$.

Cette équation prouve que les points ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p'}$, sont placés sur la même circonférence de cercle.

Voici maintenant comment ou achevera la solution du problême : Ayant tracé le cercle ${\displaystyle ATT'}$, ainsi que je l’ai dit, on menera la corde ${\displaystyle lT}$ qui coupera ${\displaystyle AO}$ en un point ${\displaystyle P}$. Par ce point on menera les tangentes ${\displaystyle Pm}$, ${\displaystyle Pm'}$, au cercle ${\displaystyle X}$ ; et les points ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle m'}$ de contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont l’un touche intérieurement, et l’autre extérieurement, le cercle ${\displaystyle X}$. En effet, on a

${\displaystyle Pm^{2}=Pl\times PT}$ ;

or ${\displaystyle Pl\times PT=PB\times PA}$ ;

donc ${\displaystyle Pm^{2}=PB\times PA}$.

Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui passeroit par les points ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle m}$, seroit touché par la droite ${\displaystyle Pm}$ en ${\displaystyle m}$. On conclut aussi de la même équation, ${\displaystyle Pm'}$ étant égal à ${\displaystyle Pm}$, que le cercle ${\displaystyle ABm'}$, touche le cercle ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle m'}$.

En considérant le point ${\displaystyle O'}$, où se croisent les tangentes intérieures, communes aux cercles ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$, on obtiendroit, par une construction semblable, deux autres solutions du problême de mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés. Ou peut voir facilement, en examinant les différentes circonstances du contact, que ce dernier problême est susceptible de quatre solutions, et que par conséquent il se trouve entièrement résolu par ce que j’ai dit.

Voici une proposition analogue à celle que j’ai démontrée précédemment, et qui donne une solution simple du problême de mener une sphère tangente à quatre sphères données.

Si par la droite qui joint les sommets des trois cônes circonscrits deux à deux à trois sphères, et par un point donné, on mène un plan ${\displaystyle P}$ ; qu’ensuite par la même droite on mène un plan qui coupe les sphères ; que pur le cercle tangent aux cercles d’intersection et par le point donné, on fasse passer la surface d’une sphère, cette surface coupera le plan ${\displaystyle P}$ suivant un cercle qui restera le même, quelle que soit la section qu’on ait faite dans les sphères. On voit aisément que la sphère qui passe par le point donné, et qui est tangente aux trois sphères dont il s’agit, devra passer aussi par ce cercle ; car cette sphère doit avoir ses points de contact placés sur un plan qui passe par la droite qui joint les trois sommets des cônes.

“Par un point ${\displaystyle A}$, fig. 5, pl. 5, donné dans le plan d’un parallélogramme ${\displaystyle BCDE}$, mener avec la règle une parallèle à la droite ${\displaystyle P}$ située dans ce plan.”

Prolongez les côtés ${\displaystyle BE}$ et ${\displaystyle DE}$ jusqu’à leur rencontre avec ${\displaystyle P}$ ; par ces points de rencontre et par un point quelconque ${\displaystyle K}$ de la diagonale ${\displaystyle EC}$, menez les droites ${\displaystyle KG}$ et ${\displaystyle KH}$ qui viennent couper les deux autres côtés du parallelogramme respectivement en ${\displaystyle G}$ et en ${\displaystyle H}$ ; menez la droite ${\displaystyle GH}$ qui sera parallèle à ${\displaystyle P}$. On achevera ensuite la solution, d’après ce qui a été dit dans le n°. 8 du premier volume de la Correspondance, où il s’agissoit de mener par un point donné une droite qui allât concourir avec deux droites données, sans employér le compas ; car la solution convient aussi au cas où les deux droites sont parallèles, comme le sont les droites ${\displaystyle MN}$ et ${\displaystyle GH}$.

Il resteroit à démontrer ce qui est supposé dans cette solution, savoir, que ${\displaystyle GH}$ est parallèle à ${\displaystyle MN}$. Pour cela j’observe que le triangle ${\displaystyle MEK}$ étant semblable au triangle ${\displaystyle CKH}$, et le triangle ${\displaystyle EKI}$ au triangle ${\displaystyle CKG}$, on a la proportion

${\displaystyle GC:CH::EI:ME}$.

De plus, les angles ${\displaystyle MEI}$, ${\displaystyle GCH}$, sont égaux ; donc les triangles ${\displaystyle MEI}$ et ${\displaystyle GCH}$ sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels, et la droite ${\displaystyle GH}$ est parallèle à ${\displaystyle MN}$.  C. Q. F. D.

M. Delavenne (élève admis cette année dans l’artillerie) m’a remis une note sur la détermination du point brillant d’une surface de révolution. Il propose une modification à la solution que j’ai donnée page 303 du 1^er volume de la Correspondance. Il suppose qu’on ait construit sur la surface de révolution la ligne qui est le lieu des pieds des perpendiculaires à cette surface, abaissées de tous les points de la droite qui joint le point lumineux et l’œil du spectateur. Les rayons de lumière réfléchis de tous les points de cette ligne courbe étant projetés sur un des plans de projection, M. Delavenne construit une courbe tangente à ces rayons de lumière projetés ; et, par la projection de l’œil sur le même plan, il mène une tangente à cette dernière courbe : cette tangente prolongée coupe la ligne des pieds des normales en un point qui est le point brillant demandé.

Quoique cette construction ne soit pas rigoureuse, puisqu’il faut mener une tangente à une courbe du genre des caustiques par un point donné hors de cette courbe, en faisant tourner une règle autour de ce point jusqu’à ce qu’elle touche la courbe ; cependant elle est suffisante pour la pratique, parce qu’elle donne la position de la tangente et le point où cette tangente coupe une courbe connue, sans qu’on soit obligé de considérer le point où elle touche la caustique des rayons réfléchis.

Dans une seconde note, M. Delavenne détermine par une autre considération le point brillant d’une surface de révolution, dans l’hypothèse d’un point lumineux. Il conçoit par le point brillant la normale à la surface, et les rayons incident, réfléchi,