Œuvres de Fermat/I/Dissertation M. P. E. A. S.

DE LINEARUM CURVARUM

CUM LINEIS RECTIS COMPARATIONE DISSERTATIO GEOMETRICA. ^[1]

Nondum, quod sciam^[2], lineam curvam pure geometricam rectæ date geometræ adæquarunt. Quod enim a subtili illo mathematico Anglo nuper inventum et demonstratum est: cycloidem nempe primariam ciametri circuli ipsam generantis esse quadruplam, hoc suam, ex sententia doctissinorum geometrarum^[3], videtur habere limitatio nem : ii quippe hanc esse legem et ordinem naturæ pronuntiant ut non sinat inveniri rectam curvæ æqualem, quin prius supposita fuerit alia recta alteri curvæ æqualis. Quod quidern in exemplo cycloidis ab ipsis allato ita se habere deprehendunt, nec nos diffitemur, quum constet descriptionem cycloidis indigere æequalitate alterius curvæ cum recta, hoc est, circumferentiæ circuli cycloidem generantis cum recta quæ est basis ipsius cycloidis. Sed quam vera sit hæc, quam statuunt, lex naturæ, et quam periculosum ab uno aut altero experimento statim ad axioma properare, infra patebit : nos enim curvam vere geometricam, et ad cujus constructionem nulla talis alterius curvæ cum recta æqualitas prœcessisse supponatur, rectæ datæ æqualem esse demonstrabimus et paucis, quantum fieri potuerit, toturn negotium absolvemus.

Propositio I.

Sit, in figura prima (fig. 120), curva quævis AHMG in easdem partes cana, exempli causa, una ex parabolis infinitis in qua tangentes extra

Fig. 120 (1).

curvam cum base AF et axe FG concurrant, et sumatur in hujusmodi curvâ quodvis punctum H per quod ducatur tangens IHK, in qua sumptis ex utraque parte punctis K et I, demittantur perpendiculares IB, KD in basim AF, quæ secent curvam in punctis R et M : Aio portionem tangentis HI portione curvæ RH esse minorem, portionem autem ejusdem tangentis HK portione curæ HM esse majorem. Quum enim, ex hypothesi, tangens KI occurrat basi AF extra curvam, ergo angulus CHI, qui fit ab intersectione perpendicularis in basim HC et tangentis HI, erit minor recto, ideoque a puncto H demissa perpendicularis in rectam BI cadet in punctum V supra puncta B, R, I. Patet itaque rectam HV minorem esse recta HI; item rectam HI minorem esse recta que puncta H et R conjungit: ergo, a fortiori, recta HI minor erit portione curvet HR, quam recta ab H ad R ducta subtendit. Quod primo loco fuit demonstrandum.

Aio jam portionem KH portione curvse HM esse majorem.

A puncto K ducatur ad eamdem curvam tangens KN, et demittatur perpendicularis NE. Ex prxedemonstratis, probatum est rectam KN esse minorem portione curvæ NM; sed, ex Archimede^[4], summa tangentium HK, KN est major tota portione curvæ HN: ergo portio tangentis HK portione curvœ HM major erit. Quod secundo loco fuit ostendendum.

Nec moveat tangentem a puncto K ultra punctum G aliquando occurrere curvæ: hoc enim casu aliud punctuin inter K et M sumi poterit, et omnia ad prtecedentem demonstrationem aptari.

Inde sequitur, si a punctis K et I ducantur perpendiculares ad axem, curvam in punctis 0 et P secantes, hoc casu tangentem HI curva HO esse majorem, tangenter vero HK curva HP esse minorem.

Si enim imaginemur inverti figuram ita ut axis in locum baseos, basis in locum axis transferatur, non solum similis in hoc casu, sed eadem omnino erit demonstratio.

Patet autem, ex ipsa constructione, si rectæ BC et CD sint œquales, portiones tangentis HI et HK esse item inter se æquales, quod tanmen summopere notandum.

Propositio II.

Ad dimensionem linearum curvarum non utimur inscriptis et cir cumscriptis more Archimedeo^[5], sed circumscriptis tantum ex portionibus tangentium compositis: duas enim series tangentium exhibemus, quarum una major est curva, altera minor. Demonstrationes autem multo faciliorem et elegantiorem per circumscriptas solas evadere analystæ experientur.

Possibile igitur, ut vult methodus Archimedea, pronuntiamus cuilibet ex curvis jam prcedictis circumscribere duas figuras ex rectis constantes, quarunm una stperet cuream interallo quovis dato minore, altera autem superetur a curva intervallo etiam dato minore.

Exponatur curva aliqua ex prædictis in secunda figura (fig. 121). Secetur basis AG in quotlibet portiones æquales AB, BC, CD, DE, EF, FG, et a punctis B, C, D, E, F erigantur perpendiculares BQ, CV, DZ, ER, FM, quae occurrant curvae in punctis P, T, Y, N, O ; ducantur item tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, OI.

Ex prima propositione patet tangentem AQ portione curvay AP esse majorem; item tangentem PV portione curvæ PT esse majorem, et sic de reliquis, tandemque etiam ultimam OI portione curve OH esse majorem. Ergo figura, constans ex omnibus istis tangentium AQ, PV, TZ, YR, NM, OI portionibus, curva ipsâ major erit.

At exponatur eadem curva in tertia figura (fig. 122), cujus basis AG in eumdem portionum æqualium numerum dividatur in punctis B, C, D, E, F ; a punctis B, C, D, E, F, ut supra, erigantur perpendiculares BR, CQ, DO, EL, FI, quæ occurrant curvæ in punctis S, P, N, M, K ; a puncto autem S (in hac tertia figura) ducatur tangens ST, occurrens perpendiculari AT; deinde a punctis P, N, M, K, H ducantur tangentes PR, NQ, MO, KL, HI, occurrentes perpendicularibus BS, CP, DN, EM, FK in punctis R, Q, 0, L, I.

Ex prima propositione patet tangentem ST portione curvæ AS esse minorem; item tangentem PR portione curvie PS esse minorem, et sic deinceps, tandemque ultimam IH (quæ parallela est basi) portione curva KH esse minorem. Ergo figura, constans ex omnibus istis tangentium ST, PR, NQ, MO, KL, HI portionibus, curva ipsa minor erit.

Quum autem, ex corollario propositionis primie, partes tangentium ab coder puncto curvT utrimque productarum et portionibus baseos hine inde sequalibus oppositarum sint inter se Tequales, patet (quum

Fig. 122 (3).

secundæ et tertise figurte curvæ supponantur sequales aut eadem potius, licet vitandæ confusionis causa duas figuras descripserimus) tangentem ST tertice figurce equalem esse tangenti PV secundc figurwc. Quum enim punctum S in tertia figura idem omnino sit cum puncto P secundæ figure et portiones baseos AB, BC in utraque figura sint inter se equales, portiones tangentium ex utraque parte ipsis oppositarum, nempe recta ST in tertia figura et recta PV in secunda, inter se æquales erunt.

Probabitur similiter tangentem PR tertiæ figurie equalem esse tangenti TZ secundæ, et sic de ceteris; quo peracto, constabit primam tantum secundæ figuræ et ultimam tertise nulli ex portionibus figura~ contrariæ œqualem esse: excessus igitur, quo figura secunda superat tertiam, est idem quo tangens AQ secundwe figuræ superat tangentem III tertie figuræ. Sed recta IH, propter parallelas,:equatur portioni baseos FG sive AB (supponuntur enim omnes baseos portiones equales in utraque figura): ergo figura secunda, ex tangentibus curva majori bus composita, superat figuram tertiam, ex tangentibus curva minoribus compositam, eo ipso quo in secunda figura tangens AQ superat portionem baseos AB, ipsius oppositam intervallo.

Si igitur velimus duas figuras curve circumscribere, alteram majorem curva, alteram verb minorem, quse se invicem excedant intervallo minore quocumque dato, facillima erit constructio. Quum enim, ex Methodo tangentium jam cognita, detur tangens ad punctum A (fig. 121),

Fig. 121 (2).

dabitur angulus QAB; sed angulus QBA est rectus: ergo datur triangulum QAB specie, datur itaque ratio recta AQ ad AB. Cavendum itaque est ut divisio baseos ita instituatur ut differentia rectarum AQ et AB sit minor quacumque recta data: quod ita assequemur, si quæramus duas rectas in data ratione quet se invicem excedant recta data que sit minor ea quæ data est. Hoc autem problema est facile, et curandum deinde ut portio quselibet baseos, AB, non sit major minore duarum quæ dicto problemati satisfaciunt.

Quum igitur hac ratione invenerimus duas figuras curve circumscriptas, alteram majorem, alteram minorem dicta curva, quæ se invicem excedunt intervallo minore quocumque dato, a fortiori major ex circumscriptis superabit curvam intervallo adhuc minore, et minor ex circumscriptis superabitur a curva intervallo adhuc minore.

Patet itaque ex nostra hac methodo per duplicem circumscriptionem commodum præberi aditum ad methodum Archimedeam, quum agitur de dimensione linearum curvarum. Quod semel monuisse et demonstrasse suffciet.

His positis, secure pronuntio inveniri posse curvam vere geometricam data rectee æqualem: ea vero est una ex infinitis parabolis, quas olim spe culati sumus ^[6], illa nempe in qua cubi applicatarum ad axem sunt inter se ut quadrata portionum axis. De quo ne dubitent geometræ, ita breviter demonstro.

Propositio III ^[7].

Sit in quarta figura (fig. I23) parabole, quarmn jam indicavimus, MIVA, culjus vertex A, axis AN, et inz qua, sumpto quoois puncto I et ductis

Fig. 123 (4).

perpendiculacribus sel applicatis ad axem rectis MIN, IF, cubus rectce MN sit ad cubumnum ctce IF lt quadcrturim recte NA ad quadratum rectce FA, idque semper contingat; pro baindln est crtarva MIA rectce cldatce cequalem esse.

Fiat

ut quadratum axis AN ad quadratum applicatæ NM, ita recta NM ad rectam AD ipsi AN perpendicularem.

Patet rectam AD esse rectum dlict paraboles latus, hoc est:

solidum sub AD in quadratum recte AN tquari cubo applicatle NM,

item, sumpto quovis alio puncto, ut I,

solidum sub AD in quadratum AF æquari cube applicate IF;

quod non eget demonstratione: in facilibus enim non immoramur.

Ducatur tangens ad punctumr I, et sit illa IOE, queC cum axe AN in puncto E concurrat. Ex Methodo tangentiurm constat rectam FA rectat AE esse duplam, ideoque

rectam FE ad rectam AF esse ut 3 ad 2, quadratum vero rectte EF esse ad quadratum recte AF ut 9 ad 4.

A recta AD abscindatur nona ipsius pars CD, et reliqua CA bisecetur in B: erit igitur

DA ad AB ut 9 ad 4, sive ut quadraturn EF ad quadratum AF.

Solidum itaque sub AD in quadratum AF tequale erit solido sub quadrato FE in rectam AB; sed solidum sub AD in quadratum AF est æquale cubo recte IF: ergo solidurn sub recta AB in quadratum EF est œquale eidem cubo recthe IF. Est ergo

ut quadratum EF ad quadratuln IF, ita recta IF ad rectam Al3,et, componendo, sunmma quadratorum EF et FI, hoc est unicum quadraturn tangentis IE esl ad quadratum IF, ut summa rectarum IF et AB ad AB.

Si autem ducatur a puncto I perpendicularis ad basim, recta IH et alia quavis perpendicularis GQVO occurrens applicate IF in Q, curvia in V et tangenti in 0, propter similitudinem triangulorum, erit

ut IO ad IQ sive ipsi equalern HG, ita tangens IE ad applicatam IF,et ut quadraturn 10 ad quadratumn HG, ita quadraturm IE ad quadraturm IF.Ut autem quadratum IE ad quadratum 1F, ita summa rectarum IF et AB ad rectam AB.Ergo quadratum 10 ad quadrattum HG erit semnper ut sumina rectaruin IF et AB ad rectam AB.Quod demonstrare oportuit.

Inde sequitur, si rectae MN ponatur in directum recta NX rectae AB aequalis, esse semper

ut quadratum tangentis IO ad quadratum rectæ HG,vel ut quadratum tangentis IY ex altera parte ad quadratum rectae oppositae RH (utrobique enim, propter parallelas, eadem est ratio), ita rectam HIX ad rectam NX.

Recta enim HX aequalis est summæ rectarum IF et AB, et recta NX est aequalis AB. Hoc autem patet ex constructione: recta enim HN, propter parallelas, æqualis est rectæ IF, et reliqua NX facta est æqualis rectae AB.

Propositio IV.

Exponatur in quinta figura (fig. 124) nostra hec parabole AXE, cujus sit ea, ut diximus, natura ut cubi applicatarum sint inter se in ratione quadratorum portionum axis. Sit ejus axis AI, basis aut semibasis EI.

Fig. 124 (5).

Ex datis axe AI et applicata IE invenitur, ut superius diximus, rectum latus AD, a quo abscissâ nonâ ipsius parte CD, et reliquâ AC bifariam divisâ in B, secetur basis EI in quotlibet libuerit portiones æquales EF, FG, GH, HI, et a punctis F, G, H excitentur perpendiculares FX, GY, HZ, curvae occurrentes in punctis X, Y, Z. Ad puncta autem E, X, Y, Z ducantur tangentes ER, XS, YT, ZV, occurrentes perpendiculariIus FX, GY, HZ, IA productis, in punctis R, S, T, V. Ponatur recta El in directum recta IK sequalis rectæ AB.

Patet, ex prcedente propositione et ipsius corollario,

quadraturm tangentis ZV ad quadratumi rectæ HI esse ut rectam HK acd rectam K[;similiter ut quadraturm tangentis YT ad quadratum recle GtH, ita rectarn GK ad rectam KI;item quadratum tangentis XS ad quadratum rectl FG ut rectain FK ad rectam KI;denique ut quadratlum tangentis ER ad quadratur n recth El, ita rectam EK ad rectam KI.

His positis, a puncto K excitetur KL perpendicularis ad rectam EK, et fiat recta KL tequalis rectæ KI sive AB; intelligatur jam per puncturm K, tanquar verticem, axem autem KE, describi parabole simplex sive Archimedea, cujus rectum latus sit KL, et sit illa parabole K1iQ, ad quam. excitentur pelpendiculares EQ, FP, GO, RN, IM, qute erunt, ut patet, applicat;e paraboles et in directu n posita perpendicularibus FX, GY, etc.

Quadratum tangentis ZV, ut jam diximus, est ad quadratum rectaHI,

ut recta HIK ad rectam KI;

sed, ut recta IlK ad rectam KI, ita, singulis in rectam KL ductis,

rectangulum sub HK in KL ad rectangulum sub IK in KL;

rectangulum veri, sub ) HK in KL, ex natura paraboles Archimedeæ, æquatur quadrato applicatæ IN, et rectangulum sub 1K in KL æquatur quadrato recte KL, quum recte IK, KL facti- fuerint,quales. Erit igitur

ut quadratum HN ad quadratum KL, ita quadraturn tangentis ZV ad quadratur recte HI,

ideoque

ut recta HN ad KL, ita tangens ZV ad rectam HI.

Similiter probabimus esse

ut tangentem YT ad rectam GiH, ita applicatam GO ad KL;item ut tangentem XS ad rectam FG, ita applicatam FP ad KL;denique ut tangentem ER ad rectam EF, ita esse applicatam EQ ad KL.

Quum igitur sit

ut tangens ZV ad rectam HI, ita applicata HN ad KL,rectangulum sub extremis æquabitur rectangulo subl mediis, ideoque rectangulum sub Nil in III,quabitur rectangulo sub KL in tangentem ZV.Similiter rectangulum sub OG in Gil wquabitur rectangulo sub KL in tangenterm YT;item rectangulum sub PF in FG wquabitur rectangulo sub KL in tangentem XS;denique rectangulumi sub EQ in EF Saquablitur rectangulo sub KL in tangenter E1l.

Quid autem pluribus in re proclivi et jam ad methodum Archimedeam sponte sua vergente immoramur? Per inscriptas enim et circumscriptas in segmento parabolico figuras, rectangula omnia QEF, PFG, OGH, NHI segmentum ipsum parabolicum EQMI designabunt. (Omnes autem tangentes El, XS, YT, ZV, per iteratam secundum nostrae praecepta methodl cicitumscriptionem, curvam ipsam EXYZA etiam designabunt: ergo segmentum parabolicunm EQMI aequatur rectangulo sub KL in curvam EXA. Datur autem in rectilineis segmentum parabolicum EQMI (quadravit enim parabolen Archimedes^[8], ideoque ipsius segmenta) ergo rectangulum sub KL in curvam EXA etiam datur. Datur autem recta KL: ergo datur curva EXA et ipsi alia recta potest constitui æqualis. Quod erat demonstrandum.

Si quibusdam tamen hæc demonstratio brevitate nimia laborare videatur, eam integram, insistendo vestigiis Archimedeis, non gravamur separatim adjungere, ut earn legant et examinent qui superiora non sufficere existimabunt.

Probandum est segmentum parabolicum EQMI rectangulo sub data KL in curvam EXA aquale esse.

Fiat, ex Archimede, segmentum illud parabolicum EQMI tequale rectangulo sub data recta KL in datam rectam ${\displaystyle \beta }$. Si probaverimus rectam ${\displaystyle \beta }$ æqualem esse curvæ EXA, constabit propositum.

Aio itaque rectam ${\displaystyle \beta }$ curve EXA esse æqualem: si enim aequalis non est, erit vel major vel minor.

Sit primo recta ${\displaystyle \beta }$ major quam curva EXA, et sit earum excessus, si fieri potest, recta ${\displaystyle \delta }$.

Ex propositione secunda hujus, possumus curver EXA circumscribere figuram ex portionibus tangentium compositam, quae superet curvam intervallo minore recta ${\displaystyle \delta }$. Fiat igitur illa circumscriptio et in figura separata (fig. 125), quam etiam quintam romano charactere notavimus, circumscripta illa constet ex portionibus tangentium ER, XS, YT, ZV.

Circumscripta ilia, ex prædemonstratis, est major curva EXA; sed et recta ${\displaystyle \beta }$ posita est major eadem curva: quum ergo circumscripta superet curvam minore intervallo quam recta ${\displaystyle \beta }$ superet eamdem curvam, ergo circumscripta minor est rectâ ${\displaystyle \beta }$. Rectangulum itaque sub recta KL in circumscriptam est minus rectangulo sub KL in rectam ${\displaystyle \beta }$; at rectangulum sub KL in ${\displaystyle \beta }$ factum est æquale segmento parabolico EQMI: ergo rectangulum sub KL in circumscriptam est minus dicto segmento parabolico EQMI.

Probavimus autem rectangulum sub KL in portionem tangentis ER æquari rectangulo sub QE in EF; item rectangulum sub KL in NS sequari rectangulo sub PF in FG; item rectangulum sub KL in YT wequari rectangulo sub OG in GH; denique rectangulum sub KL in ZV

Fig. 125 (V).

æquari rectangulo sub NH in HI: ergo rectangulum sub KL in totam circumscriptam est æquale summæ rectangulorum sub QE in EF, sub PF in FG, sub OG in GH et sub NH in HI. Si autem in rectas FP, G-), HN, IM (quæ sensim decrescunt quo propius accedunt ad verticem paraboles) continuatas demittantur perpendiculares (seu parallelh basi) a punctis Q, P, 0, N rectse Qy, P0, OX, N?, patet

rectangulum QEF7	æquale esse	rectangulo sub QE in EF;
item rectangulurnm OF	e qua ri	rectangulo sub PF in FG,
rectanguluml G	æquari	rectangulo sub OG in GH,
denique rectangulum y 1	sequari	rectangulo sub NH in II.

Ergo rectangulum sub KL in circumscriptam est sequale rectangulis yE, OF, XG,?H.

Sed probavimus rectangulum sub KL in circumscriptam esse minus segmento parabolico EQMI: ergo summna rectangulorum yE, OF, )G, QiH erit minor dicto segmento parabolico EQMI. Quod est absurdum: ilia enim rectangula constituunt figuram ex rectangulis compositam et segmento parabolico, ut patet, circumscriptam, ideoque ipso segmcnto majorem.

Recta itaque 3 non est major curva EXA; sed neque minorem esse probabimus.

Sit enim recta ( minor curva EXA, si fieri potest, et curva superet rectam p intervallo c.

Circumscribatur in figura separata (fig. 126), quam etiam quin

Fig. 126 (o-/jpa E).

tam charactere græco notavimus, figura constans ex portionibus tangentium curvaEXAminor, sed quam tamen ipsa curva superet intervallo minore ipso 8; et sit illa figura constans ex portionibus tangentium Xll, YS, ZT, AYT.

Quum itaque curva sit major P intervallo S, et eadem curva superet circumscriptam intervallo minore ipso 8, ergo circumscripta erit major recta 3, ideoque rectangulum subl) KL in circumscriptam erit majus segmento parabolico EQMI.

Sed rectangulum sub KL in circumscriptam Tquatur, ex priedemonstratis, rectangulis sub PF in FE, sub OG in GF, sub NH in HG et sub MI in IH: est enim

ut XR ad FE, ita FP ad KL,

ideoque

rectangulum sub KL in XR wequatur rectangulo sub PF in FE,

et sic de reliquis.

Quum igitur rectangulum sub KL in circumscriptam sit majus segmento parabolico EQMI, ergo summa rectangulorum, sub PF in FE, sub OG in GF, sub NH in HG et sub MI in HI, est major dicto segmento parabolico. Sed omnia illa rectangula, ductis perpendicularibus (seu basi parallelis) rectis Py, 00, NX, My, quwe omnes cadent in applicatas intra parabolen (prout enim applicatxe magis distant a vertice, eo magis semper augentur), erunt tqualia rectangulis PE, OF, NG, MH; ergo summa omnium illorum rectangulorum, PE, OF, NG, MH, erit major segmento parabolico. Quod est absurdum: rectangula enim illa, PE, OF, NG, MH, componunt figuram ex rectangulis compositam et ipsi segmento parabolico inscriptam, ideoque ipso minorem.

Recta itaque P non est minor curva EXA; quum igitur nec sit major, nec minor, erit ipsi curve sequalis. Quod prolixius, ut omnis removeatur scrupulus, fuit demonstrandum.

Ex jam demonstratis patet eadem facilitate demonstrari posse segmentum parabolicum quodvis EQPF, a priore abscissum, rectangulo sub data KL in curvam EX æquale esse; ideoque, si detur in basi quodvis punctum, ut F, quum ex Archimede segnientum parabolicum EQPF in rectilineis detur, darl etiam et rectangulum sub KL data in portionem curvæ EX; datur autem recta KL: ergo et curva EX. Dato itaque quovis puncto in base, ut F, dari portionem curve- ipsi oppositam, et rectam posse assignari huic æqualem, manifestum est.

Nec moveat, ad rectam illam curvæ EXA [equalem inveniendam, construendam videri parabolen simplicem, quo casu problema solidum evaderet. Quum enim supponatur ad veritatem tantum inquirendam et demonstrationem rite conficiendam paraboles illius descriptio, nihil vetat quominus calculum ipsum, dissimulata illa imaginaria paraboles descriptione, per rectas et circulos et expediamus et exhibeamus. Is autem calculus, nisi fallor, talis est:

Esto in figura sexta (fig. 127) curva parabolica DAC, ejus naturæ ut cubi applicatarum iDB et NM sint inter se ut quadrata portionum axis BA et AM; dentur autem altitudo AB et semibasis BD, aut tota DBC: Aio dari rectam curvæ DAC cequalemn (quod jam probatum est) in calculo vere geometrico.

Sit rectum istius paraboles latus recta AO, quam datam esse ex datis axe et applicata, ex supra dictis, constat. A recta AO auferatur nona ipsius pars EO; reliquæ vero AE fiat sequalis recta YK, cui in directum ponatur KX qtqualis semibasi (seu applicate) DB. Super recta YX tanquam diametro describatur semicirculus YTX et, recta YK bisect't in puncto R, excitetur perpendicularis RT, semicirculum secans in T.

Fig. 127 (6).

Rectæ RT fiat equalis recta RV, et super recta VX tanquam diametro describatur semicirculus VQX, ad cujus circumferentiam a puncto R excitetur perpendicularis RQ. Super rectis TR, RQ describantur semicirculi TPR, RGQ, et ipsis applicentur rectwe TP, RG, qunt singule sint ipsi RY æquales. Junctis autem rectis RP, QG, aio rationer curvac parabolicæ DAC ad basimr DBC esse eamdem quw est dupli quadrati rectæ QG ad triplum quadratum rectse RP, ideoque esse datam.

Fiat itaque ut triplum quadratum rectaU RP ad duplum quadratum rectt QG, ita recta DC ad rectam IH; recta illa IH, quæ data est ex constructione, aqualis erit curvie parabolice DAC.

Quod si cum precedente demonstratione non conveniat, ab ipsa erit emendandum.

Si hæc non sufficiant ad obtinendum a geometris ut nostra htec curva parabolica inter admiranda Geometri;e collocetur, illud fortasse ab ipsis quse mox sequentur impetrabunt. Quid enim mirabilius quam ex una hac curva derivari et formari alias numero infinitas, non solum ab ipsa, sed inter se, specie differentes, quwa tamen singula rectis datis aquales esse demonstrentur? Propositio generalis hæc est:

Sit, in septima figoura (fig. 128), curva nostra parabolwca CMAl, cujus altitudo AB, semnibasis CB, et ab ea C:va formnentur alicw in infiittzu

Fig. 128 (7).

hac ratione ut, ductis pelpenzdicularibus ad basimn rectis DMNL, EKIH utcumque, secantibus curvam in punctis I, K, nova curact CNIG, ex hac formandla, sit ejus natturce ut recta DN sit semper cequalis portioni prioris curace, nempe CM, ipsam respicienti; item recta El sit cequalis portioni prioris cNrvce CMK et sic in omznibus allis quibuslibet perpendicularibus: hlce nova curva CNIG erit diversce a priore speciei^[9].

Formetur pariter ab ips tertia curva CLitF, in qua rectcc DL, EH sint semper cequales portionibus cutris CN et CNI sectundce curce; et a tertia pari ratione formetur quarta, a quarta fquEita, a quinta sexta, et eo progreldiantr in inzinittm ordie.

Aio omnes istas curvas CNIG, CLIF et reliquas in uifinitunm, perinde ac primamn parabolicam CM1KA, rectis datis cequtales esse.

Notandum autem istas omnes in infinitum curvas esse pure geome tricas, nec in illis itaque ad legem illam et ordinem natura de quibus initio hujus Dissertationis locuti sumus recurrendum. Licet enim recta DN et El curvis CM et CMK supponantur aquales, eædem tamen ipse non tam suppositæ sunt quam ex prædictis demonstrate esse pariter rectis sequales: dato quippe quolibet puncto D, quum ex pracedentibus detur recta aqualis portioni curv2e CM, ergo recta DN, quæ curva CM ex constructione ponitur equalis, ut recta vere data, non ut æqualis curvæ, considerari debet; et sic de reliquis. Curva igitur supra descripta CNIG vere geometrica est; quam postquam aqualem esse rectæ datæ demonstraverimus, sequetur tertiam curvam ab eca formandam, nempe CLHF, esse quoque pure geometricam, et sic omnes alias in infinitum.

Demonstratio difficilis non erit, si prius præmiserimus generalern, quwe huic operi omnino inservit, propositionem

Propositio VI. Fig. 129 (8).

Esto, in figura octava (fig. I29), qucelibet curva, ejusdem culn prcecedentibus naturce, ONR, ctjus vertex 0, axis vel applicata OVI (eaden enir semper est demonstratio); et ab ea formnetur alia cLrva OAE, cujus ea sit proprietas lit applicatce sint cwquales portionibus abscissis a priore curva: exempli gratia, applicata VA sit cequalis curvcc ON, applicata IE sit cqualis curvce OR, et sic de reliquis. Ad datum punctum, in nova hac curva, ducetur tangens hoc pacto: sit datum punctuin E; ducatur appli cata El, secans priorem curvam in R; ducatur recta RC tangens in dicto puncto R priorem curvan et occurrens axi in puncto C; fiat

ut RC ad CI, ita recta IE ad rectam IB,

et jungatur EB Aio rectam EB tangere novam curvam EAO in puncto E.

Sumpto enim quovis puncto in axe, ut V, et ducta applicatl YNA, qute secet priorem curvam in N, tangentem RC in S, secundam curvani in A, rectam vero EB in Y, si probaverimus rectam VY semper esse majorem applicata VA, recta EB non secabit novam curvam a parte verticis.

Hoc autem facillime probamus: Recta VA est æqualis curvæ ON sive differentiæ inter curvas OR, NR; at recta RS est minor cu'rvA RN, per consectarium primaw propositionis: ergo differentia inter curvam OR et rectam RS est major differentia inter eamdem curvam OR et curvam RN. Sed recta VY est wequalis differentite inter curvam OR et rectam RS, ut mox probabimus: ergo recta VY, occurrens rects EB, erit major recta VA, occurrente curvas OAE. Unde patet omnia puncta rectæ EB versus verticem esse extra curvam, ideoque recta EB curvam ab ea parte non secabit.

Imo nec inferius: Sumatur enim quodvis punctum, ut H, a quo ducatur applicata HZ, secans priorem curvam in D, tangentem RC productam in F, secundam curvam in Z, et rectam EB productam in Q. Si probemus rectam HQ, in quocumque casu, majorem esse recta HZ, patebit omnia puncta rectæ EB, etiam inferius sumpta, extra curvam jacere, unde patebit dictam rectam EB tangere secundam curvam in dicto puncto E.

Recta HZ est æqualis, ex constructione, curvæ OD, hoc est summæ curvarum OR, RD; quum autem recta RF sit portio tangentis RC inferius sumpta, erit, ex consectario primer hujus, recta RF major curva RD, ideoque summa curvæ OR et rectæ RF erit major summia ejusdem curveT OR et curvæ RD. Summa autem curve OR et rectæ RF est æqualis, ut mox probabimuzs, recte HQ; summa vero curvarum OR, RD est equalis rectse HZ, ex constructione: ergo recta HQ semper et in omni casu major erit applicata- HZ, ideoque recta EB in dicto puncto E tanget secundam curvam.

Probandum autem reliquimus differentiam curvæ OR et rectæ RS wcquari rectæ VY.

Ducatur recta EM parallela axi et occurrat rectae VY productae in M.

Ex constructione est

ut El ad IB, ita RC ad CI;sed ut El ad IB, ita YV ad VB, et ita YM ad ME; ut autem RC ad CI, ita RS ad VI:ergo ut YM ad ME, ita RS ad VI.

Sunt autem rectæ ME, VI æquales, propter parallelas: ergo rectae YM, RS erunt æquales. Sunt autem aequales etiam rectae EI, VM: ergo differentia inter rectas EI et MY erit recta VY. Sed recta EI, ex constructione, æquatur curvae OR: ergo differentia inter curvam OR et rectam MY (sive ipsi aequalem RS) aequabitur rectae YV. Quod primo erat probandum.

Nec dissimili ratiocinio procedet demonstratio infra applicatam EI : Ductâ enim rectâ EP parallelâ axi, probabimus rectam QP sequalem esse rectae RF.

Est enim

ut El ad IB, hoc est QH ad HB, hoc est QP ad PE, ita recta RC ad CI, hoc est RF ad 11H; sunt autem aequales PE, IH: ergo et rectae QP, RF. Recta autem HQ æquatur rectis HP, PQ, quarum prior HP aequatur rectae IE sive curvæ OR, posterior autem PQ aequatur, ex demonstratis, rectae RF: ergo summa curvae OR et rectae RF est aequalis rectae HQ. Quod secundo loco fuit probandum.

Patet itaque rectam EB in puncto E secundam curvam tangere, quod erat demonstrandum. Sit jam^[10], in nona figura (fig. I3o), curva nostra parabolica GKA, cujus altitudo AE, semibasis GE, rectum latus AD, cujus nona pars, ut supra, sit CD, et recta AC bifariam secetur in B. A priori hac curvai formetur alia, versus punctum G, qute sit GNS, occurrens axi prioris in S, et nove hujus curvt proprietas htec sit ut, sumpto quovis puncto,

Fig. 130 (9).

ut 1F, et erecta perpendiculari FKN occurrente duabus curvis in K et N, recta FN sit semper wequalis curva prioris portioni GK. Ducatur parallela basi KM, et ad idem puncturn K ducatur recta TKH tangens priorem et occurrens axi in T et basi in H; per punctum vero N, in secunda curva, ducatur tangens RNXI occurrens basi in I, et a punctis quibuslibet, in ea ex utraque parte sumptis, ut R et X, demittantur in basim perpendiculares XY et RV.

Ex præcedentibus patet quadratum tangentis KT in priore curva ad quadraturn FE, sive

quadratumr KL ad quadraturm FV esse semper ut reetam FE, una curm recta AB, ad ipsam AB;sed ut quadratum KT ad quadratum FE sive ad quadratum KM, ita quadratum KH ad quadratum HF (propter parallelas): ergo quadratum KRU est ad quadratum HF ut recta FE, una cum AB, ad AB. Ut autem quadraturn KH ad quadratum HF,ita, ex præcedente propositione, quadratum rectæ FN ad quadratum recta FI:

quum enim latera, ex vi illius propositionis, sint proportionalia, erunt proportionalia et quadrata. Ergo

quadratum NF ad quadratum FI est ut recta FE, una cum AB, ad AB,

et componendo, quadrata duo NF et FI, sive unicum

quadratum NI erit ad quadratum FI ut FE, una cum AB bis, ad AB.Sed ut quadratum NI ad quadratum FI, ita quadratum RN ad quadratulm recte FV ex una parte, et ita quadratum recta NX ad quadratum rectwe FY ex altera:

ergo, sumpto quovis puncto in secunda liac curva, ut N, erit semper

ut quadratum portionis tangentis ad illud punctum ductle ex alterutra parte ad quadratum portionis basis ipsi opposite, ita summa rectt FE, una cum AB bis, ad AB.

Si igitur basi GE ponatur in directum recta EO recter AB dupla, et ad punctum O erigatur perpendicularis OP ipsi AB equalis, erit semper ut quadratum portionis NR, in hac secunda curva, ad quadratum portionis basis FV, vel ut quadratum portionis tangentis NX ad quadratum portionis basis FY, ita recta FO ad rectam OP.

His ita se habentibus, patet cseteras in infinitum curvas, modo quem supra indicavimus describendas, ejus esse naturne ut:

In tertia, verbi gratia, quadratum portionis tangentis ad quadratum portionis basis ipsi opposite sit ut portio basis FE initium sumens a puncto F, in quo cadit perpendicularis a puncto contactufs in basim demissa, una cum recta AB ter sumpta, ad ipsam AB;

In quarta curva, erit ut quadratum portionis tangentis ad quadratum portionis basis ipsi oppositæ ut recta FE, una cum AB quater sumpta, ad ipsam AB;

Et sic de reliquis in infinitum.

Eadem enim semper demonstratio, ut evidens est, in omnibus casibus locum habet.

Nec difficilis, hoc supposito, ad theorema generale erit aditus.

Propositio VII.

Esto, in figura decima (fig. 131), curva nostra parabolica EA, cujus axis AI, semibasis IE. Ab ea formetur secunda curva EXYZO, cujus ea

Fig. 131 (10).

sit natura, ut supra diximus, ut quwvis applicata FX sit æqualis portioni prioris curvTe ab applicata illa, seu mavis vocare porpendiciularem, abscissa. Dividatur basis in quotlibet partes atquales EF, FG, GH, HI, et ducantur a punctis F, G, H- perpendiculares secantes novall hanc secundam curvam in punctis X, Y, Z. Sit pirioris curv rectulnm latus AD, a quo abscindatur nona pars CD, et reliqua AC hisecetur in B. Recte AB bis sumptæ fiat 0equalis recta IK quse sit in directunl basi, et ad punctum K erigatur perpendicularis KL mequalis rectla AB. Per punctum K et axem KE intelligatur describi parabole simplex (sive Archimedea), cujus rectum latus KL, et sit illa parabole KMOQ. A punctis E, F, G, H, I ducantur perpendiculares ad axem et occurrentes huic parabolo in punctis Q, P, 0, N, M.

Ex corollario prsecedentis, quum curva EXO sit secunda curva a priore (1erivata seu formata ea ratione quam jam sepius explicuimus, sequitur, sumpto in ea quolibet puncto, ut Y, et ducta portione tangentis YT, esse

ut quadcatumr YT ad quadratumn GH, ita rectanm KG ad rectam KL.

Sed, ut recta GK ad rectam KL, ita, singulis in rectam KL ductis,

rectangulum GKL ad quadratum KL;

ex natura autem paraboles simplicis, rectangulum GKL xaquatur quadrato applicatæ GO: ergo

quadratum YT est ad quadratum GH ul quadratum GO ad quadralum KL,

idleoque

ut recta YT ad rectam GH, ita recta GO ad rectam KL.

Rectangulurn itaque sub extremis x(quatur rectangulo sub mediis: rectangulum ergo sub GO in GIl wequatur rectangulo sub KL in YT.

Si igitur ducantur aliæ tangentes ER, XS et ZV, occurrentes perpendicularibus in punctis R, S, V, probabitur similiter

rectangulum sub QE in EF equari rectangulo sub KL in ER:

item

rectangulum sub PF in FG æquari rectangulo sub KL in XS;

et sic de reliquis in infinitum.

Unde tandem, per abductionem ad methodum Archimedeam pari quod, in quarta propositione hujus, indicavimus artificio, conficietur et concludetur segmentum parabolicum EQMI æquari rectangulo sub KL in secundam curvarn EXO; sieut et singula segmenta parabolica, EQPF verbi gratia, rectangulo sub KL in portionem curvwe EX, vel segmentum EQOG rectangulo sub KL in portionem curvas EXY, et sic in infinitum.

Dantur autem in rectilineis hæc omnia segmenta parabolica, ex vi quadraturæ paraboles ab Archimede demnonstratæ, et datur etiam recta KL: ergo dantur tam tota secunda curva EXO quam ipsius portiones EXN, EY etc., per rectas perpendiculares ad puncta F, G < etc. > data; abscissæ.

Ad tertiæ curvæ cum rectâ datâ æqualitatem, similis fiet constuictio, nisi quod recta IK ponetur tripla rectæ AB; in quarta curva, eademn IK ponetur quadrupla rectæ AB, et tandem generalis inter omnes istas in infinitum curvas a priore derivandas ita statuetur ratio: erunt nempe singulte inter se ut segmenta parabolica ejusdem paraboles et ejusdem altitudinis, quæ a vertice paraboles distalunt per rectum latus toties sumptum quotwe erunt in ordine curvte inter se comparandæ.

Exempli gratia, sit, in undecima figura (fig. 132), curva nostra

Fig. 132 (11).

parabolica EMA, cujus axis AF, sernibasis EF, rectum latus AD, a quo dempta nona parte CD, reliqua AC bisecetur in B; et a prima ilia curva formetur secunda EOS ejus natura ut, sumpto quolibet puncto in base N, recta NO, perpendicularis ad basim et occurrens curvis in M et 0, sit a-qualis portioni prioris curvæ EM. A secunda formetur tertia EVR, in qua recta NV sit waqualis portioni secunda curvas EO; item a tertia EVR formetur quarta EXL, in qua recta NX sit waqualis portioni terti;ec curvæ EV. Exponatur separatim parabole simplex sive Archimedea, cujus axis infinitus GKQY, vertex G, rectum latus GlH aquale rectæ AB. Quæritur ratio, verbi gratia, quarte curvæ EXL ad primam EMA.

Quia prior ex ipsis est quarta ordine, ab axe abscindenda est GY quadrupla recti lateris GH, deinde ponenda ipsi in directum recta YO a-qualis semibasi EF, et ducendet applicatie rectew YT, OX. Quia verb posterior ex duabus comparandis est prima ordine, abscindenda est ab axe recta GK recto lateri semel tantum aqualis, deinde ipsi ponenda in directum recta KQ semibasi etiam EF æqualis, et ducende applicatæ KI, QP.

Erit, ex demonstratis et canone generali ab illis deducto, ut segmentum parabolicurn YTm O ad segmentum parabolicumn KIPQ, ita quarta curva EXL ad primam EMA. Sed ratio segmentorum parabolicorum inter se data est, ex Archimede: ergo et ratio curvarum inter se data erit. Data est autem prima, ex dernonstratis: datur igitur et quarta, et ipsi recta data æqualis assignari potest, et perpetua illa ratio, remota, si libet, parabola, ad phrasim geometricam ope regule tantun et circini accommodari.

Quod autem de lotis jam probatum et in canonem deductum est, idem de portionibus illarum curvarum inter se comparandis contingere, beneficio segmentorum parabolicorum portiones semibasis ipsis curvarum portionibus oppositas pro altitudine habentium, quis non videt?

Nihil autem nec de solidis ex dictis in infinitum curvis conficiendis, nec de superficiebus ipsorum curvis, nec de centris gravitatum aut linearurn istarum aut dictorum solidorum aut superficierum curvarum, adjungimus, quum methodi hac de re generales a summis et insignibus geometris^[11] jam vulgatæ ista omnia, post cognitam specificam curvæ datæ proprietatem, ignorari non sinant, licet in multis casibus propriam ab unoquoque adjungi operi industriam non inutile futurum existimemus.

Sed antequam manum de tabula tollam, succurrit examinanda sequens propositio :

Sit, in figura duodecima (fig. 133), curva nostra parabolica COA, cujus vertex A, axis AB, semibasis CB. Ab ea formentur aliæ curvæ infinitæ, modo quem jam explicuimus, non ex parte baseos ut supra, sed ex

Fig. 133 (12).

parte verticis. Sint illæ curvæ a prima effingendæ AIF, AGE etc. in infinitum eâ conditione ut, sumpto quovis puncto in axe D et ductâ ad axem perpendiculari DOIG secante curvas in punctis O, I, G, recta DI sit in secunda curva semper æqualis portioni primæ curvæ AO, item recta DG in tertia curva sit semper æqualis portioni secundæ curvæ AI, et sic in infinitum. Hujusmodi omnes curvæ non solum specie inter se et a prima AOC different, sed etiam ab iis quas ex parte baseos supra effinximus. Quæritur ergo an curvæ illæ omnes AIF, AGE etc., sic in infinitum effingendæ, datis rectis an vero aliis cureis sint æquales.

Inquirant illud Geometræ et miraculum augeri experientur : sane, si methodi, quibus utuntur ad dimensionem curvarum, sint generales et sufficientes, quod ipsis affirmantibus in dubium revocare non ausim, primo statim obtutu rem factam habebunt et a labore superfluo geometram jam fatigatum liberabunt.

Si quid autem in superioribus demonstrationibus concisum nimis invenerint, id aut suppleant rogo, aut condonent.

APPENDIX AD DISSERTATIONEM
DE LINEARUM CURVARUM CUM LINEIS RECTIS COMPARATIONE.

Ut ultimæ, quam in Dissertatione proposuimus, quæstioni satisfiat, præmittendte videntur propositiones sequentes

Propositio I.

Siat, in figura prima (fig. 134), duæ curvæ AIF, 3Z8, quarum axes AE, 3 7 sint inter se æquales. Ducantuar autelmn ad axes applicatcc quollibet quæ, in ultraque figura, æquali a vertice intervallo distent.

Fig. 134 (1).

Sint, exempli gratia, applicate prioris BM, CI, DHi, EF; posterioris verb applicate sint 4T, 5Z, 6 9, 7 8; et sit rectæ AB, que designat intervallum applicatæ BM a vertice, æqualis recta 4 3, quæ designat inter vallum etiam applicatæ 4T a vertice. Sit pariter CA æqualis 5 3 ; item DA aequalis 6 3 denique EA, quod jam supposueramus, æqualis 7 3.

Si singulæ ex applicatis sint semper ad abscissas per tangentes ab axe in ratiolne correlatarum,
hoc est : si, ductis tangentibus ad puncta F, H, I, M ex una parte et ad puncta 8, 9, Z, T ex altera, semper contingat ut applicata FE, verbi gratia, sit ad rectam KE, quam tangens FK abscindit ab axe, in eadem ratione quæ est applicatæ 8 7 ad rectam 7 2, quam tangens 8 2 ab axe pariter abscindit ; item applicata DH sit ad abscissam ab axe per tangentem quæ ducitur ad punctum H ut applicata 6 9 ab abscissam ab axe per tangentem ad punctum 9 ductam ; et sic de reliquis ;
aio duas istas curvas AIF, 3Z8 esse inter se æquales, imo et similes ideoque easdem, et applicatas unius figuræ applicatis alterius quæ a vertice æqualiter distant esse pariter æquales.

Ductis enim ad puncta H, I, M, in prima figura, portionibus tangentium HO, IN, MR, quæ occurrant applicatis in punctis 0, N, R ; item, ductis portionibus tangentium, in secunda figura, 9V, ZY, TX, quæ occurrant applicatis in punctis V, Y, X, ex suppositione

ut FE ad EK (in prima figura), ita est 8 7 ad 7 2 (in secunda).

Sed anguli ad puncta E et 7 sunt recti : ergo triangula FEK, 8 7 2 sunt similia ;

ut ergo FK ad KE, ita 8 2 ad 7 2.Sed ut FK ad KE, ita (productâ applicatâ DH ad punctum G) recta FG ad rectam DE,et ut 8 2 ad 7 2, ita (productâ applicatâ 6 9 ad punctum P) recta 8P ad 6 7 :ergo ut recta FG ad rectam DE, ita recta 8P ad 67.Sunt autem rectæ DE, 6 7 æquales, quum rectæ EA et 7 3, item rectæ

DA et 63 sint inter se æquales: ergo et portiones tangentium FG, 8P erunt inter se æquales.

Similiter probabimus portionem tangentis HO æqualem esse portioni tangentis 9V; item portionem tangentis IN sequalem esse portioni tangentis ZY; denique portionem tangentis MR æqualem esse portioni tangentis TX.

Quum ergo series tangentium in prima figura sit sequalis seriei tangentium in secunda, per abductionem ad impossibile more Archimedeo facile concluditur curvam AIF curvæ 3Z8 sequalem esse, quod primo loco fuit probandum; imo et pariter concluditur portiones curvwa correlatas esse inter se æquales: portionem nempe FH portioni 89, portionem curvae HI portioni 9Z, et sic de reliquis.

Superest probandum applicatas pariter unius figure applicatis alterius esse æquales.

Quum, ex suppositione, applicatse sint semper ad abscissas ab axe per tangentes in eadem utrobique ratione, ergo anguli GFE, P 87, qui fiunt ab intersectione tangentium et applicatarum, erunt inter se alquales; item anguli OHD et V6; item anguli NIC et YZ; denique anguli RMB et XT4. Quum ergo portiones omnes prioris curve, FH, HI, IM, MA, sint æquales portionibus posterioris, 8 9, 9Z, ZT, T3, singulIe singulis, imo et earumdem portionum sit eadem utrobique inclinatio (inclinationem enim curvarum metiuntur tangentes, quwa in utraque figura æquales semper, ut probavimus, conficiunt angulos), ergo curva AMIRF, 3TZ 98 non solum sunt inter se æquales, sed etiam similes: unde, si intelligantur altera alteri superponi, congruent omnino, ideoque non solum axes sed applicatas æquales, aut easdem potius, habebunt. Quod secundo loco fuit demonstrandum.

Propositio II.

Sint duæ, in secunda figura (fig. 135), parabolæ ejusdem naturae AOD, XIG, quarum axes sint AC, XF, semibases DC, GF, et sit, verbi gratia,

ut cubus DC ad cubum applicathe BO, ita quadratum CA ad quadraturn BA,

et similiter

ut cubus GF ad cuburn applicatæ IY, ita quadratul FX ad quadratum YX(licet enim propositio sit generalis, a parabola nostra non discedimus); sit autem ut axis unius ad semibasem, ita etiam axis alterius ad semibasem, nempe ut axis CA ad semibasem DC, ita axis XF ad semibasem GF:

Aio duas hasce parabolas esse inter se in ratione aximn vel semibasiumn, hoc est

curvam AOD esse ad curvam XIG ut est axis AC ad axem XF, vel ut semibasis CD ad semibasem GF:

hæ quippe due rationes, ex suppositione, sunt eædem.

Demonstratio est in promptu.

Fig. 135 (2).

Secetur enim uterque axis in quotlibet partes equales. Duas tantum, ad vitandam confusionem et prolixitatem, assumemus: secetur ergo bifariam axis AC in Bet axis FX in Y et, ductis applicatis BO, YI, ducantur ad puncta D, O tangentes DN, OM, quarum prior occurrat applicatœ BO in puncto E, posterior vero rect AV, applicatis parallelæ, in puncto V; item, in altera figura, ducantur ad puncta G, I tangentes GK, IS, occurrentes applicatt YI et ipsi parallelhe XR in punctis H,R. Ex suppositione est

ut DC ad CA, ita GF ad FX;

sed, ex natura istius paraboles,

recta CA est ad CN abscissam per tangentem ut 2 ad 3;

item

recta FX est etiam ad rectam FK per tangentem abscissain ut 2 ad 3:

ergo, ex etquo, est

ut IDC ad CN, ita GF ad FK.

Sunt ergo tequiangula triangula DNC, GKF: ergo

ut iDN ad NC, ita GK ad KF.

Sed

ut DN ad NC, ita DE ad CB,

et

ut GK ad KF, ita GH ad FY:

ergo

ut DE ad CB, ita GH ad FY.

Similiter probabitur esse

ut OV ad BA, ita IR ad XY.

Qutum ergo portiones axium, AB, BC ex una parte et XY, YF ex altera, sint inter se aquales, ergo

ut omnes tangentium portiones DE, OV ad totumn axem AC, ita omnes tangentiun portiones GH1, IR ad toltum axem XF.

Omnes autem porliones tangentium r i D et OV et plures, si opus sit, beneficio abductionis ad impossibile, ut jam s'pius et indicatum et probatum est, designant totam curvam DOA; item omnes portiones tangentium GH, IR et plures etiam, si opus sit, designant totam curvam GIX: ergo

ut curva DOA ad axem AC, ita curva CIX ad axem XF, ct, vicissim et convertendo, erit axis AC ad axem XF sive basis DC (ex suppositione) ad basim GF ut curva DOA ad curvam GIX.

Quod erat demonstrandum.

Propositio III.

Esto, in tertia figura (fig. 136), curva AO, cujus axis AC, basis CO, et ab ea intelligatur formari alia cturva ejulsdem e i e eti verticis, in qua applicatce silt senmper zi ratione applicatarllu prioris curvæ: sit nempe

ut basis CO ad basini CV, ita applicata BP prioris curvæ ad applicatam BR posterioris curvæ et ita applicata DE ad applicatam DN,

et sic in infinitum; si ad punctun quodlibet prioris curivo, uit 0, clucaflr tan gens OH cCinZ axe cozienieens in puncto H, et continuetur CO donlec occurral secrndce curvce in aV, aio rectanm, qual puncta V et H cot1jiC/g'it, Iangere sectndamn curcamn, et seNzper contingere at ttngentes correlater in ultratqule cutva cad idem punctlun axi occurrant.

Fig. 136 (3).

Ducantur enini applicatw BPR, DEN, occurrentes curvis in punctis,, E, N, et rectis 011O, VY productis in punctis Q, S, F, MI.

Si probaverimus rectam BS, supra rectan CV ductam, semper majorem esse recta BR, item rectam DM, inferius ductarn, esse etiam scmper rmajorem applicata DN, patebit rectam MVSH tangere secundam curvam in puncto V. Ex constructione

ut CO ad CV, ila est applicata BP ad applicatam BR;sed, propter parallelas COV, BQS, qua secantur a tribus rectis CH, OH, VI ad icem punctum vergentibus, est etiam ut CO ad CV, ita recta BQ ad rectam BS:ergo ut recta BP ad rectam BR, ita est recta BQ ad rectam BS,et, vicissim, ut recta 3P ad rectanm BQ, ita est recta BR ad rectam BS.

Quum autem recta OQII tangat priorem curvam in puncto O, recta BQ erit major recta BP: ergo etiam recta BS erit major rectt BR. Quod primo loco fuit probandum.

Nec dissimilis in applicata inferius sumpta erit demonstratio: ex suppositione enim est

ut CO ad CV, ila DE ad DN,et, propter parallelas, est etiam ut CO ad CV, ita DF ad DM:ergo ut DE ad DN, ita est DF ad DM.Est autem DE minor DF': ergo et DN ipst DM minor erit.

Recta itaque MVSH in puncto V tangit secundam curvam.

Lemma ad id quod sequitur.

Sit, in quarta figura (fig. 137), parabole nostra GIA, cujus axis AE, semibasis EFG, tangens GH. Constituatur ad eumdem axem AE alia parabole ejusdem naturæ FNA, cujus semibasis EF sit potestate subdupla prioris semibasis EG, et semper contingat applicatam quamvis, ut NO, applicatae OI ad priorem curvam esse pariter potestate subduplam. Sit rectum prioris GIA paraboles latus recta AD, cujus nona pars sit CD, et reliqua AC bisecetur in B. Ducatur ad secundam parabolen tangens ad punctumr F recta FH, que in eodem puncto H cum axe conveniet, non soluin ex vi propositionis præcedentis, sed quia, ex natura istarum parabolarum, in utraque recta EA est ad rectam EH ut 2 ad 3, ex superius demonstratis.

Fig. 137 (4).

Aio

quadratum FE esse ad quadratum ElI ut est dimidia rect AB ad rectam EG.

Jam enim, in propositione III Dissertationis, demonstratum est

quadratum GE esse ad quadratum ElI ut est recta AB ad rectam EG:ergo, sumptis antecedentium dimidiis, erit ut quadratum EF,quod supposuimus esse dimidium quadrati GE, ad quadratunl EH, ita dimidia rectæ AB ad rectain GE

Probabimus pariter, si recta FE sit potestate subtripla recta- GE, hioc est, si quadratum FE sit subtriplum quadrati GE, esse

ut quadratum FE ad quadratum EH,
ita tertiam partern recte AB ad rectam GE;et sic de subquadruplo, subquintuplo et reliquis in infinitum.

Quum autem, in ratione subdupla, probaverimus esse

ut quadratum FE ad quadratum EH, ita dimidiam AB ad rectam GE

ergo, componendo, erit ut summa quadratorum FE, EH, sive ut unicum

quadratum FH ad quadratum EH, ita dimidia AB una curm GE ad ipsam G-E.

Si vero recta EF sit potestate subtript rectte GE, erit

ut quadratumr FH ad quadratum IEH, ita tertia pars AB una cur GE ad ipsam GE.

Si recta EF sit potestate subquadrtula rectt GE, erit

ut quadratunm FH ad quadralum Ell, ita quarta pars AB una cum EG ad ipsam EG;et sic in infinitum et in quacumque applicata idem continget. Propositio IV.

His pramissis, theorema generale haud difficulter detegimus.

Sit, in figura quinta (fig. i38), parabole nostra AC, cujus axis AB, semibasis BC, et ab ea formentur alix in infinitum curvwa AD, AE, AF,

Fig. 138 (5).

quarum ea sit proprietas ul, ducta qualibet applicata BCDEF, recta BE sit semper æqualis priori curvie CA, recta BE Tqualis secunda curva AD, recta BF equalis tertiut curvm AE, idque semper in omnibus ad illas curvas applicatis contingat: Aio omnes illas et singulas in infinitum curvas AD, AE, AF etc. esse semper datis lineis rectis equales, perinde ac curvas quas in Dissertatione, diversa et dissimili ex parte baseos methodo, construximus.

Theorema generale ita se habet:

Exponatur separatim (fig. 139) eadem parabole 03M aequalis omnino et similis ipsi AC, cujus ideo axis MN aequalis est axi AB et semibasis ON semibasi BC (separatim enim, ad vitandam confusionem, figuram construendam duximus). Fiat recta NP rectæ NM potestate dupla, recta NQ ejusdem NM potestate tripla, recta NR ejusdem NM potestate quadrupla, et sic in infinitum. Manente autem eadem semibasi ON,

Fig. 139 (5).

construantur parabolæ per vertices P, Q, R ejusdem cuml parabola O3M vel AC naturæ, et sint illæ O4P, O5Q, O6R etc. Aio parabolen 0 4P curvæ AD esse equalem, parabolen vero 05Q curvæ Al esse equalem, denique parabolen 06R curvte AF esse equalem, et sic in infinitum.

Quum in nostris parabolis 04P, 05Q, 06R, ductà applicatà 2 3 4 5 6, sit semper, ex natura dictarum parabolarum,

ut cubus rectæ ON adc cubum rectæ 42, ita quadratum recte sive axis NP ad quadratum P2;item ut cubus ON ad cubum 52, ita quadratum NQ ad quadratum Q2;denique ut cubus ON ad cubum 62, ila quadratum NR ad quadratum R2.patet, ex praedemonstratis in Dissertatione, singulas ex istis parabolis rectis datis æquales esse: ergo, post demonstrationem theorematis nostri generalis, constabit singulas quoque ex curvis AD, AE, AF rectis datis æquales esse.

Demonstratio autem theorematis generalis hæc est :

Sit rectum paraboles istius latus recta AS (fig. i38), a qua si demas nonam partem SY, reliquam biseces in puncto V, et ad puncta C, D, E

Fig. 138 (5).

ducantur tangentes ad novas curvas, CI, DH, EG, quae occurrant axi in punctis I, H, G.

Ex demonstratis in tertia Dissertationis propositione,

quadratumn BC est ad quadratum BI ut recta AV ad rectam BC,et, componendo, quadratum CI est ad quadratum BI ut recta AV una cum BC ad BC.Sed ex propositione VI Dissertationis, ut est quadratum tangentis CI ad quadratum BI, ita quadratum rectæ BD se habet ad quadratum rectæ BH,quam abscindit tangens DH: ergo ut quadratum BD ad quadratum BH, ita recta AV una cum BC ad BC,et, componendo, ut quadratum tangentis DH ad quadratum BH, ita recta AV una cum BC bis sumpta ad ipsam BC.

Sed

ut quadratum tangentis DH ad quadratum HB, ita,

ex eadem Dissertationis propositione,

quacratum BE est ad quadratumr rectwe BG a tangente EG abscissæ:ergo ut quadratum rectæ BE ad quadratum recte BG, ita est recta AV una curn BC bis sumpta ad ipsam BC.

Similiter probabitur, si ducatur ad curvam EA applicata ZTK secans curvam AC in T, et intelligatur ad punctum K duci tangens ad curvam AKE, esse pariter

ut quadratum KZ ad quadratum recte

quam tangens per punctum K ducta ab axe abscindit,

ita rectam AV una cum ZT bis sumpta ad ipsam ZT,

et sic semper continget.

Exponatur separatim ad vitandam confusionem eadem curva AKE, quæ sit in figura separata (fig. 140) PFX. Basis X, sit itaque aqualis

Fig. 138 (5).
Fig. 140 (5).

basi EB, tangens ${\displaystyle \lambda \gamma }$ tangenti EG, axis 68 axi BA, abscissa per tangentern ab axe Sy abscissæ BG, applicata v? applicata ZK. Ab hac curva?,?P formetur alia ipsa minor 0-3, ea conditione ut applicatæ novaw istius curvæ sint semper subduplse potestate applicatarum prioris: verbi gratia, recta 80 sit subdupla potestate recte )oW; item applicata v=; sit subdupla potestate recta v?; et sic de reliquis. Ducantur in hac nova curva, tangentes ad puncta 0, 7, rectse Oy, T 7.

Ex præcedente tertia propositione patet tangentes 0Y, ~y ad idem punctum y cum axe concurrere; item tangentes ad puncta?, ductai ad idem etiam punctum, verbi gratia 7, cum axe concurrere, quum applicate utriusque figurte sint in eadem semper inter se ratione.

Exponatur adhuc separatim (fig-. i41) parabole ejusdem cum para

Fig. 139 (5).
Fig. 141 (5).

bolis OM, OP etc. (fig. 139) nature, cujus axis 9 8 sit tqualis asi MN sive AB sive o3, semibasis autem 8 XC sit subdupla potestate semibaseos NO sive BC; et sit illa 7y i 9, a qua formetur alia 9 I2 ', cujus idem sit axis 98, applicata vero 8 sit equalis curv7e 7 i 9, item applicata 10 11 12 sit æqualis curve I I 9, et sic de reliquis.

Probandum primo curvas 07r et J' 12 9 esse easdem, hoc est, omnino æquales et similes. Quod sic demonstrabitur:

Probavimus quadratum BE esse ad quadratum BG, sive quadratum;( ad quadratum 3y, ut rectam AV una cum CB bis sumpta ad rectam CB: ergo, sumptis antecedentium dimidiis, quum posuerimus rectam 08 esse potestate subduplam rectæ 8, quadratum rectse O( erit dimidium quadrati kS, ideoque ut quadratum O8 ad quadratum 8y, ita dimidia AV una cum CB erit ad ipsam CB. Similiter probabimus in alia qualibet applicata, ut 7;v, esse quadratunm.v ad quadratum v 7 ut dimidiam AV una cumn ZT ad ipsam ZT;

et sic de reliquis. Disquirendum jam an eadem proprietas curvæ psi 1 2 9 conveniat. Quod ita fiet:

In curva 7 I I 9, cujus semibasis X 8 est potestate subdupla semibaseos BC et axis 8 9 equalis axi AB, ex lemmate superiori, ductis tangentibus ad puncta 7, " rectis 7p, "~*,

Fig. 138 (5).
Fig. 140 (5).
quadratum 8 est ad quadraturn 8p ut dimidia recte AV ad rectam CB;

recta enim 7 8 est potestate subdupla recte CB: ergo, componendo,

quadratum Xp est ad quadratun 8 p ut dimidia AV una cum CB ad ipsam CB.

Similiter, si intelligatur recta 9 IO æqualis rectæ AZ, hoc est si puncta 10 et Z æqualiter a vertice distent,

quadratum tangentis ad punctum I clucte erit ad quadraturl abscissæ al axe ut dimidia AV una cum recta ZT ad ipsam ZT.

Sed,

ut quadratur m p ad quadratum 8p, ita,

ex propositione VI Dissertationis, est

quadratunm applicate ~ 8 ad quadratum a tangente abscisse 8 o,

(et, similiter,

ut quadratum tangentis ad punctum I ductm ad quadratum abscissæ ab axe, ita quadratum applicatTe 12 o1

ad quadratum abscisswe ab axe per tangentem ad punctum 12 ductam)

ergo

ut quadratum d 8 ad quadratum 8 a, ita dimidia AV una cum BC ad BC.

Sed in alia figura (fig. 140) prohavimus

quadratum applicate 0O esse ad quadratum abscisse a tangente 8y ut est dimidia AV una cumr BC ad CB:ergo, in duabus curvis q 12 9, OT,, erit ut, 8 ad abscissam 8 a-, ita applicata O ad abscissam n3y,et in omnibus aliis punctis idem semper continget, et eodem modo probabimus nempe applicatam, verbi gratia, o0 12 esse ad abscissam a tangente ad puncturm 1 ducta ut est 7v, ad v 7,et sic de reliquis.

Per primam itaque propositionem hujus Appendicis, quum curva 9 12, 0iP habeant eumdem axem, et applicatæ sint ad abscissas ab axe per tangentes utrobique in eadem correlatarum ratione, illte curvæ erunt inter se œquales, et ipsse etiam ipsarum semibases, et omnes

Fig. 138 (5).
Fig. 140 (5).

similiter applicatæ a verfice equidistantes. Ex constructione autem semibasis ~ 8 est æqualis curvTe 1 9: ergo curva 7 II 9 est æqualis rectæ 08. Recta autem 03 est potestate subdupla rectte 3k cx constructione: ergo curva parabolica X 7I 9 est potestate subdupla rect 8X. Recta autem 8k est æqualis rectte BE et recta BE supposita est, in constructione curvarum a primaria AC derivatarum, equalis esse curvce AD: ergo parabole y7 I 9 est subdupla potestate curve AD. Sed eadema curva 7 1t 9 est subdupla potestate paraboles 0 4 P: basis enim 7 8 est tacta potestate subdupla baseos BC sive NO, et similiter axis 8 9 sive AB sive NM est potestate subduplus axis NP; quum ergo parabola 0 4P, II 9 sint ejusdem naturæ et tam axis quam basis paraboles 71 T 9 sint potestate subduplte axis et baseos paraboles 04 P, ergo et ipsa parabole y I i 9, ex propositione II hujus Appendicis, erit subdlupla paraboles 0 4 P. Quum ergo, ut jam probavimus, eadem parabole X i 9 sit subdupla tam paraboles 0 4P quam curve AD, curva AD et ipsa parabole 04 P erunt inter se æquales. Quod erat demonstrandum.

Nec dissimili, ad probandum curvam AE a3qualem esse parabola0 5 Q, utendum artificio.

Quum enim

quadratum BE esse ad quadraturn BG ut est recta AV una cum BC bis sumpta ad ipsam BCprobatum fuerit, ergo, componendo et ulterius progrediendo, erit quadratum tangentis EG ad quadratum recte BG ut recta AV una cum BC ter sumpta ad ipsam BC.Est autem, ex prsedemonstratis in sexta propositione Dissertationis, ut quadratum EG ad quadratum BG, ita quadratum BF ad quadratum abscisse ab axe per tangentem ad punctum F ductam:ergo quadratum BF erit ad quadratum illius abscissæ ut est recta AV una cum BC ter ad BC.

In reliquis imitabimur omnino et sequemur vestigia demonstrationis

Fig. 139 (5).
Fig. 141 (5).

præcedentis, nisi quod in figura separata (fig. 140), postquam fuerit facta aequalis ipsi BF, recta ${\displaystyle \delta \theta }$ fiet subtripla potestate ipsius BF vel ${\displaystyle \delta \lambda }$, curva ${\displaystyle \delta \phi \beta }$ curvae FA fiet æqualis, curva ${\displaystyle \theta \pi \beta }$ ejus erit naturae ut omnes applicatæ sequantur rationern basium ${\displaystyle \lambda \delta }$, ${\displaystyle \theta \delta }$. In alia autem figura separata (fig. 141) in qua curvae 911${\displaystyle \chi }$ et 912${\displaystyle \psi }$, recta 98 erit aequalis, ut supra, rectæ MN vel AB vel ${\displaystyle \beta \delta }$, basis vero 8${\displaystyle \chi }$ fiet subtripla potestate baseos ON vel CB, et fiet ${\displaystyle \chi }$119 parabole ejusdem cum parabolis CTA vel O3M naturæ; a qua quumn formabitur curva ~ 129, cujus applicata 8 ~, 10o 2 sint, ut supra, sequales curvis Y 9, I 9, probabimus, ut supra, curvain [PO et curvam 9 1 7 esse inter se æquales et similes, hoc est, easdem.

Unde concluditur bases 08 et 8 esse Tquales, ideoque basinm 8 sive curvam 9 i X esse potestate subtriplam recta 8X sive BF sive curvaw AE; est autem etiam, ex prædemonstratis, parabole 7/ 1 9 subtripla potestate paraboles 0 5 Q: ergo curva AE et parabole O 5 Q erunt inter so aquales.

Eodem ratiocinio in ulterioribus casibus utemur et generalem nostri theorematis veritatem evincemus.

Qui autem superiorem Dissertationem et bane ad ipsam Appendicem accuratius legerint, prwecipua methodi nostras fundamenta statim agnoscent, et ex eis deduci facillimam curvarum dimensionem deprehendent.