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Théorème du quart de Koebe

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En analyse complexe, le théorème du quart de Koebe s'énonce comme suit :

Théorème — L'image d'une fonction analytique injective du disque de l'unité sur un sous-ensemble du plan complexe contient le disque dont le centre est et dont le rayon est .

Le théorème porte le nom de Paul Koebe, qui a conjecturé le résultat en 1907. Le théorème a été prouvé par Ludwig Bieberbach en 1916. L'exemple de la fonction de Koebe montre que la constante est optimale.

Théorème de l'aire de Grönwall

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Soit la fonction

que l'on suppose univalente dans . Alors

En effet, si , le complément de l'image du disque est un domaine borné . Son aire est donnée par

Puisque l'aire est positive, le résultat s'ensuit en faisant tendre vers . La preuve ci-dessus montre que l'égalité est vraie si et seulement si le complément de l'image de a une aire nulle, c'est-à-dire de mesure nulle.

Ce résultat a été prouvé en 1914 par le mathématicien suédois Thomas Hakon Grönwall.

Fonction de Koebe

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La fonction de Koebe est définie par

L'application du théorème à cette fonction montre que la constante dans le théorème ne peut pas être augmentée, car le domaine image ne contient pas le point et ne peut donc contenir aucun disque centré sur avec un rayon supérieur à .

La fonction de Koebe d'angle est

avec un nombre complexe de module égal à . La fonction de Koebe et ses rotations sont schlicht : c'est-à-dire univalentes et satisfaisant et .

Inégalité du coefficient de Bieberbach pour les fonctions univalentes

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Soit

univalente dans . Alors

en appliquant le théorème de l'aire de Grönwall à la fonction univalente impaire

avec égalité si et seulement si est une fonction de Koebe d'angle donnée.

Ce résultat a été prouvé par Ludwig Bieberbach en 1916 et a servi de base à sa célèbre conjecture selon laquelle , prouvé en 1985 par Louis de Branges.

Preuve du théorème du quart

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En composant par une application affine, on peut supposer

de sorte que

Si n'est pas dans , alors

est univalente dans .

et donc

Théorème de distorsion de Koebe

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Le théorème de distorsion de Koebe donne une série de bornes pour une fonction univalente et sa dérivée. C'est une conséquence directe de l'inégalité de Bieberbach pour le second coefficient et du théorème du quart de Koebe[1].

Soit une fonction univalente sur normalisée de sorte que et et . Alors

avec égalité si et seulement si est une fonction de Koebe

Notes et références

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  1. Pommerenke 1975, p. 21–22