Théorème de Cayley
Ne doit pas être confondu avec Théorème de Cayley-Hamilton.
En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire[1] établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :
Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn.
Remarques
[modifier | modifier le code]- Si G est d'ordre n, le groupe Sn dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
- Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.
Utilisations
[modifier | modifier le code]- Ce théorème est utilisé en théorie des représentations de groupes. Soient G un groupe et une base d'un espace vectoriel E de dimension |G|. Le théorème de Cayley indique que G est isomorphe à un groupe de permutations des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme de E qui ici, par construction, est un automorphisme de E. Cela définit une représentation du groupe : sa représentation régulière.
- Il intervient aussi dans une démonstration du premier théorème de Sylow.
Historique
[modifier | modifier le code]Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854[2]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan[3], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870[4],[5] : les permutations tg sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, tg est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Sa preuve est très courte : voir par exemple .
- (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 », Philos. Mag., vol. 7, no 4, , p. 40-47.
- Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, (1re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.
- Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars, (lire en ligne), p. 60-61.
- Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, no 3, , p. 202-203 (JSTOR 2321608).
