Théorème d'Erdős-Anning
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En géométrie discrète, le théorème d'Erdős-Anning[1] établit que si une infinité de points d'un espace euclidien sont tous à des distances entières les uns des autres, alors ils sont alignés.
Nous devons ce théorème au mathématicien hongrois Paul Erdős et au mathématicien canado-américain Norman H. Anning.
Distances rationnelles
[modifier | modifier le code]On ne peut plus conclure que les points sont alignés si l'on demande seulement que toutes leurs distances soient rationnelles. Par exemple sur le cercle unité, les points d'affixe eia (–π < a ≤ π) avec cos(a/2) et sin(a/2) rationnels, c'est-à-dire tan(a/4) rationnel, sont à distances rationnelles les uns des autres car |eia – eib| = 2|sin(a⁄2 – b⁄2)|.
Plus généralement, un cercle contient un ensemble dense de points à distances rationnelles les uns des autres si et seulement si le carré de son rayon est rationnel[2].
Tout ensemble fini de points à distances rationnelles les uns des autres peut être transformé en un ensemble de points à distances mutuelles entières, par toute similitude dont le rapport est un dénominateur commun de ces distances rationnelles. Ceci permet de construire des ensembles finis arbitrairement grands de points non alignés à distances mutuelles entières, mais ce procédé ne s'adapte pas à un ensemble infini.
On ne sait pas s'il existe un ensemble dense de points du plan euclidien à distances mutuelles rationnelles[2].
Démonstration en dimension 2
[modifier | modifier le code]Soit S un ensemble de points du plan à distances mutuelles entières, contenant trois points A, B, C non alignés, et notons b = d(A, B) et c = d(A, C). Montrons que S est fini, de cardinal inférieur ou égal à 4(b + 1)(c + 1). Pour tout point X de S, l'entier |d(A, X) – d(B, X)| est compris entre 0 et b d'après l'inégalité triangulaire. Pour chacun des b + 1 entiers k compris entre 0 et b, le lieu des points X tels que |d(A, X) – d(B, X)| = k est une hyperbole (éventuellement dégénérée (en)) de foyers A et B, et X appartient à l'une de ces b + 1 hyperboles. De même, X appartient à l'une des c + 1 hyperboles analogues de foyers A et C. Chaque paire d'hyperboles, dont l'une est dans la première famille et l'autre dans la seconde, ayant au plus 4 points d'intersection, S contient au plus 4(b + 1)(c + 1) points.
Ensembles maximaux de points à distances entières
[modifier | modifier le code]Un graphe d'Erdős-Diophante (en) est un ensemble maximal de points à distances mutuelles entières. On peut reformuler le théorème d'Erdős-Anning en disant qu'un tel ensemble, s'il est non aligné, est nécessairement fini.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Norman H. Anning et Paul Erdős, « Integral distances », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 51, no 8, , p. 598-600 (lire en ligne)
- (en) Victor Klee et Stan Wagon, « Problem 10. Does the plane contain a dense rational set? », dans Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, CUP, coll. « Dolciani mathematical expositions » (no 11), (ISBN 978-0-88385-315-3, lire en ligne), p. 132-135
