Série statistique à deux variables

En statistique, il est courant d'étudier simultanément deux variables pour analyser l'existence d'une corrélation entre elles. Pour donner un exemple, cette approche peut être utilisée pour examiner la relation entre l'âge et la taille des enfants de 0 à 20 ans, le prix au mètre carré et l'année, ou encore l'allongement d'un ressort en fonction de la force appliquée.

Pour chaque individu, on relève la valeur de deux caractères x et y. On obtient alors une liste de couples de nombres ${\displaystyle (x_{i};y_{i})}$ que l'on peut présenter sous forme d'un tableau.

Exemple 1: moyenne de l'année et note à l'examen pour un échantillon de 24 personnes.

Note de l'année	8	9	7	15	12	12	10	8
Note à l'examen	7	9	4	17	13	15	9	13
Note de l'année	11	11	7	8	11	11	12	12
Note à l'examen	14	9	11	10	9	12	17	12
Note de l'année	7	9	9	5	9	5	10	4
Note à l'examen	8	15	12	7	14	12	11	7

Exemple 2: Masse appliquée (en gramme) et longueur du ressort (en cm).

Masse en grammes	7	10	18	20	5	24	12	3
Longueur en cm	8.5	9	10.5	11	8	11.8	9.4	7.5

On peut étudier séparément chaque caractère statistique et calculer leur moyenne ${\displaystyle {\overline {x}}}$ et ${\displaystyle {\overline {y}}}$, médiane, quartile, écart type ${\displaystyle \sigma _{x}}$ et ${\displaystyle \sigma _{y}}$, variance V(x) et V(y) .

On aura besoin de définir des quantités qui font intervenir conjointement les deux caractères :

• la covariance cov(x, y) = ${\displaystyle {\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}$ ;
• le coefficient de corrélation linéaire r = ${\displaystyle {\dfrac {cov(x,y)}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}}$.

Chaque couple de réels ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ définit un point ${\displaystyle M_{i}}$ de coordonnées ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$. L'ensemble de ces points s'appelle un nuage de points. Il arrive que deux points aient les mêmes coordonnées, ils seront alors représentés par un point dont la surface sera deux fois celle des autres.

On peut aussi placer le point moyen. C'est le point G dont les coordonnées sont ${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}$

Le nuage de points est un bon indicateur pour vérifier une corrélation entre les caractères x et y. Si les points sont sous la forme d'un nuage, il est fort à parier que les phénomènes ne sont pas corrélés. S'ils semblent dessiner une courbe, on cherchera à déterminer la nature de la courbe en procédant à un ajustement.

Exemple 1 : Nuage de points donnant la note à l'examen en fonction de la moyenne de l'année.

L'observation du nuage de points laisse supposer qu'il n'existe pas de corrélation nette entre les notes de l'année et les notes à l'examen. Le calcul du coefficient de corrélation donne pour résultat 0,6, soit une corrélation modeste. On peut toutefois observer qu'une grande partie du nuage est situé au-dessus de la droite d'équation y = x ce qui laisse penser que les élèves se sont mieux sortis de l'examen que du contrôle continu.

Exemple 2 : Nuage de points donnant la longueur du ressort en fonction de la masse appliquée.

Les points semblent alignés. On va donc tenter un ajustement affine.

Si les points semblent alignés, on détermine la droite d'ajustement grâce à une régression linéaire.

La droite d'ajustement a pour équation:

${\displaystyle y={\dfrac {cov(x,y)}{V(x)}}(x-{\overline {x}})+{\overline {y}}}$

Elle passe par le point moyen G.

Cet ajustement est considéré comme valide si le coefficient de corrélation linéaire r est assez grand en valeur absolue (la borne ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$ est souvent utilisée^[1]).

Exemple du ressort

La droite de régression a pour équation y = 0,2x + 7 et le coefficient de corrélation est pratiquement égal à 1. On peut donc affirmer sans trop d'erreur que l'allongement du ressort est proportionnel à la masse appliquée (lois de déformation élastique). Le fait que les points ne soient pas exactement alignés provient des erreurs ou imprécisions des mesures.

Si les points semblent dessiner une exponentielle, il n'est pas adéquat de tenter un ajustement affine. Pour vérifier la corrélation exponentielle, il est bon de tracer un nouveau nuage de point de coordonnées ${\displaystyle (x_{i},z_{i}=\ln(y_{i}))}$, ou bien de tracer le nuage de points dans un repère semi-logarithmique. Si les points semblent alignés, on peut tenter un ajustement affine de ${\displaystyle z_{i}}$ en fonction de ${\displaystyle x_{i}}$.

Si la droite d'ajustement a pour équation z = ax + b, cela signifie que ln(y) = ax+b. Il existe donc une relation exponentielle entre y et x:

${\displaystyle y=\mathrm {e} ^{b}\times \mathrm {e} ^{ax}=K\mathrm {e} ^{ax}}$

Les formules de régression linéaire donnent

• pour a. ${\displaystyle a={\dfrac {cov(x,z)}{V(x)}}}$
• pour K. ${\displaystyle K={\dfrac {\mathrm {e} ^{\overline {z}}}{\mathrm {e} ^{a{\overline {x}}}}}}$

Et si on appelle ${\displaystyle y_{g}}$, la moyenne géométrique des ${\displaystyle y_{i}}$, on remarque que

${\displaystyle K={\dfrac {y_{g}}{\mathrm {e} ^{a{\overline {x}}}}}}$

La courbe passe alors par le point ${\displaystyle G'({\overline {x}},y_{g})}$

Exemple 3 : Évolution de l'actif net d'une mutuelle de 1988 à 1997 (d'après bac Nouvelle-Calédonie décembre 2000).

année depuis 1900 : ${\displaystyle x_{i}}$	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97
Actif net en milliards d'Euros: ${\displaystyle y_{i}}$	5,89	6,77	7,87	9,11	10,56	12,27	13,92	15,72	17,91	22,13
${\displaystyle z_{i}=\ln(y_{i})}$	1,7733	1,9125	2,0631	2,2094	2,358	2,5072	2,6333	2,7549	2,8854	3,0969

Le tracé du nuage de points montre plutôt le dessin d'une fonction exponentielle. Le soupçon est confirmé par le tracé du nuage de points de coordonnées ${\displaystyle (x_{i};z_{i})}$ qui donne des points presque alignés.

L'ajustement affine de z en fonction de x conduit à l'équation z = 0,143x - 10,813 avec un coefficient de corrélation voisin de 1.

On peut donc affirmer que l'évolution de l'actif semble être une fonction exponentielle de l'année:

${\displaystyle y=\mathrm {e} ^{0,143x-10,813}}$

Tracé du nuage et de l'ajustement exponentiel

Il est possible aussi que la relation soit sous forme de puissance. Le phénomène est difficile à voir sur le nuage de point. Si on soupçonne une corrélation du type puissance, on trace le nuage des points de coordonnées ${\displaystyle (t_{i}=\ln(x_{i}),z_{i}=\ln(y_{i}))}$, ou bien on trace le nuage de points de coordonnées ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ dans un repère log-log. Si les points paraissent alignés on tente une régression linéaire de ${\displaystyle z_{i}}$ en fonction de ${\displaystyle t_{i}}$.

Si la droite d'ajustement a pour équation z = at + b, cela signifie que ln(y) = aln(x)+b. Il existe donc une relation en puissance entre y et x:

${\displaystyle y=\mathrm {e} ^{b}\times x^{a}=Kx^{a}}$

Les formules de régression linéaire donnent

• pour a. ${\displaystyle a={\dfrac {cov(t,z)}{V(t)}}}$
• pour K. ${\displaystyle K={\dfrac {\mathrm {e} ^{\overline {z}}}{\mathrm {e} ^{a{\overline {t}}}}}}$

Et si on appelle ${\displaystyle y_{g}}$, la moyenne géométrique des ${\displaystyle y_{i}}$ et ${\displaystyle x_{g}}$, la moyenne géométrique des ${\displaystyle x_{i}}$ on remarque que

${\displaystyle K={\dfrac {y_{g}}{x_{g}^{a}}}}$

La courbe passe alors par le point ${\displaystyle M_{g}(x_{g},y_{g})}$

Exemple: Étude de la période de certaines planètes en fonction du demi-grand axe de leur trajectoire.

Planète	demi grand axe a en ${\displaystyle 10^{9}}$ m	période T en ${\displaystyle 10^{6}s}$	ln(a)	ln(T)
Mercure	57,9	7,59	4,059	2,025
Venus	108,2	19,36	4,684	2,863
Terre	149,6	31,47	5,008	3,449
Mars	227,9	59,19	5,429	4,081
Jupiter	778,3	373,32	6,657	5,992

Une représentation du nuage de points dans un repère log-log présente des points presque alignés.

Un ajustement linéaire de ln(T) en fonction de ln(a) conduit à l'équation :

ln(T) = 1,5ln(a) - 4,062

avec un coefficient de corrélation linéaire très proche de 1.

Ce qui conduit à la relation suivante:

${\displaystyle T={\dfrac {a^{3/2}}{k}}}$

${\displaystyle {\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}=K}$ conforme à la troisième loi de Kepler

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