Martingale locale

Dans la théorie des processus stochastiques, une martingale locale est un processus stochastique qui est localement une martingale, ce qui signifie qu'il y a une suite de localisation de temps d'arrêt et que le processus arrêté est une martingale.

Soi ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,P)}$ un espace de probabilité filtré et un processus ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adapté ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ avec ${\displaystyle X_{0}=0}$ (zéro à zéro).

S'il existe une suite non décroissante ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de temps d'arrêt de ${\displaystyle \mathbb {F} }$ telle que

1. ${\displaystyle P\left(\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}=\infty \right)=1}$ et
2. pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ le processus arrêté ${\displaystyle X^{(n)}=(X_{t}^{(n)})_{t\geq 0}}$ défini par ${\displaystyle X_{t}^{(n)}{\overset {\Delta }{=}}X_{t\wedge T_{n}}}$ soit une martingale,

alors on appelle ${\displaystyle X}$ une martingale locale et on écrit ${\displaystyle X\in {\mathcal {M}}^{\operatorname {loc} }}$.

Si ${\displaystyle X}$ est continue, on écrit ${\displaystyle X\in {\mathcal {M}}^{c,\operatorname {loc} }}$^[1].

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