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Inégalité de Ptolémée

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L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.

Figure de l'inégalité de Ptolémée.

Théorème — Soient , , et quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

avec égalité si et seulement si , , et sont cocycliques ou alignés avec , séparant ,.

Le cas d'égalité étant connu comme le théorème de Ptolémée.

L'inégalité de Ptolémée est la manifestation de l'inégalité triangulaire après l'application d'une inversion de centre l'un des points[1], ou, dans le cas plan, directement en utilisant les nombres complexes [2],[1].

Démonstration utilisant les nombres complexes (cas plan)

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Soient les affixes respectives de . En développant et refactorisant , on obtient , donc d'après l'inégalité triangulaire, on a :

, d'où l'inégalité voulue.

Si deux points sont confondus, les quatre points sont cocycliques ou alignés, sinon le cas d'égalité s'écrit :

avec , ce qui s'écrit aussi , ou encore , d'où le résultat.

Démonstration utilisant une inversion

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Soit , et les images respectives de , et par l'inversion de centre et de rapport .

Nous avons les relations entre longueurs :

Ainsi l'inégalité triangulaire nous donne

qui après multiplication par devient

Il y a égalité si et seulement si , et sont alignés dans cet ordre, ce qui est équivalent à : , , et sont cocycliques ou alignés, avec séparant .

Références

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  1. a et b Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, , p. 254-255, 322, 362, 473-474
  2. Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 299