Inégalité de Ptolémée
L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Théorème — Soient , , et quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,
avec égalité si et seulement si , , et sont cocycliques ou alignés avec , séparant ,.
Le cas d'égalité étant connu comme le théorème de Ptolémée.
L'inégalité de Ptolémée est la manifestation de l'inégalité triangulaire après l'application d'une inversion de centre l'un des points[1], ou, dans le cas plan, directement en utilisant les nombres complexes [2],[1].
Démonstration utilisant les nombres complexes (cas plan)
[modifier | modifier le code]Soient les affixes respectives de . En développant et refactorisant , on obtient , donc d'après l'inégalité triangulaire, on a :
- , d'où l'inégalité voulue.
Si deux points sont confondus, les quatre points sont cocycliques ou alignés, sinon le cas d'égalité s'écrit :
avec , ce qui s'écrit aussi , ou encore , d'où le résultat.
Démonstration utilisant une inversion
[modifier | modifier le code]Soit , et les images respectives de , et par l'inversion de centre et de rapport .
Nous avons les relations entre longueurs :
Ainsi l'inégalité triangulaire nous donne
qui après multiplication par devient
Il y a égalité si et seulement si , et sont alignés dans cet ordre, ce qui est équivalent à : , , et sont cocycliques ou alignés, avec séparant .
Références
[modifier | modifier le code]- Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, , p. 254-255, 322, 362, 473-474
- Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 299