Constantes de Landau
Apparence
En analyse complexe, les constantes de Landau[1] décrivent le comportement des fonctions holomorphes définies sur le disque unité.
Définition
[modifier | modifier le code]Soit F l'ensemble des fonctions holomorphes f sur le disque unité ouvert D et telles que
- .
Pour toute fonction f ∈ F, on définit :
- Lf, la borne supérieure des rayons des disques inclus dans l'image de f ;
- Bf, la borne supérieure des rayons des disques qui sont (par f) images biholomorphes d'une partie de D.
La constante de Bloch (en) B et la constante de Landau L sont alors définies par :
- .
Landau s'est aussi intéressé à la constante A définie par
- .
où Finj est l'ensemble des fonctions f ∈ F qui sont injectives, donc biholomorphes de D sur f(D).
Valeurs approchées
[modifier | modifier le code]Les valeurs exactes de B, L et A ne sont pas connues, mais on sait que B < L < A, et plus précisément :
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (de) Edmund Landau, « Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten », Math. Z., vol. 30, no 1, , p. 608-634 (DOI 10.1007/BF01187791, lire en ligne).
- (en) Eric W. Weisstein, « Bloch Constant », sur MathWorld.
- (en) Eric W. Weisstein, « Landau Constant », sur MathWorld.
- (en) R. M. Robinson, « The Bloch constant for a schlicht function », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 41, no 8, , p. 535-540 (lire en ligne).