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Constantes de Landau

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En analyse complexe, les constantes de Landau[1] décrivent le comportement des fonctions holomorphes définies sur le disque unité.

Définition

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Soit F l'ensemble des fonctions holomorphes f sur le disque unité ouvert D et telles que

.

Pour toute fonction fF, on définit :

  • Lf, la borne supérieure des rayons des disques inclus dans l'image de f ;
  • Bf, la borne supérieure des rayons des disques qui sont (par f) images biholomorphes d'une partie de D.

La constante de Bloch (en) B et la constante de Landau L sont alors définies par :

.

Landau s'est aussi intéressé à la constante A définie par

.

Finj est l'ensemble des fonctions fF qui sont injectives, donc biholomorphes de D sur f(D).

Valeurs approchées

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Les valeurs exactes de B, L et A ne sont pas connues, mais on sait que B < L < A, et plus précisément :

  • [2] ;
  • [3] ;
  • [1],[4].

Notes et références

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  1. a et b (de) Edmund Landau, « Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten », Math. Z., vol. 30, no 1,‎ , p. 608-634 (DOI 10.1007/BF01187791, lire en ligne).
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Bloch Constant », sur MathWorld.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Landau Constant », sur MathWorld.
  4. (en) R. M. Robinson, « The Bloch constant for a schlicht function », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 41, no 8,‎ , p. 535-540 (lire en ligne).