Voir la source de Géométrie projective

Vous n’avez pas la permission de modifier cette page, pour la raison suivante :

Votre adresse IP fait partie d’une plage qui a été bloquée sur tous les wikis de la Fondation Wikimédia.

Le blocage a été effectué par ‪EPIC‬. Le motif invoqué est Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.

Début du blocage : 2 juillet 2024 à 09:48
Expiration du blocage : 2 juillet 2025 à 09:48

Votre adresse IP actuelle est 206.189.44.186. La plage bloquée est 206.189.32.0/20.

Veuillez inclure tous les détails ci-dessus dans toutes les demandes que vous effectuerez. Si vous pensez avoir été bloqué(e) par erreur, vous pouvez trouver plus d’informations et d’instructions dans la politique globale Pas de serveurs mandataires ouverts.

Sinon, pour discuter du blocage, veuillez publier une demande de révision sur Méta-Wiki. Vous pouvez également envoyer un courriel à la file des coordinateurs VRT à stewards@wikimedia.org, en incluant tous les détails ci-dessus.

Vous pouvez voir et copier le contenu de cette page.

En [[mathématiques]], la '''géométrie projective''' est le domaine de la [[géométrie]] qui modélise les notions intuitives de ''[[perspective conique|perspective]]'' et d'''[[Horizon (physique)|horizon]]''<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Benno Artmann |titre=Géométrie projective |url=https://www.britannica.com/science/projective-geometry |site=[[Encyclopedia Britannica]]}}</ref>. Elle étudie les propriétés inchangées des [[Figure géométrique|figures]] par [[projection centrale]].

== Considérations historiques ==
[[Fichier:Theoreme fondamental geometrie projective.PNG|vignette|Figure géométrique du théorème fondamental de la géométrie projective]]
Le mathématicien et [[architecte]] [[Girard Desargues]] fonde la géométrie projective dans son ''Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan'' publié en 1639, où il l'utilise pour une théorie unifiée des [[conique]]s. Mais on trouve déjà des notions projectives dans les œuvres de [[Pappus d'Alexandrie]] ({{s|IV|e}}) qui introduit le [[rapport anharmonique]] et fait référence à [[Apollonius de Perga]]. L'œuvre de Desargues a peu de succès de son temps, et est oubliée jusqu’à sa redécouverte par l'éditeur et bibliophile Poudra au milieu du {{s|XIX}}. Ses contemporains ne comprennent pas la profondeur de ses travaux, à l'exception du jeune [[Blaise Pascal]], qui les poursuit, et démontre en particulier un théorème proche de celui aujourd'hui appelé [[théorème de Pascal]]<ref>[[René Taton]], [http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1962_num_15_3_4430 « L'œuvre de Pascal en géométrie projective »], ''[[Revue d'histoire des sciences et de leurs applications]]'', 1962, vol. 15, n° 3-4, p. 197-252.</ref>.

[[Jean-Victor Poncelet|Poncelet]] réinvente la géométrie projective au début du {{s|XIX}}, certainement influencé par la [[géométrie descriptive]] enseignée par son professeur à l'[[école polytechnique (France)|école polytechnique]], [[Gaspard Monge]]. Il publie en 1822 le ''Traité des propriétés géométriques des figures''. Indépendamment, un autre élève de Monge, [[Joseph Gergonne]], découvre lui aussi à la même époque certains des principes de la géométrie projective<ref>{{MacTutor|id=Gergonne|title=Joseph Diaz Gergonne}}</ref>. Poncelet et Gergonne, par des voies différentes, mettent en évidence le [[dualité (géométrie projective)|principe de dualité]], propre à la géométrie projective, où, par exemple, deux droites distinctes du plan sont toujours sécantes, tout comme par deux points distincts passe toujours une droite.

[[August Ferdinand Möbius]] en 1827 introduit les [[coordonnées homogènes]] qui permettent d'appliquer les méthodes de la [[géométrie analytique]] à la géométrie projective, travail auquel se consacre également [[Julius Plücker]]<ref>{{MacTutor|id=Plucker|title=Julius Plücker}}</ref>. Parallèlement, [[Jakob Steiner]] développe l'approche par la [[géométrie synthétique]].

Mais c'est [[Felix Klein]] qui, à la fin du {{s-|XIX|e}}, clarifie le lien entre géométrie projective et [[géométrie euclidienne]], et montre comment les [[Géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]] peuvent également se ramener à la géométrie projective. Sous l'influence de son [[programme d'Erlangen]] a lieu une évolution conceptuelle majeure ; tandis que, jusque-là, la géométrie était la science des figures, elle devient l'étude des transformations de figures : les géomètres du tournant du siècle se concentrent désormais sur la [[Loi de composition interne|composition]] des [[Transformation géométrique|transformations]], la [[Structure (mathématiques)|structure]] de certains [[groupe (mathématiques)|groupe]]s de transformations, les [[invariant]]s de telle ou telle famille de transformations, les [[axiome]]s minimaux permettant ces propriétés de transformations.

Aujourd'hui, certaines notions élémentaires de géométrie projective sont utilisées dans les systèmes de [[vision par ordinateur]] et de rendu graphique, tels que [[OpenGL]].

== Aperçu élémentaire ==

[[Image:Birapport et projection.png|thumb|Le [[birapport]], qui est invariant par [[projection centrale]], est une notion de géométrie projective.]]
Dans une approche issue du [[programme d'Erlangen]], la géométrie projective se distingue de la géométrie euclidienne ordinaire en ne s'intéressant qu'à  l'étude de ce qui, dans les figures, reste inchangé après projection, alors que la géométrie euclidienne est l'étude de ce qui reste invariant après déplacement (on peut la voir aussi comme la science des figures qui se tracent à la règle et au compas) ; de ce point de vue, la géométrie projective comporte moins d'axiomes que la géométrie euclidienne et par suite elle est plus générale.

La géométrie projective ignore les droites parallèles, les droites [[Perpendicularité|perpendiculaires]], les [[isométrie]]s, les [[cercle]]s, les [[triangle]]s [[triangle rectangle|rectangles]], [[triangle isocèle|isocèles]], [[triangle équilatéral|équilatéraux]], etc. ; on peut aussi dire, par exemple, que pour elle, cercles, [[ellipse (mathématiques)|ellipses]] et [[hyperbole (mathématiques)|hyperboles]] ne constituent qu'une seule figure.

Il est possible, à l'aide de certaines conventions de langage (par exemple en appelant parallèles deux droites qui se coupent sur une droite choisie du plan) de retrouver les résultats de la [[géométrie affine]] à partir de ceux de la géométrie projective (voir [[#Définition de l'espace affine|ci dessous]]), et en introduisant les [[Nombre complexe|nombres complexes]], de retrouver également ceux de la géométrie euclidienne.

== Axiomes de la géométrie projective ==

Plusieurs systèmes d’[[axiome]]s ont été énoncés pour fonder la géométrie projective, notamment par [[Federigo Enriques|Enriques]], [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] et Rossier, qui ne présentent que de légères différences.
Les éléments fondamentaux sont les points. Les droites et les plans sont certains ensembles de points. Il existe une relation ternaire, dite d’[[ordre cyclique]], entre les points appartenant à une même droite ou entre les plans passant par une même droite ou entre les droites appartenant à un même plan et passant par un même point.

=== Axiomes d'incidence ===

'''Axiome I1'''{{sfn|Coxeter 1994}}:  Il existe au moins une droite et un point n’appartenant pas à cette droite.

'''Axiome I2'''{{sfn|Coxeter 1994}}: A toute droite appartiennent au moins trois points.

'''Axiome I3'''{{sfn|Coxeter 1994}}: Étant donné deux points distincts, il existe une droite et une seule à laquelle ces deux points appartiennent.

'''Axiome I4'''{{sfn|Coxeter 1994}}: Si A B C et D sont quatre points distincts tels que les droites AB et CD contiennent un point commun, alors les droites AC et BD contiennent un point commun.

'''Définition''': étant donné trois points A B et C non alignés, on appelle '''plan''' ABC, l’ensemble des points appartenant à une droite contenant le point C et contenant un point commun avec la droite AB.

'''Axiome I5'''{{sfn|Coxeter 1994}}: Pour tout plan ABC, il existe au moins un point n’appartenant pas au plan ABC.

'''Axiome I6'''{{sfn|Coxeter 1994}}: Deux plans distincts quelconques contiennent au moins deux points distincts communs.

=== Axiomes d'ordre ===

'''Définition''':
On regroupe sous l’appellation '''forme de première espèce''':
- un ensemble de tous les points appartenant à une même droite, ensemble appelé '''droite ponctuelle''',
- un ensemble de tous les plans contenant une même droite, ensemble appelé '''faisceau de plans''',
- un ensemble de toutes les droites appartenant à un même plan et passant par un même point de ce plan, ensemble appelé '''faisceau de droites'''.


'''Axiome O1'''{{sfn|Rossier}}: Sur toute forme de première espèce il existe deux [[relation ternaire|relations ternaires]] inverses, telles que, quels que soient les éléments A B et C, le triplet (A,B,C) vérifie une et une seule de ces deux relations, dite ordre ABC.

'''Axiome O2''': quels que soient les trois éléments A, B, et C de la forme, l’ordre ABC est une relation d’[[ordre cyclique]], c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :

<math>R(A,B,C)   \Rightarrow  R(C,A,B)</math>

<math>R(A,B,C)   \Rightarrow  \text{non} \; R(A,C,B)</math>

<math>R(A,B,C)  \; \text{et} \;  R(A,C,D)     \Rightarrow   R(B,C,D)</math>

'''Axiome O3''': Quels que soient les éléments A et B d’une forme de première espèce, il existe au moins un élément C de la forme tel que R(A,C,B).

'''Définitions''':

On dit que les paires d’éléments AB et CD d’une forme de première espèce sont des '''paires séparées''' si les ordres ABC et ADB sont les mêmes.

On appelle '''section''' d’un [[faisceau de droites]] de sommet O par une droite la correspondance qui associe à toute droite du faisceau son intersection avec la droite. La correspondance réciproque entre la droite ponctuelle et le faisceau est appelée '''projection''' de la droite ponctuelle à partir du point O.

On appelle '''section''' d’un faisceau de plans d’arête D par une droite la correspondance qui associe à tout plan du faisceau son intersection avec la droite. La correspondance réciproque entre la droite ponctuelle et le faisceau est appelée '''projection''' de la droite ponctuelle à partir de la droite D.

Étant donnés trois éléments A B et C, on appelle '''segment''' AB extérieur à C l’ensemble des éléments M tels que les paires AB et CM soient séparées.

'''Axiome O4'''{{sfn|Coxeter 1961}}: La projection et la section conservent les paires séparées.

=== Axiome de continuité ===

'''Définition:''' On dit qu'un élément M d'un segment AB '''précède''' un élément N de ce segment, ou que N '''suit''' M, si les paires AN et MB sont séparées.

'''Axiome C1'''{{sfn|Enriques}}: Si les éléments d’un segment AB sont répartis en deux classes telles que :
* tout élément du segment AB appartient à l’une ou l’autre des deux classes;
* l'élément A appartient à la première classe et B appartient à la seconde;
* tout élément de la première classe précède tout élément de la seconde classe;

alors il existe un élément C du segment AB (appartenant à la première ou à la deuxième classe), tel que tout élément qui précède C appartient à la première classe et tout élément qui suit C appartient à la seconde classe.

== Modèle algébrique de la géométrie projective ==

{{article détaillé|Espace projectif}}

Un espace projectif est défini en algèbre comme l'ensemble des [[droite (mathématiques)|droites vectorielles]]  d'un [[espace vectoriel]] ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'un espace vectoriel, et chaque élément de l'espace projectif correspond à une direction de son regard.

Un espace projectif se démarque d'un espace vectoriel par son ''homogénéité'' : on ne peut distinguer en son sein aucun point particulier comme l'origine d'un espace vectoriel. En cela il se rapproche d'un [[espace affine]].

=== Définition vectorielle ===

Soit <math>E \,\!</math> un K-espace vectoriel (K est un  corps, en général <math>\R \,\!</math> ou <math>\mathbb{C} \,\!</math>), non réduit à <math>\{0\}</math>. On définit sur <math>E - \{0\} \,\!</math> la [[relation d'équivalence]] suivante :
:<math>x \sim y  \Leftrightarrow \exists \lambda \in K^*, x=\lambda y \,\!</math>.

Alors on appelle '''espace projectif''' sur <math>E \,\!</math> l'[[relation d'équivalence|ensemble quotient]] de <math>E - \{0\} \,\!</math> par la relation d'équivalence <math>\sim \,\!</math> : 
<math>P(E) = (E - \{0\}) / \sim \,\!</math>.

Pour chaque élément <math>x \neq 0 \,\!</math> de <math>E \,\!</math> on notera <math>\pi(x) \in P(E) \,\!</math> sa classe d'équivalence : 
<math>\pi(x) = \{ \lambda x , \lambda \in K^* \} \,\!</math>.
On a donc : <math>\pi(x) = \pi(y) \,\!</math> si et seulement si <math>x \,\!</math> et <math>y \,\!</math> sont [[colinéarité|colinéaires]].

L'application <math>\pi : E-\{0\} \rightarrow P(E)\,\!</math> est appelée '''projection canonique'''.

Plus simplement l'espace projectif <math>P(E) \,\!</math> est l'ensemble des droites vectorielles de <math>E \,\!</math> ; l'élément <math>\pi(x) \,\!</math> de l'espace projectif est la [[droite vectorielle]] de <math>E \,\!</math> dont un [[vecteur directeur]] est <math>x \,\!</math>.

Si <math>E \,\!</math> est de dimension finie <math>n \,\!</math> alors on dit que <math>P(E) \,\!</math> est de dimension finie et on note <math>n-1=\mathrm{dim} \, P(E) \,\!</math> la '''dimension''' de l'espace projectif. En particulier :
* Si ''n''=1 alors <math>P(E) \,\!</math> est un singleton (dimension nulle) ;
* Si ''n''=2 alors <math>E \,\!</math> est un plan vectoriel et <math>P(E) \,\!</math> est appelé [[droite projective]].
* Si ''n''=3 alors <math>P(E) \,\!</math> est appelé [[plan projectif]] ; c'est le cadre le plus courant pour faire de la géométrie.

Si l'espace <math>E \,\!</math> est l'espace vectoriel de dimension <math>n \,\!</math> « typique », c'est-à-dire <math>K^n \,\!</math> alors on a une notation particulière pour l'espace projectif : <math>P^{n-1}(K) \,\!</math> au lieu de <math>P(K^n) \,\!</math>.

=== Définition affine ===

[[Image:plan projectif.svg|thumb|300 px|Espace projeté dans un plan projectif]]

L'aspect formel de la définition vectorielle ne doit pas faire oublier que la notion d'espace projectif est née de la [[projection centrale]] et est, avant tout, une notion géométrique. Pour prendre l'exemple de l'espace projectif de <math>\mathbb{R}^3</math>, on peut observer le dessin ci-contre où les points <math>m</math>, <math>n</math> et <math>r</math> appartiennent au plan affine <math>(P')</math> (ne passant pas par l'origine). Il faut imaginer un observateur placé en <math>O</math>. Cet observateur voit tous les points de la droite <math>(OM)</math> en <math>m</math>, ceux de la droite <math>(OR)</math> en <math>r</math> et ceux de la droite <math>(ON)</math> en <math>n</math>. Les droites <math>(d)</math> du plan <math>(P)</math> ne sont pas vues comme des points de <math>(P')</math>. Il y a donc [[bijection]] entre les droites vectorielles de <math>\mathbb{R}^3</math> non parallèles à <math>(P)</math> et les points du plan <math>(P')</math>.

L'espace projectif de <math>\mathbb{R}^3</math> est ainsi en bijection avec un plan affine <math>(P')</math> ne passant pas par l'origine auquel on ajoute l'ensemble des droites vectorielles de la direction <math>(P)</math> de <math>(P')</math>. On peut donc voir un [[plan projectif]] <math>\tilde{P'}</math> comme constitué d'un plan affine <math>(P')</math> auquel on ajoute la droite projective ayant pour éléments toutes les droites vectorielles (ou directions) de <math>(P)</math>, dite dans ce contexte [[droite à l'infini]]. Chaque point de la droite à l'infini est alors appelé ''point à l'infini'' ou  ''point impropre'' (les points de <math>(P')</math> étant les points propres). Cette notion permet, par exemple, de parler, dans un plan, d'intersection entre deux droites quelconques : les droites seront sécantes en un point propre de <math>(P')</math> ou bien en un point impropre dans le cas où les droites sont parallèles.
Dans un plan projectif, n'importe quelle droite peut être choisie comme droite à l'infini, et ce qui induit sur le complémentaire une structure de plan affine. Réciproquement tout plan affine, peut être plongé comme plan affine non vectoriel d'un espace vectoriel de dimension 3, et donc complété en un plan projectif.

Cette notion se généralise à tout espace projectif <math>\tilde P</math> de dimension <math>n</math> : c'est un espace affine <math>(P)</math> de dimension <math>n</math> auquel on adjoint l'ensemble des directions de <math>(P)</math>.

En particulier, si <math>(P)</math> = <math>K</math>, la droite projective associée est l'ensemble <math>\tilde{K} = K \cup \{\infty\} \,\!</math> où <math>\infty</math> est un point extérieur à <math>K \,\!</math>, prolongeant les opérations algébriques de la manière suivante : 
* pour tout <math>x</math> de <math>K</math>, <math>x/\infty =0</math>
* pour tout <math>x</math> de <math>K^*</math>, <math>x/0 =\infty</math>

Cette double relation, d'une part avec un espace vectoriel quotienté, d'autre part avec un espace affine complété fait la richesse de l'étude de la géométrie projective. De même, ce double aspect sera important à conserver quand il s'agira de donner des coordonnées aux points de l'espace projectif.

== Repérage ==
=== Coordonnées homogènes ===

{{article détaillé|coordonnées homogènes}}

Dans un espace projectif de dimension {{math|''n''}}, donc associé à un espace vectoriel de dimension {{math|''n'' + 1}}, chaque point {{math|''m''}} de <math>P(E)</math> est associé à une famille de vecteurs de {{math|''E''}} tous colinéaires. Si {{math|''E''}} est muni d'une [[base canonique]], on appelle coordonnées homogènes du point {{math|''m''}}, les coordonnées d'un vecteur quelconque {{math|''x''}} tel que  <math>\pi(x) = m</math>. Un point possède donc une famille de coordonnées toutes proportionnelles entre elles. Autrement dit, si <math>(x_1, x_2, ..., x_{n+1})</math> est un système de coordonnées homogènes de {{math|''m''}}, il en est de même de <math>(kx_1, kx_2, ..., kx_{n+1})\,</math> pour tout élément {{math|''k''}} non nul de {{math|''K''}}.

Parmi toutes ces coordonnées, il arrive souvent que l'on en privilégie une pour retrouver un espace affine de dimension {{math|''n''}}. Parmi tous les représentants de {{math|''m''}}, on privilégie, par exemple, celui dont la dernière coordonnée vaut {{math|1}}. Cela revient à dire que l'on a projeté l'espace dans l'hyperplan d'équation <math>x_{n+1} = 1\,</math>. Si <math>(x_1, x_2, ..., x_{n+1})</math> est un système de coordonnées de {{math|''m''}}, on privilégie le système de coordonnées <math>({x_1\over x_{n+1}}, {x_2 \over x_{n+1}}, ..., {x_n \over x_{n+1}} , 1)</math>. Cela ne vaut évidemment que si {{math|''m''}} est un point propre de <math>P(E)</math>.

Les points impropres sont représentés par des systèmes de coordonnées homogènes dont la dernière coordonnée est nulle.

On remarque alors bien là la correspondance entre
*  les points propres de <math>P(E)</math> et les points d'un espace affine de dimension {{math|''n''}} ;
* les points impropres de <math>P(E)</math> et les directions d'un espace vectoriel de dimension {{math|''n''}} ;
Choisir arbitrairement de mettre une coordonnée à {{math|1}} dans les coordonnées homogènes permet de définir des [[Carte locale|cartes]] différentes.

=== Repère d'un espace projectif ===

{{article détaillé|repère projectif}}

Un espace vectoriel de dimension n se repère par une base de n vecteurs indépendants. Un espace affine de dimension n se repère à l'aide de n + 1 points non liés. Un espace projectif de dimension n se repère à l'aide de n+2 points. On pourrait penser que n+1 points seraient suffisants en prenant par exemple <math>(\pi(e_1), \pi(e_2),...,\pi(e_{n+1}))\,</math>  où <math>(e_i)_{i \in \{1 ; n+1\}}</math> forme une base de l'espace vectoriel de dimension n+1 associé à l'espace projectif. Les coordonnées d'un point <math>m \, </math> dans ce repère seraient alors <math>(x_1, ..., x_{n+1}) \,</math> où  <math>(x_1, ..., x_{n+1})\, </math> sont les coordonnées de <math>x\, </math> tels que <math>\pi(x)= m\,</math>  mais il faudrait que ces coordonnées soient indépendantes du représentant choisi pour les vecteurs de la base : <math>\pi(e_1)\,</math>, par exemple, a un autre représentant qui est <math>2e_1\,</math>. Et dans la base <math>(2e_1, e_2, ..., e_{n+1})\,</math> <math>x\, </math> n'a pas le même système de coordonnées <math>(x_1/2, x_2, ..., x_{n+1})\,</math>.

Il faut donc empêcher cette ambiguïté et limiter le choix d'autres représentants des vecteurs de base à des vecteurs colinéaires aux précédents mais de même coefficient de colinéarité. Il suffit pour cela de définir un n+2 ième point correspondant à <math>\pi(e_1 + e_2 + \cdots + e_{n+1})\,</math>. Ainsi, si on choisit d'autres représentants de <math>\pi(e_1) ...\pi(e_{n+1})\,</math> avec des coefficients de colinéarité différents, le vecteur <math>k_1e_1 + \cdots + k_{n+1}e_{n+1}\,</math>  ne sera plus un représentant de <math>\pi(e_1 + e_2 + \cdots + e_{n+1})\,</math>.

== Sous-espace projectif ==

{{article détaillé|sous-espace projectif}}

Comme il existe des [[Sous-espace vectoriel|sous-espaces vectoriels]] d'espace vectoriel ainsi que des sous-espaces affine d'espace affine, il existe de même des sous-espaces projectifs d'espace projectif. Ils sont constitués des projetés des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel associé. On parlera donc de droite projective dans un plan projectif, de plan projectif dans un espace projectif. La règle des dimensions et l'existence de points à l'infini permettent de simplifier les règles d'incidence.

== Birapport sur une droite projective ==

{{article détaillé|rapport anharmonique}}

Si <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> et <math>d</math> sont quatre points distincts d'une droite projective D, il existe un unique isomorphisme <math>f_{a, b, c}</math> de D sur <math>\tilde K</math> tel que 
* <math>f_{a, b, c}(a) = \infty</math>
* <math>f_{a, b, c}(b) = 0</math>
* <math>f_{a, b, c}(c) = 1</math>
On appelle ''birapport de <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>'', noté <math>[a:b:c:d]</math> la valeur de <math>f_{a, b, c}(d)</math>.

Si <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> et <math>d</math> sont quatre points propres distincts de D, on retrouve la définition classique du birapport ou rapport anharmonique : <math>\frac{\overline {ca}\, / \,\overline {cb}}{\overline {da}\, / \,\overline {db}}</math>.


{{démonstration|contenu= L'homographie <math>f_{a, b, c}</math> peut s'écrire <math>f_{a, b, c}(z) = \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta}</math> avec par définition 
* <math>\gamma a + \delta = 0</math> (pôle en <math>a\;</math>)
* <math>\alpha b + \beta =0</math>
* <math>\alpha c + \beta = \gamma c + \delta</math>
soit encore 
* <math>\delta = -a \gamma</math>
* <math>\beta = -b \alpha</math>
* <math>\alpha = \frac{c-a}{c-b} \gamma</math>
En prenant <math>\gamma = 1</math> on obtient l'expression : <math>f_{a, b, c}(z) = \frac{c-a}{c-b}\frac{z-b}{z-a}</math>, ce qui donne la conclusion cherchée.
}}

Cette définition du birapport rend aisée la preuve du résultat suivant : ''les homographies conservent le birapport''. Plus précisément :

{{théorème|Invariance projective du birapport<ref>{{Ouvrage|prénom1=Michèle|nom1=Audin|lien auteur1=Michèle Audin|titre=Géométrie|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2006|numéro d'édition=3|pages totales=428|passage=196|isbn=978-2-7598-0180-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=n1EdG4fcor0C&pg=PA196}}.</ref>|a,b,c et d sont quatre points d'une droite projective D (a, b, c distincts) et e, f, g et h quatre points sur une droite D' (e, f, g distincts) alors il existe une homographie envoyant le premier quadruplet sur le second si et seulement si les birapports [a:b:c:d] et [e:f:g:h] sont égaux.}}

== Transformation projective ou homographie ==

{{article détaillé|application projective}}

Les transformations projectives ou homographies sont des transformations étudiées en géométrie projective. Elles s'obtiennent comme composée d'un nombre fini de projections centrales. Elles décrivent ce qui arrive aux positions observées de différents objets quand l'œil de l'observateur change de place. Les transformations projectives ne conservent pas toujours les distances ni les angles mais conservent les propriétés d'incidence et le birapport - deux propriétés importantes en géométrie projective. On trouve des transformations projectives sur des droites, dans des plans et dans l'espace.

'''Propriété fondamentale''' : En dimension finie, une transformation projective est entièrement déterminée par l'image d'un repère de l'espace projectif.

=== Définition analytique d'une homographie ===

Soient deux espaces projectifs <math>\mathcal P_1</math> et <math>\mathcal P_2</math> associés respectivement aux espaces vectoriels <math>E_1</math> et <math>E_2</math>. On désigne par <math>\pi_1</math> et <math>\pi_2</math> les ''projections canoniques'' de <math>E_1</math> (resp. <math>E_2</math>) sur <math>\mathcal P_1</math> (resp. <math>\mathcal P_2</math>).

On peut alors effectuer un « passage au quotient » des applications linéaires ''injectives'' de <math>E_1</math> dans <math>E_2</math>. Une telle application linéaire <math>\varphi</math> étant donnée on peut définir une application <math>h</math> de <math>\mathcal P_1</math> dans <math>\mathcal P_2</math> transformant le point <math>M</math> en <math>h(M)=\pi_2 \circ \varphi (m)</math>, <math>m</math> désignant un représentant de <math>M</math>. Naturellement pour que cette définition soit cohérente, nous devons vérifier qu'elle ne dépend pas du représentant choisi, ce qui est immédiat vu la linéarité de <math>\varphi</math> et la définition de <math>\pi_2 </math>.

'''L'application <math>h</math> est l'homographie associée à <math>\varphi</math>. Elle est de façon plus concise définie par l'égalité :      <math>\pi_2 \circ \varphi = h \circ \pi_1</math>.'''

On peut aussi parler plus généralement d'application projective, en n'exigeant pas l'injectivité de l'application linéaire <math>\varphi </math> initiale ; le même procédé de passage au quotient fournira une application définie seulement sur une partie de <math>\mathcal P_1</math> : <math>\mathcal P_1-\pi_1^{-1}(\ker(\varphi))</math>, et à valeurs dans <math>\mathcal P_2</math>. On ne parlera pas alors d'homographie.

Il existe une infinité d'applications linéaires associées à une homographie mais ces applications linéaires forment ''une droite vectorielle'' de <math>\mathcal L(E_1,E_2)</math> puisque <math>h_1=h_2</math> entraîne <math>\pi_2 \circ \varphi _1=\pi_2 \circ \varphi _2</math>.

En dimensions finies p,n, si on dispose d'un système de coordonnées homogènes, une homographie pourra être définie par une classe de matrices non nulles de format (n+1)*(p+1) toutes multiples de l'une d'elles. A étant une de ces matrices et X une matrice-colonnes de coordonnées homogènes de <math>M</math>, AX sera matrice colonne de coordonnées homogènes de <math>h(M) </math> (tout ceci étant donc défini à un facteur près).

; Exemple et discussion (géométrie plane).
: Nous prenons pour <math>E_1 </math> et <math>E_2 </math> l'espace <math>\mathbb R^3</math>. <math> \mathcal P_1 = \mathcal P_2 </math> est le plan projectif <math> \mathcal P </math>. Envisageons une homographie <math>h</math> définie par la matrice 3*3  A que nous supposons ''diagonalisable''. On peut donc calculer les coordonnées homogènes des transformés de tout point.
: Les 3 directions propres sont indépendantes et définissent 3 points ''invariants par <math>h</math>'' de <math>\mathcal P</math>. Ces 3 points ont respectivement comme matrices-colonne de coordonnées homogènes <math>X_1, X_2, X_3</math> (vecteurs propres de la matrice, à un facteur non nul près).
: Inversement la connaissance de ces 3 points invariants détermine-t-elle l'homographie, c'est-à-dire ''A'', à un facteur près ? Pour cela il faudrait pouvoir calculer les valeurs propres de ''A'' (à un facteur de proportionnalité près toujours). Or on n'a évidemment aucun moyen pour cela en ne connaissant que les directions propres.
: Par contre si on se donne par exemple le transformé du point de coordonnées homogènes <math>X_1+X_2+X_3</math> en le point de coordonnées homogènes <math>Y</math>, on aura en désignant par <math>\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3</math> les valeurs propres de A: <math>\lambda_1X_1+\lambda_2X_2+\lambda_3X_3=kY,k </math> quelconque non nul, ce qui permet bien de calculer en résolvant le système les valeurs propres à un coefficient de proportionnalité près.
: Les 4 points (les 3 points invariants plus le {{4e}} défini ci-dessus) définissent un ''repère projectif'' (voir plus haut) et la connaissance de la transformation de ce [[repère projectif]] détermine entièrement l'homographie.

; Exemple d'homographie
: Les [[transformation par polaires réciproques|transformations par polaires réciproques]].

== Topologie ==
Si E est un espace vectoriel sur <math>\mathbb R</math> ou <math>\mathbb C</math>  de dimension finie, on peut définir sur E une [[topologie]] issue de la distance induite par la norme <math>||x|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + .... + x_n^2}</math> dans le cas réel et 
<math>||x|| = \sqrt{x_1\overline{x_1} + x_2\overline{x_2} + .... + x_n\overline{x_n}}</math> dans le cas complexe.

Cette topologie permet de définir  sur l'espace quotient <math>P(E)=E-{0}/\sim </math> une topologie, 
dite [[topologie quotient]]. Si <math>p:E\setminus\{0\}\rightarrow P(E)</math>
désigne l'application de passage au quotient, on dira qu'une partie <math>A\subset P(E)\,</math>
est [[espace topologique|ouverte]] si son image réciproque <math>p^{-1}(A)\,</math> est ouverte
dans <math>E\setminus\{0\}\,</math>. On vérifie que l'on définit bien ainsi un [[espace topologique]]

On montre que <math>P(E)\,</math> est [[espace compact|compact]].

On munira donc l'espace projectif P(E) de cette topologie. Elle permet de parler 
d'[[homéomorphisme]] et de remarquer, par exemple, que la droite projective réelle est homéomorphe à un cercle, la droite projective  complexe étant homéomorphe à une sphère (voir l'article [[sphère de Riemann]] pour un homéomorphisme
explicite).

== Dualité ==

{{article détaillé|dualité (géométrie projective)}}

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, son [[espace dual|dual]] E* est aussi un K-espace vectoriel de dimension n. On peut donc associer à l'espace projectif P(E), son dual P(E*). Une droite de P(E*) correspondra à un faisceau d'hyperplans dans P(E). Le passage au dual permet d'inverser un grand nombre de propriétés géométriques.

== Utilité ==

# La géométrie projective a permis de simplifier grandement l’énoncé et la démonstration des théorèmes de géométrie plane comme le [[théorème de Pappus]] ou le [[théorème de Desargues]], en ramenant le cas général aux cas particuliers où des droites sont parallèles<ref>{{Ouvrage|prénom1=Michèle|nom1=Audin|titre=Géométrie|passage=185|éditeur=EDP Sciences|date=2006|isbn=2-86883-883-9|isbn2=978-2-86883-883-4|oclc=123193688|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/123193688|consulté le=2022-06-19}}</ref>.
# Si l'espace projectif, comparé à l'espace usuel, c'est-à-dire l'espace affine, peut sembler être un objet plus compliqué, il est indéniable que pour de nombreuses situations, l'espace projectif est le bon cadre pour travailler. Pour donner un exemple, si <math>C</math> et <math>C'</math> sont deux [[Courbe plane|courbes planes]] (complexes) de degré respectif <math>d</math> et <math>d'</math> alors, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan affine, le [[théorème de Bézout]] dit que le nombre de points d'intersection entre <math>C</math> et <math>C'</math> est toujours inférieur ou égal à <math>dd'</math>. En revanche, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan projectif, alors le théorème dit que le nombre de points d'intersection (comptés avec multiplicité) est ''égal'' à <math>dd'</math>. Il y a de nombreuses autres situations où les théorèmes s'énoncent sous une forme plus belle en géométrie projective.
# L'[[infographie tridimensionnelle]] fait un usage intensif de la géométrie projective, car dans cette géométrie les translations et rotations, c'est-à-dire les transformations du [[groupe euclidien]], s'avèrent être des [[transformation linéaire|transformations linéaires]], ce qui facilite grandement leur traitement.

== Notes et références ==
<References/>

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Berger2}} ([[Référence:Géométrie (Berger)#Nathan (Tome 1)|t. 1]])
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=H.S.M.Coxeter|titre=Projective Geometry, Springer-Verlag|éditeur=|année=1994|isbn=}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=H.S.M.Coxeter|titre=The real projective plane, Cambridge University Press, reprinted|éditeur=|année=1961}}
* Jean-Denis Eiden, ''Géométrie analytique classique'', Calvage & Mounet, 2009 {{ISBN|978-2-91-635208-4}}
* ''De la Géométrie Projective à la Géométrie Euclidienne'', [http://hexamys.free.fr L'Hexagramme Mystique de Pascal]
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Federigo Enriques|titre=Leçons de géométrie projective, Gauthier-Villard Paris|éditeur=|année=1930}}
* ''Petite Encyclopédie de mathématique'', [[Didier (maison d'édition)|Didier]]
*Jean Fresnel, ''Méthodes modernes en géométrie''
* Daniel Lehmann et [[Rudolphe Bkouche]], ''Initiation à la géométrie'', [[PUF]], 1988 {{ISBN|2 13 040160 0}}
* Jean-Claude Sidler, ''Géométrie projective'', InterEditions, 1993
* [[Pierre Samuel]], ''Géométrie projective'', PUF, 1986
* Robert Rolland, ''Géométrie projective,'' Ellipses 2015
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Paul Rossier|titre=Géométrie synthétique moderne,Vuibert Paris|éditeur=|année=1960}}

=== Liens externes ===
*{{Lien web|url=http://njacon.perso.math.cnrs.fr/jacon_Geometrieproj.pdf|titre=Géométrie projective|auteur=Nicolas Jacon|site=[[CNRS]]}}
*{{Lien web|auteur=[[Daniel Perrin]]|titre=Géométrie projective plane et applications aux géométries euclidienne et  non euclidiennes|url=http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Livre_de_geometrie_projective.html}}

{{Palette|Géométrie projective|Géométrie}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie projective| ]]

Modèles utilisés par cette page :

Modèle:4e (voir la source) (protégé)
Modèle:Article détaillé (voir la source) (protégé)
Modèle:Berger2 (modifier)
Modèle:Catégorisation badges (voir la source) (protégé)
Modèle:Clr (voir la source) (protégé)
Modèle:Démonstration (modifier)
Modèle:Formule (voir la source) (protégé)
Modèle:ISBN (voir la source) (protégé)
Modèle:Lien siècle (voir la source) (protégé)
Modèle:Lien web (voir la source) (protégé)
Modèle:Liste horizontale (voir la source) (semi-protection étendue)
Modèle:MacTutor (modifier)
Modèle:Math (modifier)
Modèle:Multiparamètres-Lien (voir la source) (protégé)
Modèle:Méta bandeau de section (voir la source) (protégé)
Modèle:Méta lien vers portail (voir la source) (protégé)
Modèle:Méta lien vers portail/Catégorisation (voir la source) (protégé)
Modèle:Méta palette de navigation (voir la source) (protégé)
Modèle:Nombre romain vers arabe (voir la source) (protégé)
Modèle:Ordinal (voir la source) (protégé)
Modèle:Ouvrage (voir la source) (protégé)
Modèle:Palette (voir la source) (protégé)
Modèle:Palette Géométrie (modifier)
Modèle:Palette Géométrie projective (modifier)
Modèle:Portail (voir la source) (protégé)
Modèle:Portail géométrie (modifier)
Modèle:Référence Harvard sans parenthèses (voir la source) (protégé)
Modèle:S (voir la source) (protégé)
Modèle:S- (voir la source) (protégé)
Modèle:Sfn (voir la source) (semi-protection étendue)
Modèle:Str left (voir la source) (semi-protection étendue)
Modèle:Suffixe siècle (voir la source) (protégé)
Modèle:Suivi des biographies (voir la source) (protégé)
Modèle:Théorème (modifier)
Modèle:Tnavbar (voir la source) (protégé)
Modèle:Trim (voir la source) (protégé)
Modèle:Vérification siècle (voir la source) (protégé)
Module:Bandeau (voir la source) (protégé)
Module:Bandeau/Class (voir la source) (protégé)
Module:Biblio (voir la source) (protégé)
Module:Biblio/Commun (voir la source) (protégé)
Module:Biblio/Lien web (voir la source) (protégé)
Module:Biblio/Ouvrage (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Biblio/Références (voir la source) (protégé)
Module:Catégorisation badges (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Date (voir la source) (protégé)
Module:Date/Data (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Langue (voir la source) (protégé)
Module:Langue/Data (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Linguistique (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Multiparamètres (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Nombre2texte (voir la source) (protégé)
Module:Nombre2texte/Data (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Outils (voir la source) (protégé)
Module:Palette (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Suivi des biographies (voir la source) (protégé)
Module:Suivi des biographies/données (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:TableBuilder (voir la source) (protégé)
Module:Wikidata (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Wikidata/I18n (voir la source) (semi-protection étendue)
Module:Yesno (voir la source) (protégé)

Revenir à la page Géométrie projective.

Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/wiki/Géométrie_projective ».