Bisentrinen nelikulmio

Bisentrinen nelikulmio on geometriassa konveksi nelikulmio, joka on samalla sekä syklinen nelikulmio että tangentiaalinen nelikulmio. Nelikulmio on syklinen, jos sen kärjet sijaitsevat ympäri piirretyllä ympyrän kehällä, ja tangentiaalinen, jos sen kaikki sivut sivuavat sisälle piirrettyä ympyrää.^[1][2]

Kaikki nelikulmiot eivät ole tällaisia. Riittävä ehto, jotta konveksi nelikulmio on bisentrinen nelikulmio, on yhtä aikaa sekä

${\displaystyle s=a+c=b+d}$ ^[3][4]

eli vastaisten sivujen summat ovat yhtäsuuret ja arvoltaan ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$ eli puolipiiri, että

${\displaystyle \measuredangle {\alpha }+\measuredangle {\gamma }=\measuredangle {\beta }+\measuredangle {\delta }=180^{\circ }}$

eli vastaisten kulmien summat ovat molemmat 180°.^[4]

Bisentrinen nelikulmio perii syklisen nelikulmion ja tangentiaalisen nelikulmion kaikki ominaisuudet. Sen lisäksi sen ominaisuuksia ovat:

• vastakkaisia tangenttien sivuamispisteitä yhdistävät jänteet eli tangentiaaliset jänteet u ja v ovat kohtisuoria ja ne leikkaavat pisteessä Z (katso viereistä kuviota).^[4]
• nelikulmion lävistäjät p ja q leikkaavat toisensa myös pisteessä Z.^[4]
• piste Z, sisäympyrän keskipiste I ja ulkoympyrän keksipiste O ovat kollineaarisia.^[5]
• vierekkäisiä tangenttien sivuamispisteitä yhdistävät jänteet muodostavat nelikulmion, jonka sivujen keskipisteet muodostavat suorakulmion.^[4]
• suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen I kautta, puolittaa sekä nelikulmion alan että piirin.^[3]
• jos on olemassa yksikin bisentrinen monikulmio (myös nelikulmio) kahden tietyn sisäkkäisen ympyrän välissä, on niitä vielä ääretön määrä lisää.^[6]

Sisäympyrän säde r on

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{s}}={\frac {A}{s}}={\frac {A}{a+c}}={\frac {A}{b+d}}.}$ ^[1][5]

Ulkoympyrän säde R on

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{abcd}}}.}$ ^[1]

Ulkoympyrän keskipisteen O ja sisäympyrän keskipisteen I välimatka w toteuttaa yhtälön

${\displaystyle {\frac {1}{(R-w)^{2}}}+{\frac {1}{(R+w)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}.}$ ^[1]

Pinta-ala voidaan johtaa syklisen nelikulmion pinta-alan kaavasta (Brahmagupta)

${\displaystyle A_{sykl}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

huomioimalla ehto ${\displaystyle a+c=b+d=s,}$ jolloin saadaan

${\displaystyle A_{bi}={\sqrt {abcd}},}$ ^[1][7]

tai kun käytetään lävistäjiä edelliseen tapaan

${\displaystyle A_{bi}={\frac {uvpq}{u^{2}+v^{2}}}.}$ ^[5]

Vaikka nelikulmion muodon vaihdellessa sen alan suuruuskin muuttuu, voidaan alan arvo rajata epäyhtälöllä

${\displaystyle 4r^{2}\leq A_{bi}\leq 2R^{2}}$ ^[5]

Ensimmäinen, joka tutki bisentrisiä nelikulmioita, oli saksalainen matemaatikko Nikolaus Fuss (1755−1825). Hän löysi ensimmäisenä ehdon sisä- ja ulkoympyrän keskipisteiden väliselle etäisyydelle w. Tätä pidettiin aikanaa yhtenä 100:sta vaikeimmasta matemaattisesta ongelmasta. Myös ranskalainen matemaatikko Poncelet (1788−1867) keksi mielenkiintoisen yleistyksen. Jos on olemassa yksikin monikulmio, joka on annetuille sisäkkäisille ympyröille bisentrinen, on näille samoille ympyröille niitä vielä ääretön määrä lisää.^[6]

• Konstruktio: Miten piirretään bisentrinen nelikulmio ympyröiden väliin? (Arkistoitu – Internet Archive), s. 162
• Cut-The-Knot:Area of a Bicentric Quadrilateral
• Cut-The-Knot:Easy Construction of Bicentric Quadrilateral: What Is This About? A Mathematical Droodle
• GoGeometry: Geometry Problem 908