غلتان

در هندسه دیفرانسیل منحنی‌ها، غَلتان یا «رولت» (انگلیسی: Roulette) به نوعی از منحنی گفته می‌شود که تعمیمی از چرخ‌زاد، برون‌چرخ‌زاد، درون‌چرخ‌زاد، چرخه‌زاد، برون‌چرخه‌زاد، درون‌چرخه‌زاد و ��ستران باشد. در سطح پایه، خَمِ غلتان مسیری است که توسط یک منحنی در حین غلتش بر روی منحنی دیگر بدون لغزش، ردیابی می‌شود.

به‌طور کلی، غلتان منحنی‌ای است که توسط یک نقطه (به نام «مولد» یا «قطب») متصل به یک منحنی معین توصیف می‌شود، زیرا آن منحنی بدون لغزش در امتداد یک منحنی ثابت معین دیگر می‌غلتد. به‌طور دقیق‌تر، با توجه به یک منحنی متصل به یک صفحه که در حال حرکت است به طوری که منحنی بدون لغزش در امتداد یک منحنی معین متصل به یک صفحه ثابت که فضای یکسانی را اشغال می‌کند، می‌غلتد، آنگاه یک نقطه متصل به صفحه متحرک منحنی را در صفحه ثابت توصیف می‌کند که به آن غلتان می‌گویند.

در حالتی که منحنی غلتان یک خط باشد و مولد نقطه‌ای روی خط باشد، رولت، گستران منحنی ثابت نامیده می‌شود. اگر منحنی غلتان یک دایره و منحنی ثابت یک خط باشد، رولت یک چرخه‌زاد است. اگر در این حالت نقطه روی دایره قرار گیرد، رولت یک چرخ‌زاد است.

یک مفهوم مرتبط، گلیست (glissette) است، منحنی توصیف شده توسط یک نقطه متصل به یک منحنی معین که در امتداد دو (یا بیشتر) منحنی معین می‌لغزد.

به‌طور رسمی، منحنی‌ها باید منحنی‌های تابع دیفرانسیل‌پذیر در صفحه باشند. «منحنی ثابت» بدون تغییر نگه داشته می‌شود؛ «منحنی غلتان» تحت یک تابع پیوسته هم‌نهشت تغییر شکل می‌دهد به طوری که در همه زمان‌ها منحنی‌ها در نقطه‌ای از تماس که با سرعت یکسان در هنگام حرکت در امتداد هر منحنی حرکت می‌کند، مماس هستند (راه دیگر برای بیان این محدودیت این است که نقطه تماس دو منحنی، مرکز آنی دوران تبدیل هم‌نهشتی است). رولت حاصل از مکان هندسی مولد تحت همان مجموعه تبدیلات هم‌نهشتی تشکیل می‌شود.

با مدل‌سازی منحنی‌های اصلی به عنوان منحنی در صفحه مختلط، فرض کنید ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ دو پارامتری‌سازی طبیعی منحنی‌های غلتان (${\displaystyle r}$) و ثابت (${\displaystyle f}$) باشند، به طوری که ${\displaystyle r(0)=f(0)}$، ${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$ و ${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$ برای همه ${\displaystyle t}$. سپس رولت مولد ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ در حالی که ${\displaystyle r}$ روی ${\displaystyle f}$ می‌غلتد، با نگاشت زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

اگر به جای یک نقطه متصل به منحنی غلتان، منحنی دیگری در امتداد صفحه متحرک حمل شود، خانواده‌ای از منحنی‌های همنهشت تولید می‌شود. پوشش این خانواده را نیز می‌توان رولت نامید.

رولت‌ها در فضاهای با ابعاد بالاتر را مطمئناً می‌توان تصور کرد، اما باید بیش از مماس‌ها را تراز کرد.

اگر منحنی ثابت یک زنجیره‌وار و منحنی غلتان یک خط (هندسه) باشد، داریم:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

پارامتری‌سازی خط به گونه‌ای انتخاب می‌شود که

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

با اعمال فرمول بالا به دست می‌آوریم:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

اگر p = −i باشد، عبارت دارای یک بخش موهومی ثابت (یعنی -i) است و غلتان یک خط افقی است. یک کاربرد جالب این موضوع این است که یک چرخ مربع می‌تواند بدون پرش روی جاده‌ای که یک سری از کمان‌های زنجیره‌وار منطبق است، بغلتد.

• غلتش
• چرخ‌دنده
• مکان هندسی
• اصل برهم‌نهی

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Roulette (curve)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۹ ژوئیه ۲۰۲۴.

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ غلتان موجود است.