آماره U

در نظریه‌ی آمار، یک آماره U سطحی از آمار است که در الگوریتم‌های تخمینی اهمیت دارد؛ حرف U به واژه unbiased (بی‌غرض) اشاره دارد. در آمار مقدماتی، آماره‌های U به‌طور طبیعی در تولید برآوردگرهای بی‌غرض حداقل واریانس نقش دارند.

نظریه آماره‌های U به برآوردگر بی‌غرض حداقل واریانس اجازه می‌دهد که از هر یک از برآوردگرهای بی‌غرض یک پارامتر تخمین‌پذیر برای سطوح بزرگ توزیع‌های احتمال نشات گیرد.^[۱]^[۲] یک پارامتر قابل تخمین تابعی قابل اندازه‌گیری از توزیع تجمعی جامعه است: مثلاً، برای هر توزیع احتمال، میانه جامعه یک پارامتر قابل تخمین است. نظریه آماره‌های U در سطوح عمومی توزیع‌های احتمال به کار می‌رود.

بسیاری از آماره‌هایی که در اصل برای یک خانواده پارامتری مشخص ایجاد گشتند، برای توزیع‌های عمومی به عنوان آماره‌های U شناخته شده شده‌اند. در آمار ناپارامتری، از نظریه آماره‌های U برای ایجاد رویه‌های آماری (مانند براوردگرها و آزمون‌ها) و برآوردگرهای مرتبط با نرمال‌بودن مجانبی و واریانس (در نمونه‌های متناهی) به کار می‌رود.^[۳] از این نظریه برای مطالعات عمومی بیشتر در آمار استفاده می‌شود.^[۴]^[۵]^[۶]

فرض کنید یک مسئله شامل متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان می‌شود، و به تخمین یک پارامتر معین نیاز داریم. فرض کنید می‌توان تنها بر پایه چند مشاهده، یک تخمین بی‌غرض ساده را سازماندهی کرد: این بر اساس تعداد فرضی مشاهدات، برآوردگر پایه را توصیف می‌کند. مثلاً، یک مشاهده یکتا به خودی خود یک تخمین بی‌غرض از میانگین است و می‌توان با تعداد محدودی مشاهده تخمین بی‌غرض واریانس را پیش‌برد. آماره U وابسته به این برآوردگر را میانگین برآوردگر پایه به کار رفته در زیرنمونه‌ها گویند.

در سال ۱۹۹۲، سن، مقاله واسیلی هوئفدینگ (۱۹۴۸) را بازبینی می‌کند، که در آن آماره‌های U را معرفی کرد و نظریه مربوط به آن‌ها را بیان نمود، سن نیز با انجام آن، اهمیت آماره‌های U را در نظریه آمار تعیین کرد.^[۷] سن می‌گوید، ""تاثیر کار هوئفدینگ (۱۹۴۸)، بر زمان حال بسیار فراوان است، و احتمالاً در سال‌های بعد افزایش خواهد یافت". به یاد داشته باشید که نظریه آماره‌های U به شرایط^[۸] متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان یا متغیرهای تصادفی مقیاسی محدود نمی‌شود.^[۹]

منابع

ترجمه از ویکی‌پدیا انگلیسی

↑ Cox & Hinkley (1974),p. 200, p. 258
↑ Hoeffding (1948), between Eq's(4.3),(4.4)
↑ Sen (1992)
↑ Page 508 in Koroljuk, V. S.; Borovskich, Yu. V. (1994). Theory of U-statistics. Mathematics and its Applications. Vol. 273 (Translated by P. V. Malyshev and D. V. Malyshev from the 1989 Russian original ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. x+552. ISBN 0-7923-2608-3. MR 1472486.
↑ Pages 381–382 in Borovskikh, Yu. V. (1996). U-statistics in Banach spaces. Utrecht: VSP. pp. xii+420. ISBN 90-6764-200-2. MR 1419498.
↑ Page xii in Kwapień, Stanisƚaw; Woyczyński, Wojbor A. (1992). Random series and stochastic integrals: Single and multiple. Probability and its Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pp. xvi+360. ISBN 0-8176-3572-6. MR 1167198.
↑ Sen (1992) p. 307
↑ Sen (1992), p306
↑ Borovskikh's last chapter discusses U-statistics for exchangeable random elements taking values in a vector space (separable Banach space).

[1] Cox & Hinkley (1974),p. 200, p. 258

[2] Hoeffding (1948), between Eq's(4.3),(4.4)

[3] Sen (1992)

[4] Page 508 in Koroljuk, V. S.; Borovskich, Yu. V. (1994). Theory of U-statistics. Mathematics and its Applications. Vol. 273 (Translated by P. V. Malyshev and D. V. Malyshev from the 1989 Russian original ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. x+552. ISBN 0-7923-2608-3. MR 1472486.

[5] Pages 381–382 in Borovskikh, Yu. V. (1996). U-statistics in Banach spaces. Utrecht: VSP. pp. xii+420. ISBN 90-6764-200-2. MR 1419498.

[6] Page xii in Kwapień, Stanisƚaw; Woyczyński, Wojbor A. (1992). Random series and stochastic integrals: Single and multiple. Probability and its Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pp. xvi+360. ISBN 0-8176-3572-6. MR 1167198.

[7] Sen (1992) p. 307

[8] Sen (1992), p306

[9] Borovskikh's last chapter discusses U-statistics for exchangeable random elements taking values in a vector space (separable Banach space).

[۱]