Tau (zenbakia)

Matematikan, tau (τ) Bob Palais eta Michael Hartl, besteak beste, proposatutako zirkuluaren konstantea da, πren ordezkoa. Matematikan askoz naturalagoa denez zirkuluak erradioaren bidez definitzea diametroaren bidez baino, tau perimetroa zati erradioa da, eta ez zati diametroa pi dezala. Diametroa bi bider erradioa denez, tauren balioa ${\displaystyle \tau =2\pi }$ da, 6,28318 inguru^[1]. Izan ere, 2π (hau da, τ) askoz gehiago agertzen da matematikan π baino^[2].

Hainbat sinbolo proposatu dira balio honetarako, hala nola ${\displaystyle 2\pi }$ (Hermann Laurent), ${\displaystyle \pi \!\!\!\!\;\pi }$ (Bob Palais), ${\displaystyle \varpi }$ (Peter Harremoes), eta ${\displaystyle \tau }$ (Michael Hartl). τ ikurra τορνος (grekoz "bira") hitzari erreferentzia eginez aukeratu zen, matematikan τ radian bira oso baten baliokideak baitira.^[2]

${\displaystyle \tau }$ zenbakia irrazionala da, zifra hamartar infinitoak dituelako patroirik gabe. Nabargarria da 761. dezimaletik 767. dezimalera zazpi 9 jarraian daudela, pi zenbakiak daukan Feynman puntuaren antzekoa baina luzeagoa. Gainera, zenbaki irrazional bat zenbaki arrazional batez (0 izan ezik) biderkatzean emaitza irrazionala denez, ${\displaystyle \tau }$ren multiplo guztiak irrazionalak dira:

Are gehiago, ${\displaystyle \tau }$ zenbaki traszendentea da, hau da, ez da koefiziente arrazionalak dituen ekuazio polinomiko baten emaitza. Demostrazio honek erregela eta konpasarekin zirkulu bat ezin dela koadratu (hau da, zirkulu baten area berdina duen karratu bat lortu) erakusten du. Antzinako Grezian proposatu zen arazo hau eta 1882 arte ez zen demostratu ezinezkoa zela, ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {\tau }{2}}}}$ aljebraikoa ez zela erakutsi zuen Ferdinand von Lindemannek.

${\displaystyle \tau }$ren lehen 100 zifrak hauek dira^[3]:

6.2831853071 7958647692 5286766559 0057683943 3879875021 1641949889 1846156328 1257241799 7256069650 6842341359

${\displaystyle \tau }$ren abantaila nagusia angeluak radianetan adierazteko erraztasuna da. Pi erabiliz, ${\displaystyle 2\pi \ rad=360^{\circ }}$ berdintasuna erabili behar da. Horregatik, zirkulu laurdena ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\pi \ rad}$ dira, edo zirkulu seirena ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{3}}}\pi \ rad}$.

Baina tau erabiliz, askoz errazagoa eta intuitiboagoa bihurtzen da hau. ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{4}}}\tau \ rad}$ zirkulu laurdena da, eta zirkuluaren seirena ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}\tau \ rad}$.^[4][5] Hori dela eta, Hartlek piren erabilera testuinguru honetan "hondamendi pedagogikoa" dela dio.^[6]

Palais eta Hartl-ek π-ren ordez τ erabiltzeak beste abantaila ugari duela diote:^[6]

• 2π biderkagaia, hainbat formulatan agertzen dena, hala nola banaketa normala eta Fourierren transformazioa, ${\displaystyle \tau }$ jarriz ordezkatu daiteke, sinplifikatzeko.^[7]
• Kosinu eta sinu funtzioen periodoa τ da, 2π-ren ordez, sinpleagoa eta intuitiboagoa bihurtuz.
• Zirkulu baten zirkunferentziaren formula ${\displaystyle \tau r}$ besterik gabe bihurtzen da, 2 biderkagaia sartu gabe.
• Zirkulu baten azaleraren formula (${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\tau r^{2}}$) eta zirkulu-sektore baten azaleraren formula (${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\theta r^{2}}$) forma berdinak dituzte. Horrela, ikasleek formula bakarra ikasi behar dute, bi ordez (Izan ere, zirkulu bat ${\displaystyle \theta =\tau }$ betetzen duen zirkulu-sektore bat besterik ez da).
• Azaleraren formulak daukan ½ biderkagaia perimetroaren formularen integrala dela askoz argiagoa uzten du: ${\displaystyle A=\int P\operatorname {d} \!r=\int \tau r\operatorname {d} \!r={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\tau r^{2}}$
• Gainera, fisikan agertzen diren beste formula askoren antzekoa da:
  • Momentua eta energia zinetikoa: ${\displaystyle E_{z}=\int p\operatorname {d} \!v=\int mv\operatorname {d} \!v={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}mv^{2}}$
  • Indarra eta energia potentzial elastikoa: ${\displaystyle E_{p}=\int F\operatorname {d} \!x=\int kx\operatorname {d} \!x={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}kx^{2}}$
  • Abiadura eta espazioa HZUAn: ${\displaystyle x=\int v\operatorname {d} \!t=\int at\operatorname {d} \!t={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}at^{2}}$

• Angelu
• Zirkunferentzia
• Perimetro