Riemannen esfera

	1. irudia: "Riemann-en esfera"ren gainean zabaldutako plano konplexuaren proiekzio estereografikoa.
	2. irudia: "Riemann-en esfera" esfera baten inguruan bildutako plano konplexu gisa ikus daiteke.

Riemann-en esfera (edo plano konplexu hedatua) matematikan, plano konplexutik infinituko puntu bat gehituz lortutako esfera da. XIX. mendeko Bernhard Riemann matematikariaren omenez dago horrela izendatua. Esfera zenbaki konplexu hedatuen irudikapen geometrikoa da, .${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$^[1] bezala adierazia (ikus 1. irudia eta 2. irudia). Zenbaki konplexu arruntak dira, infinitua irudikatzeko ${\displaystyle \infty \!}$ sinboloarekin konjuntzioan daudenak

Zenbaki konplexu hedatuak ohikoak dira analisi konplexuan, zeroz zatitzeko aukera ematen baitute zenbait egoeratan, ondo definitutako adierazpenak egiteko, hala nola:

${\displaystyle 1/0=\infty }$

Adibidez, plano konplexuan edozein funtzio arrazional Riemann-en esferan funtzio jarraitu gisa zabal daiteke, funtzio arrazionalaren poloak infinitura mapeatuta. Oro har, edozein meromorfa funtzio jarraitutzat har daiteke, eta Riemannen esfera da haren jabekidetza.

Geometrian, Riemannen esfera Riemannen gainazal baten eredu prototipikoa da, eta aldaera konplexu sinpleenetako bat. Geometria proiektiboan, esfera honela pentsa daiteke: ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$zuzen proiektibo konplexua, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$-ko lerro konplexu guztien espazio proiektiboa. Riemannen edozein gainazal trinkorekin bezala, esfera kurba aljebraiko proiektibo gisa ere ikus daiteke, geometria aljebraikoaren funtsezko adibide bihurtuz. Analisiaren eta geometriaren mende dauden beste diziplina batzuetan ere erabilgarria da, hala nola mekanika kuantikoan eta fisikaren beste adar batzuetan.

• Brown, James and Churchill, Ruel (1989). Complex Variables and Applications. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052. 
• Griffiths, Phillip and Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1. 
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality. Nueva York: Knopf. ISBN 0-679-45443-8. 
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0071002766. 
• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Riemann sphere" MathWorld-en.