Minkowskiren diagrama

Minkowskiren diagrama unibertsoko gertaerak irudikatzen dituen bi dimentsioko grafikoa da, dimentsio espaziala eta denbora-dimentsioa dituena. Espazioaren eta denboraren propietateak erakusten ditu erlatibitate bereziaren teorian, eta hauei dagozkien fenomenoen ulermen kualitatiboa ahalbidetzen du; hala nola, denboraren zabalkuntza eta Lorentz-en uzkurdura bezalako fenomenoena. Diagrama hauek Hermann Minkowski fisikariak garatu zituen 1908an.

Ohiko distantzia-denbora grafikoetan ez bezala, distantzia ardatz horizontalean agertzen da, eta denbora ardatz bertikalean. Diagramako puntu bakoitzak posizio bat irudikatzen du, bai espazioan eta baita denboran ere: posizio hauetako bakoitzari deritzogu, hain zuzen ere, gertaera. Era honetan, objektu bakoitzak lerro zehatz bat irudikatzen du diagraman zehar: objektuaren unibertso-lerroa. Denbora eta espazioa neurtzeko unitateak aukeratzerako orduan, argiaren abiaduran mugitzen den objektu baten unibertso-lerroak diagramaren ardatzekiko 45º-ko angelua osatzeko moduan aukeratzen dira.

Dimentsio bakarreko zinematikaren azterketan, denboraren araberako posizioaren grafikoek (d-t grafiko ere esaten zaie) mugimendua deskribatzeko baliabide erabilgarria dira. Objektuen mugimenduaren ezaugarriak grafikoetako lerroen forma eta maldaren bidez antzeman daitezke.^[1] Ondoko irudian, behatutako objektua jatorritik aldentzen da 1,66 m/s-ko abiadura uniformez sei segundoz, bost segundoz gelditu egiten da eta, ondoren, jatorrira itzultzen da zazpi segundoz, abiadura ez-konstantez.

Mailarik oinarrizkoenean, espazio-denbora diagrama bat posizioaren araberako denboraren grafiko bat besterik ez da, ohiko d-t grafiko baten ardatzen norabideak elkarren artean trukatuta dituena. Hala, ardatz bertikala denbora-koordenatuaren balioei dagokie, eta ardatz horizontalak espazio-koordenatuaren balioak adierazten ditu. Erlatibitate bereziaren teorian (EBT) erabiltzen direnean, espazio-denbora diagrametako denboraren ardatza c argiaren abiadurarekin biderkatzen da, ct bezala etiketatuz. Horrek aldatu egiten du denbora neurtzeko erabiltzen den kantitate fisikoaren dimentsioa, luzera dimentsioarengatik.

Errazago ulertzeko erreferentzia-sistema ezberdinetan dauden behatzaileen espazioaren eta denboraren koordenatuak nola konparatzen diren, erabilgarria da konfigurazio sinplifikatu batekin lan egitea. Diagramak kontu handiz interpretatuz, mugimenduari dagokion matematika sinplifika daiteke, lortzen diren ondorioetan orokortasunik galdu gabe. Denbora koordenatua alde batera utzita, bi erreferentzia-sistema inertzial (hau da, hiru dimentsioko espazio konbentzionalean kokatutako bi sistema), S eta S' (S prima), O eta O' behatzaile geldiekin (bakoitza bere sisteman), baina batak bestea ± v abiaduraz mugitzen ikusten duelarik, konfigurazio estandar batean daudela esaten da honako kasu hauetan:

• S sistemako x, y eta z ardatzak paraleloak dira S' sistemari dagozkion x', y' eta z' ardatzekiko.
• S sistematik neurtuta, S' sistema x ardatzean zehar mugitzen da v abiaduraz.
• S eta S' sistemetako jatorrien posizioa berdina da t=0 (S-n) eta t'=0 (S'-n) direnean.^[2]

Eskuineko irudian erakusten da konfigurazio espazial hau . Bertan, ordea, ez da ageri t=0 eta t'=0 aldiuneko egoera, eta beraz S' desplazatuta ageri da S sistemarekiko x ardatzean.

Are gehiago sinplifikatuz, sarritan posiblea da mugimenduaren ardatza (x, gehienetan) bakarrik kontsideratzea, beste bi dimentsio espazialak alboratuz. Honela, lehenago aipatu bezala, posiblea da higidura diagrama bidimentsionalen bidez irudikatzea. Horretarako, ct-ren balioak irudikatzen dira ardatz bertikalean, eta x-renak horizontalean.

Minkowskiren diagrama terminoa erlatibitate berezian maiz erabiltzen den espazio-denbora diagrama zehatz bati dagokio. Terminoa zentzu generikoan zein partikularrean erabiltzen da. Zentzu generikoan, Minkowskiren diagrama Minkowski-ren espazio-denboraren zati baten bi dimentsioko irudikapen grafikoa da, zeinetan, oro har, espazioa dimentsio bakar batera murriztu den. Diagrama horietako unitateak gertaera bateko argi-konoa gertaera horri lotutako grafikoaren puntutik pasatzen diren malda lerroak izan daitezen hautatzen dira.^[3] Lerro horizontalek aldibereko gertaeren ohiko ulerkerari dagozkio, jatorriarekiko geldi dagoen behatzaile batentzat.

Minkowski-ren diagrama partikular batek Lorentz-en transformazio baten emaitza irudikatzen du. Lorentz-en transformazioak bi erreferentzia-sistema erlazionatzen ditu, (0,0) gertakarian dagoen behatzaile batek bere x ardatzeko abiadura aldatzen duenean. Denboraren ardatz berriak α angelu bat osatzen du aurrekoarekin, non α < ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ den. Erreferentzia-sistema berrian, aldibereko gertakariak kokatzen dira aurreko sistemako aldiberekotasun lerroekiko α angeluko inklinazioa duen lerrozuzen batekiko paraleloak diren lerroetan: lerrozuzen hau da x ardatz berria. Bai ardatz zaharrak bai eta berriak ere ortogonalak dira Minkowski-ren espazio-denborarekiko.

α edozein izanda ere, la línea t=x lerroa unibertsoaren erdibitzailea da.^[4]

Hasieran aipatu bezala, denboraren eta esapazioaren unitateak aukeratzen dira argiaren ibilbideak erdibitzailearekiko paraleloak izateko.

Ondoko irudian x eta ct bezala izendatutako ardatz beltzak x = 0 puntuan geldirik dagoen behatzailearen koordenatu-sistema dira. Behatzaile horren unibertso-lerroa ct denbora-ardatzaren berdina da. Ardatz horrekiko paraleloa den lerro bakoitza, halaber, geldirik baina beste posizio batean dagoen objektu bati dagokio. Lerro urdinak v abiadura konstantean eskuinerantz mugitzen den elementu bat deskribatzen du.

Lerro urdin hori, ct' bezala izendatua, bigarren behatzailearen denboraren ardatz gisa interpreta daiteke. Bi behatzaileentzat berdina den x ardatzarekin batera, bere koordenatu-sistema osatzen du. Erreferentzia-sistemak konfigurazio estandarrean daudenez, bi behatzaileen koordenatu-sistemen jatorriaren kokapena berdina da. Mugimenduan dagoen behatzailearen ardatzak ez dira elkarrekiko perpendikularrak, eta bere denbora-ardatzaren eskala luzatzen da. Gertaera jakin baten koordenatuak zehazteko, bi lerro eraiki behar dira, bakoitza bi ardatzetako batekiko paraleloa, gertaeratik pasatuz, eta lerroen ardatzekiko elkarguneak irakurri behar dira.

Irudian ageri den A gertakaria gertatzeko unea berdina da bi behatzaileentzat, espero bezala, baina posizioak balio ezberdinak hartzen ditu, mugitzen den behatzailea A gertakariaren posiziora hurbildu baita t = 0 aldiunetik. Oro har, x ardatzarekiko lerro paralelo bateko gertaera guztiak aldi berean gertatzen dira bi behatzaileentzat. Denbora unibertsal bakarra hartzen da, t = t', posizio-ardatz komun bat inposatzen duena. Bestalde, bi kokapen-ardatz desberdin daudenez, behatzaileek koordenatu desberdinak neurtu ohi dituzte gertaera bererako. Matematikoki, x eta x'-ren eta t eta t'-ren arteko harremana Galileo-ren transformazioen bidez deskribatzen da.

1905ean, Albert Einstein-ek deskubritu zuen deskribapen newtondarra ez zela zuzena,^[5] eta 1908an Hermann Minkowski-k deskribapen grafikoa garatu zuen.^[6] Espazioaren eta denboraren propietateen ondorioz, koordenatuen translaziorako arauak aldatu egiten dira mugitzen diren behatzaileentzat; zehazki, behatzaile batentzat aldiberekoak diren bi gertakari, une ezberdinetan gertatzen dira honekiko mugitzen den behatzailearentzat.

Minkowski-ren diagraman, aldiberekotasunaren erlatibitate hau adierazteko, mugimenduan dagoen behatzaileari dagokion x' koordenatua gehitzen da. Lehen aipatu bezala, behatzaile bakoitzak aldibereko bezala interpretatzen ditu bere x ardatzaren paralelo berdinean dauden gertakariak.

Denbora-ardatzetan t esleitu beharrean ct esleitzen bada, x eta x'-ren ardatzen arteko α angelua ct eta ct' denbora-ardatzen artekoaren berdina izango da. Hau erlatibitate bereziaren bigarren postulatutik ondoriozta daiteke; postulatu honen arabera, argiaren abiadura berdina da behatzaile guztientzat, haien mugimendu erlatiboa edozein izanda ere. Ardatzen arteko α angelua honela adierazten da:^[7]

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {v}{c}}=\beta }$

x eta t-tik x' eta t'-ra (eta alderantziz) igarotzeko formula matematikoa Lorentz-en transformazioen bidez lortzen dugu: ${\displaystyle ct'=\gamma (ct-\beta x)}$. x' ardatzean t' = 0 denez, bertan ${\displaystyle t=\beta x/c}$ izango da eta, beraz, x'-ren malda ${\displaystyle {\frac {\Delta ct}{\Delta x}}=\beta =\tan(\alpha )}$ da. Transformazio honen bitartez sortutako espazioko eta denborako ardatzak edozein izanda ere, Minkowski-ren diagrama batean, ardatzek hiperbola baten diametro konjokatuei dagozkie. Behatzaile ezberdinetako ardatzen eskalak honela erlazionatzen dira: ct eta x ardatzen luzera-unitatea U bada, ct' eta x' ardatzena honako hau da:^[8]

${\displaystyle U'=U\cdot {\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,.}$

S-rekiko geldinuean dagoen objektu bat badugu, bere luzera x ardatzean irudikatuz gero, luzera horri objetuaren luzera propio deritzogu. Halaber, S-rekiko geldiunean dagoen erloju bat badugu, honek neurtutako denbora, ct ardatzean irudikatuta, denbora propioa izango da. Beste hainbeste gertatzen da S' sistemarekiko geldirik dauden objektu eta erloju batekin, haien neurriak x' eta ct' ardatzetan irudikatuz gero.

Denboraren zabalkuntza erlatibista^[9] behatzailearekiko mugitzen diren objektuen denbora motelago igarotzen dela behatzean datza. Hori berehala irakur daiteke alboko Loedel-en diagraman, nahiko modu zuzenean, bi ardatz-sistemetako unitateen luzerak berdinak baitira. Beraz, bi sistemen arteko irakurketa konparatzeko, nahikoa da luzerak orrian agertzen diren bezala konparatzea: ez da kontuan hartu behar ardatz bakoitzeko unitateen luzerak ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,}$ faktorearen bidez distortsionatuta daudela, zeina kontuan hartu beharko litzatekeen dagokion Minkowski-ren diagraman.

Demagun alboko irudiko ardatz beltzek ematen duten erreferentzia-sistema duen behatzailea O jatorritik A-ra mugitzen dela. Mugimenduan dagoen erlojuak ardatz urdinek emandako erreferentzia-sistema du, eta O-tik B-ra mugitzen da. Behatzaile beltzaren kasuan, A gertaeraren une berean gertatzen diren gertaera guztiak haren ardatz espazialarekiko paraleloa den eta A-tik igarotzen den lerro zuzen batean daude. Lerro horrek A eta B zeharkatzen ditu eta, beraz, A eta B aldiberekoak dira ardatz beltzeko erreferentzia-sistematik. Behatzaile beltzarekiko mugitzen den erlojuak, aldiz, gertaeraren aldiunea denboraren ardatz urdinean markatzen du, O-tik B-rainoko distantzian ageri den bezala. Beraz, A-n dagoen behatzaile beltzak ikusten du bere erlojuak O-tik A-rainoko tartea markatzen duela, beste erlojua berarekiko mugitzen dela ikusten duen bitartean, O-tik B-rainoko distantzia markatuz, azken hau O-tik A-rako distantzia baino txikiagoa delako eta, beraz, ondorioztatzen du berarekiko mugitzen den erlojuan denbora motelago igaro dela, bere erlojuan igarotakoarekin konparatuz.

O-tik B-ra erlojuarekin batera mugitu den bigarren behatzaile batek, ordea, argudiatuko du beste erlojua ez dela C-ra iritsi une horretara arte eta, beraz, erloju horretan denbora motelago igarotzen dela. Itxuraz paradoxikoak diren bi baieztapen hauen arrazoia da kokaleku desberdinetan modu sinkronikoan gertatzen diren gertaeren zehaztapen ezberdina. Erlatibitatearen printzipioaren ondorioz, arrazoia nork duenaren galderak ez du ez erantzunik ez zentzurik ere.

Luzeraren uzkurdura erlatibistak esan nahi du behatzaile batekiko mugitzen den objektu baten luzera propioa txikitu egiten dela, espazioa bera ere uzkurtu egiten delarik sistema horretan. Berriz ere, suposatzen da behatzailea ct ardatzean mugitzen dela. Suposatzen da objektu baten amaierako puntuen unibertsoko lerroak, harekiko mugitzen direnak, ct' ardatzean mugitzen direla eta A eta B zeharkatzen dituen lerro paraleloan. Behatzaile horren aburuz, objektuaren muturreko puntuak, t = 0 denean, O eta A dira. Segundo batez, behatzailea objektuarekin batera mugitzen da eta, beraz, objektua geldirik dago berarentzat, eta OB luzera propioa du, t' = 0 denean, OA < OB. Lehenengo behatzailearentzat, objektua uzkurtu egiten da.

Bigarren behatzaileak argudiatuko du lehenengoak muturreko puntuak une ezberdinetan neurtu dituela, eta beraz emaitza okerra lortu du objektua mugitzen ari delako. Bigarren behatzaileak beste objektu baten luzera aztertzen badu, zeinaren muturrak ct ardatzean eta C eta D puntuetatik pasatzen den lerro paraleloan mugitzen diren, ondorioztatzen du, era berean, objektua uzkurtu egiten dela OD-tik OC-ra. Behatzaileetako bakoitzak ikusten du beste behatzailearekin batera mugitzen diren objektuak uzkurtzen direla. Itxuraz paradoxikoa den egoera hau, berriz ere, aldiberekotasunaren erlatibitatearen ondorio bat da, Minkowskiren diagramaren analisiaren bidez frogatzen den bezala.

Erlatibitate bereziaren beste postulatu bat argiaren abiadura konstantea dela da: Erreferentzia-sistema inertzial bateko behatzaile batek, hutsean, argiaren abiadura neurtuz gero berekiko, balio bera lortuko du bere argi-iturriarekiko abiadura edozein izanda ere. Baieztapen horrek paradoxikoa dirudi, baina berehala ondorioztatzen da bere mugimendua arautzen duen ekuazio diferentzialetik eta, gainera, Minkowskiren diagrama bat dator postulatu horrekin. Michelson-en eta Morley-ren esperimentuaren emaitza ere azaltzen du, zeina ezin zitekeen azaldu erlatibitatearen teoria sortu aurretik. Garai horretan, uste zen fotoiak ingurune hautemanezin baten bidez (eterra-ren bidez) mugitzen ziren uhinak zirela uste zen.

Jatorritik hainbat norabidetan igarotzen diren fotoien unibertsoko lerroetarako, x = ct eta x = -ct mantentzen da. Horrek esan nahi du unibertso-lerro horretako edozein posizio bat datorrela balio absolutu bereko x eta ct ardatzetako urratsekin. Koordenatuak ardatz inklinatuak dituen koordenatu-sisteman irakurtzeko arautik, ondorioztatzen da bi unibertso-lerroak x eta ct ardatzek osatutako angeluaren erdikariak direla. Minkowskiren diagraman ikus daitekeenez, x' eta ct' ardatzetako erdikari angeluarrak ere badira. Horrek esan nahi du bi behatzaileek c abiadura bera neurtzen dutela bi fotoientzat.

Minkowskiren diagrama honi koordenatu-sistema gehigarriak gehi dakizkioke, abiadura arbitrarioak dituzten behatzaileei dagozkienak. Sistema horientzako guztientzako, fotoien bi unibertso-lerroek ardatzak osatzen dituzten angeluen erdikariak osatzen dituzte. Abiadura erlatiboa argiarenera hurbildu ahala, ardatzak hurbilago egongo dira dagokien angeluaren erdikaritik. x ardatza beti da handiagoa, eta denbora-ardatza beti da fotoien unibertso-lerroak baino aldapatsuagoa. Bi ardatzetako eskalak berdinak dira beti, baina, oro har, beste koordenatu-sistemetakoez bestelakoak.

Jatorritik igarotzen diren lerro zuzenek fotoien unibertso-lerroek baino malda handiagoak dituzte, eta argiaren abiadura baino mantsoago mugitzen diren objektuei dagozkie. Hori objektu bati aplikatzen bazaio, behatzaile guztien ikuspuntutik aplikatzen da, fotoien unibertso-lerroak angeluaren erdikariak baitira edozein erreferentzia-sistema inertzialetarako. Beraz, bi fotoien unibertso-lerroen artean eta jatorriaren gainetik dagoen edozein puntura argiarena baino abiadura txikiagoaz mugituz hel daiteke, eta jatorriarekiko kausa- eta efektu-erlazioa izan dezake. Eremu hori etorkizun absolutua da; izan ere, gero gertatzen den edozein gertaera jatorriak adierazitako gertaerarekin alderatzen da, behatzailea edozein izanda ere, eta hori argi ageri da grafikoki Minkowskiren diagraman.

Argudio bera jarraituz, jatorriaren azpiko eta fotoien unibertso-lerroen arteko tarteak jatorriarekiko iragan absolutua adierazten du. Han gertatzen den edozein gertaera iraganekoa da behin betiko, eta jatorrian eragina izan dezake (kausa- eta efektu-erlazio bat sortuz berarekin).

Gertaera bikote horietako edozeinen arteko harremanari denborazko esaten zaio, behatzaile guztientzat Δt < 0 denbora tartea dutelako elkarren artean. Bi gertaera horiek lotzen dituen lerro zuzena behatzaile posible baten denbora-ardatza da beti, eta behatzaile horrentzat leku berean gertatzen dira biak. Argiaren abiadurarekin bakarrik konekta daitezkeen bi gertaerari luminiko deritze.

Printzipioz, espazio-dimentsio gehigarri bat erants dakioke Minkowskiren diagramari, eta horrek hiru dimentsioko irudikapena dakar. Kasu horretan, etorkizuneko eta iraganeko tarteak kono bihurtzen dira, eta erpinak elkar ukitzen dute jatorrian, ondoko irudian gertatzen den bezala. Kono horiei argi-kono deritze.

• Anthony French (1968) Relatividad especial , 82 y 83 orrialdeak, New York: W. W. Norton & Company.
• E.N. Glass (1975) Lorentz refuerza y diagramas de Minkowski American Journal of Physics 43: 1013,4.
• N. David Mermin (1968) Espacio y tiempo en la relatividad especial, 17. kapitulua: Diagramas de Minkowski: La geometría del espacio-tiempo.
• Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General and Cosmological. Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0..
• W.G.V. Rosser (1964) Una introducción a la teoría de la relatividad , página 256, Figura 6.4, Londres: Butterworths.
• Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (1963) Spacetime Physics, 27.etik 38.erainoko orrialdeak, Nueva York: W. H. Freeman and Company, bigarren argitalpena (1992).
• Walter, Scott (1999), The non-Euclidean style of Minkowskian relativity, J. Gray, The Symbolic Universe: Geometry and Physics, Oxford University Press, 91-127. orrialdeak.
• Aguirregabiria, Juan Mari (2011), Grabitazioa eta kosmologia, 5-14 orrialdeak, 7. argitalpena (2017).

• Erlatibitate berezia
• Lorentz-en uzkurdura
• Denboraren zabalkuntza
• Hermann Minkowski
• Lorentz-en transformazio