Metrika tentsore

Erlatibitate orokorraren arloan, metrika tentsoreak (normalean metrika izenaz ezagutua testuinguru honetan) espazio-denbora osoaren geometria deskribatzen du. Beraz zenbait kontzeptu deskribatzeko oso erabilgarria da, hala nola, denbora, distantzia, bolumena, kurbatura, angelua, baita gertaeren kausaltasun erlazioak eta iragana eta etorkizunaren arteko muga.

Artikulu honetan zehar metrikaren signatura sasi-positiboa hautatuko da (- + + +)^[1]. G grabitazio unibertsalaren konstantea esplizituki adieraziko da. Seinuen hitzarmena iturriaren arabera alda daiteke. Azken hitzarmen gisa, ohartu artikuluan zehar Einsteinen baturaren hitzarmena aplikatuko dugula, eta beraz, ondorengoak baliokideak dira.^[2]

${\displaystyle y=\sum _{\mu =0}^{3}x^{\mu }}$ , ${\displaystyle y=x^{\mu }}$

Matematikari dagokionez, espazio-denbora lau dimentsioko barietate diferentziagarri baten bidez adierazten da, ${\displaystyle M}$, eta metrika bigarren mailako tentsore kobariante, alderanzgarri eta simetriko baten bidez, ${\displaystyle g}$. Tentsore hori degenerazio gabekoa eta (- + + +) signaturaduna izan behar da. Metrika hau darabilen barietati bati Lorentz-en barietatea deritzo.

Esplizituki, tentsore metrikoak forma bilinear simetrikoa dauka puntuz puntu diferentziagarria den ${\displaystyle M}$-rekiko tangentea den espazio bakoitzean.

Suposatu bi bektore tangente, ${\displaystyle u}$ eta ${\displaystyle v}$, ditugula ${\displaystyle M}$-ko ${\displaystyle x}$ puntuan. Orduan, metrika ${\displaystyle u}$ eta ${\displaystyle v}$ bektoreetan ebaluatu daiteke balio erreal bat eskuratzeko.

${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} }$

Metrika biderketa eskalarraren orokorpena da espazio Euclidear arrunt batentzako. Baina, espazio Euclidearrean ez bezala, non biderketa eskalarra positiboki definituta dago, metrika ez dago definituta eta espazio tangente orori Minkowskiren espazioaren egitura ematen dio.^[3]

Fisikariek askoran koordenatu lokaletan lan egiten dute. Koordenatu lokalak ${\displaystyle x^{\mu }}$ izanik (non ${\displaystyle \mu }$ 0-tik 3-ra doan zenbaki bat den) metrika hurrengo eran idatzi daiteke

${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$

${\displaystyle dx^{\mu }}$ faktoreak koordenatu eskalarren eremuaren 1-forma gradienteak da. Beraz, metrika koordenatuen 1-forma gradienteen biderkadura tentsorialen konbinazio lineala da. 16 koefiziente errealez osatuta egongo da metrika (tentsorea eremu tentsorial izanik, espazio-denbora barietatearen puntu guztietan definituta egongo delako). Dena dela, metrika simetrikoa izango bada,

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }}$

beraz, 10 koefiziente baino ez dira izango independienteak.

Koordenatu lokalak ezagunak badira (aurretiaz zehaztu direlako edo testuingurutik ondorioztatuz), ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ gaiek osaturiko 4 ${\displaystyle \times }$ 4 dimentsioko matrize gisa adierazi daiteke metrika, matrizea simetriko izanik. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ degeneratu gabea denez gero matrize hori ez da singularra izango. Signaturatik ondoriozta daiteke matrize horren autobalioetako bat negatiboa izango dela eta beste hirurak positiboak. Kontuan izan, fisikaren arloan, matrize hau bera edo ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ koordenatuak direla adierazi nahi duguna metrika aipatzean.

Aurretiaz ez bezala, ${\displaystyle dx^{\mu }}$ gaiak koordenatuen desplazamendu tetrabektorial baten gai infinitesimalak izango dira (lehen 1-forma gradienteak ziren baina notazioa aldatuko dugu orain). Metrikak desplazamendu infinitesimal baten aldaezinaren karratua zehaztuko du, tarte gisa ezagutuko duguna. Tarte hori hurrengo eran adieraziko dugu:^[4]

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$

Tarte hori oso loturiko dago espazio-denboraren egitura kausalarekin. ${\displaystyle ds^{2}<0}$ denean, denbora motako tartea daukagu esku artean. Masadun objektuek denbora motako tarteetan zehar bakarrik desplazatu daitezke. ${\displaystyle ds^{2}=0}$ denean, argi motako tartea dugu eta argi konoa mugatzen du. Mota honetako tarteetan zehar bidaiatzen dute argiaren abiaduran desplazatzen diren masa gabeko partikulak. ${\displaystyle ds^{2}>0}$ denean, tartea espazio motakoa da. Espazio motako tarteetan zehar ezin da desplazatu objekturik, argi konotik kanpo dagoelako. Tarte mota honetan kausaltasuna ez da posiblea. Bi gertaera kausa-ondorioa izan daitezen argi konoen barnean egon behar du espazio-denbora aldaezinak.

Ohartu metrikaren gaiak hautaturiko koordenatu sistema lokalaren araberakoak direla. Beraz, ondorengo eran transformatzen dira metrikaren gaiak ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$ koordenatu aldaketa burutzean:^[5]

${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$

${\displaystyle g}$ metrikak guztiz definitzen du espazio-denboraren kurbatura. Riemann-en geometriaren oinarrizko teoremaren arabera, edozein barietate sasi-Riemanndarrean konexio bakarra dago metrikarekin bateragarria eta tortsio-gabea dena. Konexio horri Levi-Civita konexioa deritzo. Konexio horren Christoffel-en ikurrak metrikaren ${\displaystyle x^{\mu }}$ koordenatu lokalekiko deribatu partzialen funtzioan eman daitezke hurrengo eran^[6]${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={1 \over 2}g^{\lambda \rho }\left({\partial g_{\rho \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\rho \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\rho }}\right)={1 \over 2}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$

(komen eskuinean ageri drie koefizienteek koefiziente horretako koordenatu lokalekiko deribatu partziala adierazten dute).

Espazio-denboraren kurbadura Riemann-en kurbadura tentsorearen bidez eman dezakegu, tentsore hau goian aipaturiko konexioen bidez definituz. Koordenatu lokaletan ondorengo forma izango du:

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$

Aldi berean, konexioak metrikaren eta bere deribatu partzialen funtzio gisa eman daitekeenez, metrika ${\displaystyle g}$ eta bere deribatuen menpe bakarrik geratuko da kurbatura.^[7][8][9]

Erlatibitate orokorraren ideia nagusietako bat da metrika zehaztea espazio-denborako materia eta energiaren arabera. Einstein-en eremu ekuazioek metrika eta kurbatura tentsorea (ikusi dugu tentsore hori guztiz lotuta dagoela metrikarekin) energia-momentu tentsorearekin ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ erlazionatzen dituela.

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$

non Ricci-ren kurbatura tentsorea:

${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$

eta kurbatura eskalarra ditugun:

${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$

Energia-momentu tentsorea ekuazio diferentzial partzial ez-linealen multzo konplikatu bat da. Hori dela eta, Einstein-en eremu ekuazioen soluzioak lortzea nahiko zaila da.^[10][11][12]

Metrika asko eta asko badaude ere, bakoitzak bere abantailak eta arazoak ditu aztertzen ari garen ingurunearen arabera. Ondo aukeratuz gero, baliteke metrika batek Einsteinen ekuazioen soluzioak era erraz batean ematea proposaturiko kasurako.

Berton hiru metrika sakonduko ditugu erlatibitate orokorrarentzako duten garrantziagatik.

Lorentz-en barietate baten adibide sinpleena espazio-denbora laua da, R⁴ espazio gisa adierazi daitekeena, koordenatuak ondorengoak izanik ${\displaystyle (ct,x,y,z)}$. Minkowski-ren metrika ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ikurraz adierazten da. Espazio-denborako tarte infinitesimala ondorengo eran erlazionatzen da metrikarekin:^[13][14][15]

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.\,}$

Minkowski-ren metrika da erlatibitate bereziaren arloan erabiltzen dena eta bere adierazpen matrizeala ondorengoa dugu:

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Kasu batzuetan, hitzarmenaren arabera, ${\displaystyle ct}$ ordez ${\displaystyle t}$ koordenatua erabiltzen da eta beraz, adierazpen matrizealaren itzura ondorengoa izango litzateke.

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Koordenatu inertzial lokaletatik beste koordenatu batzuetara ${\displaystyle X^{\mu }\longrightarrow x^{\mu }}$ aldaketa eginez, ondorengo eran transformatzen da metrika kobariantea:

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\frac {dX^{\rho }}{dx^{\mu }}}{\frac {dX^{\sigma }}{dx^{\nu }}}\eta _{\rho \sigma }}$

Kontrabariantearen kasuan ordea:

${\displaystyle g^{\mu \nu }=\eta ^{\rho \sigma }{\frac {dx^{\mu }}{dX^{\rho }}}{\frac {dx^{\nu }}{dX^{\sigma }}}}$

Koordenatu esferikoertara aldatuz${\displaystyle (ct,r,\theta ,\phi )}$, espazio-denbora lauaren metrikak ondorengo itxura du:

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}\,}$

non

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

Minkowski-ren metrikaren ondoren, erlatibitate orokorrean erabiltzen den metrika garrantzitsuena da. Pausagunean dagoen gorputz esferikoki simetriko batek sortutako eremu estatiko eta simetrikoki esferiko batentzako Einsteinen ekuazioen soluzio erraz bat lor dezakegu. Metrika hau oso erabilia da, besteak beste, kargatu gabeko eta errotazio gabeko zulo-beltzetarako. Ondorengo eran adierazi daiteke metrika koordenatu lokaletan:^[16][17]

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

Non,

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

Ondorengo koordenatu multzoa hautatuz,

${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )}$

metrikaren adierazpen matriziala lor daiteke:

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}}$

Non, G grabitazio unibertsalaren konstantea den, c argiaren abiadura eta M aurretiaz aipaturiko koordenatuen jatorrian zentraturiko gorputz esferikoaren masa.

Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metrika edo FLRW metrika Einsteinen ekuazioen soluzio bat da erlatibitate orokorrean. Unibertso homogeneo eta isotropo baten hedapena deskribatzen du. Baliteke iturriren batean metrika hau lau egileen izenen azpimultzo batez izendatuta agertzea.^[18][19]

Metrikak ondorengo itxura izango du, non aldagai espazialak denborarekiko menpekotasuna izan dezake:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}$

Non, ${\displaystyle a(t)}$ eskala faktorea den, ${\displaystyle k}$ kurbadurarekin erlazionaturik dago eta konstantea da denboran zehar. ${\displaystyle k}$ horrek har ditzakeen balioak ${\displaystyle 1,0,-1}$ dira.${\displaystyle k=0}$-ri kurbadura espazial nulua deritzo eta espazio-denbora kurbatua bada ere, sekzio espaziala laua da. ${\displaystyle k=1}$-ri kurbadura espazial positiboa deritzo eta espazio itxia ematen duela esaten da. ${\displaystyle k=-1}$-ri kurbadura espazial negatiboa esaten zaio ordea, eta kasu honen sekzio espaziala irekia da.^[20]

Ondorengo koordenatu multzoa hautatuz,

${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )}$

metrikaren adierazpen matriziala lor daiteke:

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&(a(t))^{2}{\frac {1}{1-kr^{2}}}&0&0\\0&0&(a(t))^{2}r^{2}&0\\0&0&0&(a(t))^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}}$

Metrika hau Big-Bang-aren eredu kosmologikoaren lehen hurbilketa gisa erabili daiteke.

• de Sitter metrika
• Lemaître–Tolman metrika
• Peres-en metrika
• Rindler-en metrika
• Gödel-en metrika
• Alcubierre-ren metrika
• Senovilla-en metrika

t elementuaz parametrizaturiko kurba baten luzeera, ${\displaystyle a}$-tik ${\displaystyle b}$-rako tarte batean, ondorengoa da:^[21]

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}\ dt}$

U eta V bektoreen arteko angelua ondorengo eran defintitzen da:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{\mu \nu }U^{\mu }V^{\nu }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\right|\left|g_{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\right|}}}}$

R ingurune baten bolumena ondorengo eran lortzen da:

${\displaystyle V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|\det[g_{\mu \nu }]|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$

• Wald, Robert M.. (1984). General relativity. ISBN 0-226-87032-4. PMC 10018614. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).
• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press.
• D'Inverno, Ray. (1992). Introducing Einstein's relativity. ISBN 0-19-859686-3. PMC 24067309. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).
• Aguirregabiria, Juan M. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). ISBN: 978-84-9860-710-9
• Rindler, Wolfgang. (2006). Relativity : special, general, and cosmological. (2nd ed. argitaraldia) Oxford University Press ISBN 978-0-19-152433-2. PMC 181757331. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).