Errepresentazioaren teoria

Errepresentazioaren teoria edo irudikapenaren teoria matematikaren adar bat da, eta egitura aljebraiko abstraktuak aztertzen ditu, haien elementuak espazio bektorialen eraldaketa lineal gisa irudikatuz, eta egitura algebraiko abstraktu horiei buruzko moduluak aztertzen ditu.^[1][2] Funtsean, irudikapen batek zehatzagoa egiten du objektu aljebraiko abstraktu bat, eta haren elementuak matrizeen bidez eta eragiketa aljebraikoen bidez deskribatzen ditu (adibidez, matrizeen batura, matrizearen biderketa). Matrizeen eta eragile linealen teoria hobeto ulertzen dira, eta, batzuetan, teoria abstraktuagoen kalkuluak sinplifikatzen dituzte. 

Deskribapen honetako objektu algebraikoen artean daude taldeak, aljebra asoziatiboak eta Lie-ren aljebrak. Nabarmenena (eta historikoki lehena) taldeen irudikapenaren teoria da, non talde bateko elementuak matrize alderantzikagarrien bidez adierazten baitira, talde-eragiketa matrizeen biderketa izan dadin.^[3]

Irudikapenaren teoria metodo erabilgarria da, aljebra abstraktuaren arazoak aljebra linealeko problemetara murrizten baititu, oso gai ulertua. Gainera, talde bat irudikatzeko erabiltzen den espazio bektoriala (adibidez) infinito dimentsiokoa izan daiteke, eta, adibidez, Hilbert-en espazio bat izan dadin, talde-teoriari analisi-metodoak aplika dakizkioke.^[4][5] Irudikapenaren teoria ere garrantzitsua da fisikan; izan ere, adibidez, sistema fisiko baten simetria-taldeak sistema hori deskribatzen duten ekuazio-soluzioei nola eragiten dien deskribatzen du.^[6]

Irudikapenaren teoria bi arrazoirengatik orokortzen da matematikaren eremuetan. Lehenik eta behin, irudikapenaren teoriaren aplikazioak askotarikoak dira: aljebran duen eraginaz gain, irudikapenaren teoria:^[7]

• Fourier-en analisia argitu eta orokortzen du analisi harmonikoaren bidez,^[8]
• geometriarekin lotuta dago, teoria aldaezinaren eta Erlangen programaren bidez,^[9]
• eragina du zenbakien teorian, forma automatikoen eta Langlands programaren bidez.^[10]

Bigarrenik, irudikapenaren teoriaren zenbait ikuspegi daude. Objektu berberak geometria aljebraikoko metodoen, moduluen teoriaren, zenbakien teoria analitikoaren, geometria diferentzialaren, eragileen teoriaren, konbinazio aljebraikoaren eta topologiaren bidez azter daitezke.

Irudikapenaren teoriaren arrakastak orokortze ugari eragin ditu. Orokorrenetako bat kategorien teoria da.^[11] Irudikapenaren teoria aplikatzen zaien objektu aljebraikoak kategoria mota berezi gisa ikus daitezke, eta funtore gisako irudikapenak, objektuen kategoriatik espazio bektorialen kategoriara.^[3] Deskribapen horrek bi orokortze nabari adierazten ditu: lehenik, objektu aljebraikoen ordez kategoria orokorragoak erabil daitezke; bigarrenik, bektore-espazioen kategoria objektiboaren ordez, oso ulertuak diren beste kategoria batzuk erabil daitezke.

Bedi V espazio bektorial bat F gorputzean. Adibidez, V Rⁿ edo Cⁿ dela joz, espazio n-dimentsional estandarra zutabe-bektoreeetako zenbaki erreal edo konplexuekin, hurrenez hurren. Kasu honetan, irudikapenaren teoriaren ideia aljebra abstraktua konkretatzea da, n aldiz zenbaki erreal edo konplexuzko n matrizeak erabiliz.

Hiru objektu algebraikoren gainean egin daiteke hori: taldea, aljebra asoziatiboak eta Lieren aljebrak.^[12][3]

• n ${\displaystyle \times }$ n matrize alderantzikagarri guztien multzoa matrizeen biderketa errespetatzen duen taldea da, eta taldeen irudikapenaren teoriak talde bat aztertzen du bere elementuen deskribapena (irudikapena) horien matrize alderantzikagarrien arabera.
• Matrizeen batuketak eta biderketak n aldiz eratutako n matrize guztien talde bat osatzen dute aljebra asoziatibo batean, eta, beraz, dagokion elkarte-aljebrak irudikatzeko teoria bat dago.

• MN matrizeen biderketaren ordez MN – NM matrize-kommutadorea erabiltzen bada, orduan n aldiz n matrizeak Lieren aljebra bihurtzen dira, eta horrek Lieren aljebra-irudikapen bat eragiten du.

Hori orokortu egin daiteke F eremu guztietan eta V bektore-espazio guztietan, aplikazio linealak erabiliz, matrizeak eta funtzioen konposizioa ordezkatuz, matrizeen biderketa ordezkatuz, hiru hauek existitzen dira: GL(V,F) V-ren automorfismoen talde bat, V-ren endomorfismo guztien End_F(V) aljebra asoziatibo bat, eta gl(V,F) Lie-ren aljebra bat.

• Alperin, J. L.. Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups. Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-44926-7..
• Bargmann, V. «Irreducible unitary representations of the Lorenz group». Annals of Mathematics, 48, 3, 1947, p. 568–640. DOI: 10.2307/1969129..
• Borel, Armand. Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2001. ISBN 978-0-8218-0288-5..
• Borel, Armand; Casselman, W. Automorphic Forms, Representations, and L-functions. American Mathematical Society, 1979. ISBN 978-0-8218-1435-2..
• Curtis, Charles W.; Reiner, Irving. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), 1962. ISBN 978-0-470-18975-7..
• Gelbart, Stephen «An Elementary Introduction to the Langlands Program». Bulletin of the American Mathematical Society, 10, 2, 1984, p. 177–219. DOI: 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6..
• Folland, Gerald B. A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, 1995. ISBN 978-0-8493-8490-5..
• Fulton, William; Harris, Joe. Representation theory. A first course. 129. Nova York: Springer-Verlag, 1991. MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6. ISBN 978-0-387-97495-8..
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-66348-9..
• James, Gordon; Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. ISBN 978-0-521-44590-0..
• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 222. 2nd. Springer, 2015. ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur. Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces. Academic Press, 1978. ISBN 978-0-12-338460-7.
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Birkhäuser, 1972a. ISBN 978-0-387-90053-7..
• Humphreys, James E. Linear Algebraic Groups. 21. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972b. ISBN 978-0-387-90108-4.
• Jantzen, Jens Carsten. Representations of Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3527-2..
• Kac, Victor G. «Lie superalgebras». Advances in Mathematics, 26, 1, 1977, p. 8–96. DOI: 10.1016/0001-8708(77)90017-2..
• Kac, Victor G. Infinite Dimensional Lie Algebras. 3rd. Cambridge University Press, 1990. ISBN 978-0-521-46693-6..
• Knapp, Anthony W. Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples. Princeton University Press, 2001. ISBN 978-0-691-09089-4..
• Kim, Shoon Kyung. Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64062-6..
• Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. Linear Algebra and Geometry. Taylor & Francis, 1997. ISBN 978-90-5699-049-7..
• Lam, T. Y. «Representations of finite groups: a hundred years». Notices of the AMS, 45, 3,4, 1998, p. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. Geometric invariant theory. 34. 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. ISBN 978-3-540-56963-3.; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
• Olver, Peter J. Classical invariant theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-55821-1..
• Peter, F.; Weyl, Hermann «Còpia arxivada». Mathematische Annalen, 97, 1, 1927, p. 737–755. Arxivat de l'original el 2014-08-19. DOI: 10.1007/BF01447892 [Consulta: 14 octubre 2021]..
• Pontrjagin, Lev S. «The theory of topological commutative groups». Annals of Mathematics, 35, 2, 1934, p. 361–388. DOI: 10.2307/1968438..
• Sally, Paul; Vogan, David A. Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. American Mathematical Society, 1989. ISBN 978-0-8218-1526-7..
• Serre, Jean-Pierre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag, 1977. ISBN 978-0387901909..
• Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer, 1997. ISBN 978-0-387-94732-7..
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88218-7..
• Sternberg, Shlomo. Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55885-3..
• Tung, Wu-Ki. Group Theory in Physics. 1st. New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, 1985. ISBN 978-9971966577.
• Weyl, Hermann. Gruppentheorie und Quantenmechanik. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931. S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), 1928. ISBN 978-0-486-60269-1..
• Weyl, Hermann. The Classical Groups: Their Invariants and Representations. 2nd. Princeton University Press (reprinted 1997), 1946. ISBN 978-0-691-05756-9..
• Wigner, Eugene P. «On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group». Annals of Mathematics, 40, 1, 1939, p. 149–204. DOI: 10.2307/1968551..