Algebraline joon

Algebraline joon ehk tasandiline algebraline joon (ka algebraline kõver, tasandiline algebraline kõver) elementaarses mõttes on tasandiline joon, mille (ja ainult mille) punktide koordinaadid x, y rahuldavad mingit võrrandit

${\displaystyle F(x,y)=0,\,}$

kus F on kahe reaalarvulise muutujaga polünoom. Polünoomi F astet nimetatakse selle algebralise joone järguks (või astmeks).^[1]

Algebralisi jooni, mille järk on 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 või 8, nimetatakse vastavalt ka sirgeteks, koonikuteks ehk koonuselõigeteks, kuubikuteks, kvartikuteks, pentikuteks, sekstikuteks, septikuteks ja oktikuteks. Näiteks ühikringjoon on teist järku algebraline joon (koonik), sest selle saab anda võrrandiga x² + y² − 1 = 0.

Sageli modifitseeritakse algebralise joone mõistet nii, et algebraline joon sisaldab ka polünoomi F kompleksarvulisi juuri, s.o esindab ka kõiki kompleksarvude järjestatud paare, mis on eeltoodud võrrandi lahendid.

Tänapäeva algebralises geomeetrias räägitakse algebralistest joontest üldistatult mitte ainult reaalarvude korpuse, vaid mis tahes korpuse puhul. Tasandiline afiinne algebraline joon üle k defineeritakse kui üle korpuse k võetud polünoomide juurte hulk punktihulgas K², kus K on korpuse k algebraline sulund. Selle joone punkte, mille kõik koordinaadid kuuluvad korpusesse k, nimetatakse k-punktideks. Näiteks punkt ${\displaystyle (2,{\sqrt {-3}})}$ kuulub kompleksarvuliste juuri arvesse võtvasse ühikringjoonde, kuid ei kuulu selle reaalossa. Polünoom x² + y² + 1 annab algebralise joone, mille reaalosa on tühi.

Veel üldisemalt võib vaadelda algebralisi jooni, mis ei sisaldu mitte tasandil, vaid suurema mõõtmega ruumis või projektiivses ruumis. Osutub, et algebralise joone paljud omadused ei sõltu konkreetselt valitud sisestusest mingisse ruumi, ja see viib algebralise joone üldisema definitsioonini:

Algebraline joon on algebraline muutkond mõõtmega 1. Selle definitsiooni võib sõnastada ka nii: algebraline joon on algebraline muutkond, mille kõik alammuutkonnad koosnevad ühest punktist.

• Algebraline pind