Polinomio simétrico

En matemáticas, un polinomio simétrico es un polinomio en n variables ${\displaystyle P(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$, tal que si intercambia alguna de las variables el polinomio sigue siendo el mismo.

Los polinomios:

• ${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$
• ${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=4X_{1}X_{2}}$
• ${\displaystyle P(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}$

son todos simétricos. El polinomio ${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}-X_{2}}$ no es simétrico, ya que si intercambiamos ${\displaystyle X_{1}}$ y ${\displaystyle X_{2}}$ obtenemos el polinomio ${\displaystyle X_{2}-X_{1}}$, que no es el mismo.

Para cada n, existen n+1 polinomios simétricos elementales en las variables ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$. Son los ladrillos constituyentes para todos los polinomios simétricos en dichas variables, lo que quiere decir que todo polinomio simétrico en n variables puede obtenerse a partir de estos polinomios elementales mediante multiplicaciones y sumas. Más concretamente: cualquier polinomio simétrico en n variables es un polinomio de los n polinomios elementales simétricos en dichas variables. Por ejemplo, para n=2, sólo hay dos polinomios simétricos elementales, ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ y ${\displaystyle X_{1}X_{2}}$. El primer polinomio de la lista de arriba puede entonces escribirse como sigue:

${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=(X_{1}+X_{2})^{3}-3X_{1}X_{2}(X_{1}+X_{2})-7.}$

• Función simétrica - este término es empleado a veces para referirse a los polinomios simétricos.