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Chaflán (geometría)

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Cubo sin achaflanar, ligeramente achaflanado y achaflanado
Modelos de cristal históricos de sólidos platónicos ligeramente achaflanados

En geometría, el chaflán, achaflanado, biselado o truncamiento de aristas es un operador topológico que modifica un poliedro en otro. Es similar a la expansión, separando las caras de una figura hacia afuera, pero mantiene los vértices originales. Para poliedros, esta operación agrega una nueva cara hexagonal que sustituye a cada arista original.

En la notación de poliedros de Conway se representa con la letra c. Un poliedro con e aristas tendrá una forma achaflanada que contiene 2e vértices nuevos, y 3e aristas nuevas y e caras hexagonales nuevas.

Sólidos platónicos achaflanados o biselados

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En los apartados siguientes se describen en detalle los chaflanes de los cinco sólidos platónicos. Cada uno se muestra en una versión con aristas de igual longitud y en una versión canónica donde todas las aristas tocan la misma interesfera (solo se aprecian como notablemente diferentes en el caso de los sólidos que contienen triángulos). Los poliedros conjugados que se muestran son duales a las versiones canónicas.

Original
{3,3}

{4,3}

{3,4}

{5,3}

{3,5}
Achaflanado

Tetraedro achaflanado

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El tetraedro truncado tiene un aspecto similar, pero sus hexágonos corresponden a las 4 caras del tetraedro original, en vez de a sus 6 aristas
Tetraedro achaflanado

(Con todas las aristas de igual longitud)
Notación de Conway cT
Poliedro de Goldberg GPIII(2,0)= {3+,3}2,0
Caras 4 triángulos
6 hexágonos
Aristas 24 (2 tipos)
Vértices 16 (2 tipos)
Configuración de vértices (12) 3.6.6
(4) 6.6.6
Grupo de simetría Tetraédrico (Td)
Poliedro conjugado Triaquis tetratetraedro alternado
Propiedades Convexo, caras equiláteras

Desarrollo

El tetraedro achaflanado (o cubo truncado alternado) es un poliedro convexo construido mediante una operación de alternado de un cubo truncado o como el achaflanado de un tetraedro, reemplazando sus 6 aristas por hexágonos.

Es el poliedro de Goldberg GIII(2,0), que contiene caras triangulares y hexagonales.

Tetraedros achaflanados y sólidos relacionados

Tetraedro achaflanado (canónico)

Dual del tetratetraedro

Tetraedro achaflanado (canónico)

Triaquis tetratetraedro alternado

Octaedro

Triaquis tetratetraedro alternado

Cubo achaflanado

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El octaedro truncado es parecido, pero sus hexágonos corresponden a los 8 vértices del cubo, en lugar de a sus 12 aristas
Cubo achaflanado

(Con todas las aristas de igual longitud)
Notación de Conway cC= t4daC
Poliedro de Goldberg GPIV(2,0)= {4+,3}2,0
Caras 6 cuadrados
12 hexágonos
Aristas 48 (2 tipos)
Vértices 32 (2 tipos)
Configuración de vértices (24) 4.6.6
(8) 6.6.6
Simetría Oh, [4,3], (*432)
Th, [4,3+], (3*2)
Poliedro conjugado Tetraquis cuboctaedro
Propiedades Convexo, caras equiláteras

Desarrollo

El cubo achaflanado es un poliedro convexo con 32 vértices, 48 ​​aristas y 18 caras (12 hexágonos y 6 cuadrados). Se construye mediante el achaflanado de un cubo. Los cuadrados se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales sustituyendo a las aristas originales. Su dual es el tetraquis cuboctaedro.

También se le llama incorrectamente dodecaedro rómbico truncado, aunque ese nombre sugiere más bien un rombicuboctaedro. Se puede llamar con más precisión dodecaedro rómbico tetratruncado porque solo los vértices de orden 4 están truncados.

Las caras hexagonales son equiláteras pero no regulares. Están formadas por un rombo truncado, tienen 2 ángulos internos de unos 109,47° y 4 ángulos internos de unos 125,26°, mientras que un hexágono regular tendría todos los ángulos de 120°.

Como todas sus caras tienen un número par de lados con simetría de rotación de 180°, es un zonoedro. También es un poliedro de Goldberg GPIV(2,0) o {4+,3}2,0, que contiene caras cuadradas y hexagonales.

El cubo biselado es la suma de Minkowski de un dodecaedro rómbico y un cubo de lado 1 cuando ocho vértices del dodecaedro rómbico están en y sus seis vértices están en las permutaciones de .

Se puede construir un equivalente de topológico con simetría tetraédrica y caras rectangulares achaflanando los bordes axiales de un dodecaedro. Esta configuración es frecuente en los cristales de pirita.

Piritoedro original y con sus ejes auxiliares truncados
Modelos cristalográficos históricos
 
Octaedro achaflanado y sólidos relacionados

Cubo achaflanado (canónico)

Rombododecaedro

Octaedro achaflanado (canónico)

Tetraquis cuboctaedro

Cuboctaedro

Triaquis cuboctaedro

Octaedro achaflanado

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Octaedro achaflanado

(Con todas las aristas de igual longitud)
Notación de Conway cO= t3daO
Caras 8 triángulos
12 hexágonos
Aristas 48 (2 tipos)
Vértices 30 (2 tipos)
Configuración de vértices (24) 3.6.6
(6) 6.6.6
Simetría Oh, [4,3], (*432)
Poliedro conjugado Triaquis cuboctaedro
Propiedades Convexo

En geometría, el octaedro achaflanado es un poliedro convexo que se puede construir a partir de un rombododecaedro por truncado de sus 8 vértices de orden 3.

También se le puede llamar dodecaedro rómbico tritruncado, en referencia al mencionado truncado de los vértices de orden 3 del rombododecaedro.

Los 8 vértices se truncan de manera que todas las aristas tienen la misma longitud. Las 12 caras rómbicas originales se convierten en hexágonos planos y los vértices truncados se convierten en triángulos.

Las caras hexagonales son equiláteras pero no regulares.

Dibujos históricos de un cuboctaedro rómbico y de un octaedro biselado
Modelos históricos de un triaquis cuboctaedro y de un octaedro achaflanado

Dodecaedro achaflanado

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El icosaedro truncado tiene un aspecto similar, pero sus hexágonos corresponden a los 20 vértices del dodecaedro, en lugar de a sus 30 aristas
Dodecaedro achaflanado

(Con todas las aristas de igual longitud)
Notación de Conway cD]= t5daD= dk5aD
Goldberg polyhedron GV(2,0)= {5+,3}2,0
Fullereno C80[1]
Caras 12 pentágonos
30 hexágonos
Aristas 120 (2 tipos)
Vértices 80 (2 tipos)
Configuración de vértices (60) 5.6.6
(20) 6.6.6
Grupo de simetría Icosaédrica (Ih)
Poliedro conjugado Pentaquis icosidodecaedro
Propiedades Convexo, caras equiláteras

El dodecaedro achaflanado es un poliedro convexo con 80 vértices, 120 aristas y 42 caras: 30 hexágonos y 12 pentágonos. Se construye como un achaflanado de un dodecaedro regular. Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. Su dual es el pentaquis icosidodecaedro.

También se le llama incorrectamente triacontaedro rómbico truncado, aunque ese nombre sugiere más bien un rombicosidodecaedro. Se puede llamar con más precisión un triacontaedro rómbico pentatruncado porque solo los vértices de orden 5 están truncados.

Icosaedro achaflanado y sólidos relacionados

Dodecaedro achaflanado (canónico)

Triacontaedro rómbico

Icosaedro achaflanado (canónico)

Pentaquis icosidodecaedro

Icosidodecaedro

Triaquis icosidodecaedro

Icosaedro achaflanado

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Icosaedro achaflanado

(Con todas las aristas de igual longitud)
Notación de Conway cI= t3daI
Caras 20 triángulos
30 hexágonos
Aristas 120 (2 tipos)
Vértices 72 (2 tipos)
Configuración de vértices (24) 3.6.6
(12) 6.6.6
Simetría Ih, [5,3], (*532)
Poliedro conjugado Triaquis icosidodecaedro
Propiedades Convexo

En geometría, el icosaedro achaflanado es un poliedro convexo construido a partir del triacontaedro rómbico por truncado de los 20 vértices de orden 3. Las caras hexagonales pueden ser equiláteras pero no regulares.

También se le puede llamar triacontaedro rómbico tritruncado, en referencia a un truncamiento de los vértices de orden 3 del triacontaedro rómbico.

Teselados regulares achaflanados

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Teselados ​​regulares y cuasirregulares achaflanados

Teselado cuadrado, Q
{4,4}

Teselado triangular, Δ
{3,6}

Teselado hexagonal, H
{6,3}

Teselado rómbico, daH
dr{6,3}
cQ cH cdaH

Relación con los poliedros de Goldberg

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La operación de achaflanado aplicada en serie crea poliedros progresivamente más grandes con nuevas caras hexagonales que reemplazan las aristas de la figura original. El operador de achaflanado transforma GP(m,n) en GP(2m,2n).

Un poliedro regular, GP(1,0), crea una secuencia de poliedros de Goldberg: GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0) ...

GP(1,0) GP(2,0) GP(4,0) GP(8,0) GP(16,0)...
GPIV
{4+,3}

C

cC

ccC

cccC
GPV
{5+,3}

D

cD

ccD

cccD

ccccD
GPVI
{6+,3}

H

cH

ccH

cccH

ccccH

El octaedro truncado o el icosaedro truncado, GP(1,1) crean una secuencia de Goldberg: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....

GP(1,1) GP(2,2) GP(4,4)...
GPIV
{4+,3}

tO

ctO

cctO
GPV
{5+,3}

tI

ctI

cctI
GPVI
{6+,3}

tH

ctH

cctH

Un tetraquishexaedro o un pentaquisdodecaedro truncados, GP(3,0), crean una secuencia de Goldberg: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

GP(3,0) GP(6,0) GP(12,0)...
GPIV
{4+,3}

tkC

ctkC
cctkC
GPV
{5+,3}

tkD

ctkD
cctkD
GPVI
{6+,3}

tkH

ctkH
cctkH

Politopos biselados y panales

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Al igual que la operación de expansión, el achaflanado se puede aplicar a cualquier dimensión. Para polígonos, triplica el número de vértices. Para policoros, se crean nuevas celdas alrededor de los bordes originales. Las celdas son prismas que contienen dos copias de la cara original, con pirámides aumentadas en los lados del prisma.

Véase también

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Referencias

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  1. «C80 Isomers». Archivado desde el original el 12 de agosto de 2014. Consultado el 9 de agosto de 2014. 

Bibliografía

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Enlaces externos

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