Cero elevado a cero

Cero elevado a cero (denotado 0⁰) es una expresión matemática que se define como 1 o se deja indefinida, dependiendo del contexto. En álgebra y combinatoria, se suele definir como 1. En análisis matemático, a veces no se define. Los lenguajes de programación y los programas de ordenador también tienen formas diferentes de tratar esta expresión.

Muchas fórmulas ampliamente utilizadas que implican exponentes de números naturales requieren que 0⁰ se defina como 1. Por ejemplo, las tres interpretaciones siguientes de b⁰ tienen tanto sentido para b = 0 como para los enteros positivos b:

• La interpretación de b⁰ como producto vacío le asigna el valor 1;
• la interpretación combinatoria de b⁰ es el número de 0-tuplas de elementos de un conjunto de b-elementos; hay exactamente una 0-tupla;
• la interpretación en teoría de conjuntos de b⁰ es el número de funciones del conjunto vacío a un conjunto de b-elementos; existe exactamente una función de este tipo, a saber, la función vacía.

Los tres se particularizan en dar 0⁰ = 1.

Al evaluar polinomios, es conveniente definir 0⁰ como 1. Un polinomio (real) es una expresión de la forma a₀x⁰ + ⋅⋅⋅ + a_nxⁿ, donde x es una indeterminada, y los coeficientes a_i son números reales. Los polinomios se suman por términos y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas habituales para los exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo R[x].

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluadas reemplazando las variables por sus límites. Si la expresión resultante no determina el límite, la expresión es conocida como una forma indeterminada.^[1]​ De hecho, cuándo${\displaystyle f(t)}$ y ${\displaystyle g(t)}$ son funciones reales ambas con límite 0 cuando ${\displaystyle t}$ tiende a infinito y ${\displaystyle f(t)>0}$, la función ${\displaystyle f(t)^{g(t)}}$ no necesariamente se acerca a 1 cuando ${\displaystyle f(t)}$ y ${\displaystyle g(t)}$ tienden a 0. En ese caso, el límite de ${\displaystyle f(t)^{g(t)}}$ puede ser cualquier número real o puede divergir. Por ejemplo, las funciones de más abajo son de la forma ${\displaystyle f(t)^{g(t)}}$ con ${\displaystyle f(t)\to 0}$ y ${\displaystyle g(t)\to 0}$ cuando ${\displaystyle t\to 0^{+}}$pero los límites son diferentes:

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,}$

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{t}=0,}$

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{-t}=+\infty ,}$

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t}}}\right)^{at}=e^{-a}.}$

Así, la función de dos variable ${\displaystyle x^{y}}$ es continua en el dominio${\displaystyle \{(x,y):x>0\}}$ pero no se puede extender como función continua el dominio ${\displaystyle \{(x,y):x>0\}\cup \{(0,0)\}}$,^[2]​. Aun así, bajo ciertas condiciones, como cuándo ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son ambas funciones analíticas en cero y ${\displaystyle f}$ es positiva en el intervalo abierto ${\displaystyle (0,b)}$ para algún positivo ${\displaystyle b}$, el límite por la derecha en 0 siempre es 1.^[3]​^[4]​^[5]​

En los números complejos, la función ${\displaystyle z^{w}}$ puede ser definida para ${\displaystyle z}$ no nulo eligiendo una rama de ${\displaystyle \operatorname {log} \,z}$ y definiendo ${\displaystyle z^{w}}$ como ${\displaystyle e^{w\operatorname {log} \,z}}$. Esto no define ${\displaystyle 0^{w}}$ puesto que no hay ninguna rama de ${\displaystyle \operatorname {log} \,z}$ definida en 0.^[6]​^[7]​^[8]​

El debate sobre la definición de ${\displaystyle 0^{0}}$ viene desde al menos desde comienzos del siglo XIX. En aquel tiempo, la mayoría de los matemáticos estaba de acuerdo en que ${\displaystyle 0^{0}=1}$, hasta que en 1821 Cauchy^[9]​ listó ${\displaystyle 0^{0}}$ junto con las expresiones del tipo ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ en la tabla de formas indeterminadas. En el año 1830 en el Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja^[10]​^[11]​ publicó un argumento poco convincente de que ${\displaystyle 0^{0}=1}$, y Möbius^[12]​ a la par, erróneamente afirmó que ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1}$ siempre y cuando ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}$. Un comentarista quien firmó su nombre sencillamente tan solo con "S" proporcionó un contraejemplo con la función ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t}}$, y esto calmó el debate por algún tiempo. Más detalles históricos pueden encontrarse en Knuth (1992).^[13]​

Autores más recientes interpretan la situación de diferentes maneras:

• Algunos argumentan que el valor más adecuado para ${\displaystyle 0^{0}}$ depende del contexto. Según Benson (1999), "La elección de como definir ${\displaystyle 0^{0}}$ está basada en la conveniencia, no en la exactitud. [...] El consenso es utilizar la definición ${\displaystyle 0^{0}=1}$, a pesar de que hay libros de texto que creen que es conveniente no establecer una definición."^[14]​
• Otros argumentan que ${\displaystyle 0^{0}}$ debería ser definido como 1. Knuth (1992) afirma fuertemente que ${\displaystyle 0^{0}}$ "tiene que ser 1", resaltando una distinción entre el valor ${\displaystyle 0^{0}}$, el cual tiene que ser igual a 1, de acuerdo a lo dicho por Libri, y la forma límite ${\displaystyle 0^{0}}$ (una abreviatura para un límite de ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ cuando ${\displaystyle f(x),g(x)\to 0}$ ), la cual es necesariamente una forma indeterminada como fue dicho por Cauchy: "Ambos Cauchy y Libri dijeron lo correcto, pero Libri y sus defensores no entendieron por qué la verdad estaba de su lado."^[13]​ Vaughn da muchos ejemplos de teoremas cuyos enunciados requieren que ${\displaystyle 0^{0}=1}$ para ser expresados en forma sencilla.^[15]​

• sci.Matemática FAQ: Qué es 00?
• Qué 00 (cero al zeroth poder) igual? En Askamathematician.com