Nekalkulebla aro

En matematiko, nekalkulebla aro estas malfinia aro kiu enhavas tro multajn erojn por esti kalkulebla. La nekalkulebleco de aro estas proksime rilatanta al ĝia povo de aro (kardinalo): aro estas nekalkulebla se ĝia povo estas pli granda ol tiu de aro de ĉiuj naturaj nombroj.

Estas multaj ekvivalentaj karakterizadoj de nekalkulebleco. Aro X estas nekalkulebla se kaj nur se iu el jenaj kondiĉoj veras:

• Ne ekzistas enĵeto de X al la aro de naturaj nombroj.
• X estas nemalplena kaj ĉiu ω-vico de eroj de X malsukcesas inkluzivi almenaŭ unu eron de X. Tio estas, X estas nemalplena kaj estas ne surĵeto de la naturaj nombroj al X.
• Kardinalo de X estas nek finia nek egala al ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-nula, la kardinalo de la naturaj nombroj).
• Kardinalo de X estas severe pli granda ol ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

La unuaj tri el ĉi tiuj karakterizadoj povas esti pruvitaj al esti ekvivalentaj en aroteorio de Zermelo-Fraenkel sen la aksiomo de elekto, sed la ekvivalenteco de la tria kaj kvara ne povas esti pruvita sen aldonaj elektaj principoj.

• Se nekalkulebla aro X estas subaro de aro Y, do Y estas nekalkulebla.
• Kunaĵo de du aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro. Plu, kunaĵo de ajna aro de aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro.
• Diferenco de nekalkulebla aro kaj kalkulebla aro estas nekalkulebla aro.
• Kartezia produto de du ne malplenaj aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro. Plu, (alprenante aksiomon de elekto) kartezia produto de ajna aro de ne malplenaj aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nekalkulebla aro, estas nekalkulebla aro.

La plej bona sciata ekzemplo de nekalkulebla aro estas la aro R de ĉiuj reelaj nombroj; diagonala argumento de Cantor montras ke ĉi tiu aro estas nekalkulebla. La diagonala pruva maniero povas esti uzata ankaŭ por montri ke kelkaj aliaj aroj estas nekalkuleblaj, inter ili la aro de ĉiuj malfiniaj vicoj de naturaj nombroj; kaj eĉ la aro de ĉiuj malfiniaj vicoj konsistantaj nur el 0 kaj 1; kaj la aro de ĉiuj subaroj de la aro de naturaj nombroj. La kardinalo de R estas la kardinalo de kontinuumo kaj skribata kiel c aŭ ${\displaystyle \beth _{1}}$ aŭ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.

Aro C de ĉiuj kompleksaj nombroj kaj ĉiu aro Rⁿ de ĉiuj punktoj de n-dimensia eŭklida spaco estas nekalkuleblaj. Ĉi tio estas ĉar ĉiu el la aroj estas kartezia produto de pluraj kopioj de nekalkulebla aro R.

Aro de ĉiuj neracionalaj nombroj estas nekalkulebla. Ĉi tio estas ĉar ĝi estas diferenco de nekalkulebla aro R kaj kalkulebla aro Q; kie Q estas aro de ĉiuj racionalaj nombroj.

Aro de ĉiuj transcendaj nombroj estas nekalkulebla. Ĉi tio estas ĉar ĝi estas diferenco de nekalkulebla aro C kaj kalkulebla aro de ĉiuj algebraj nombroj.

La aro de Kantor estas nekalkulebla subaro de R. La aro de Kantor estas fraktalo kaj havas dimension de Hausdorff pli grandan ol 0 sed malpli grandan ol 1 (R havas dimension 1). Ĉi tio estas ekzemplo de tio ke ĉiu subaro de R de dimensio de Hausdorff severe pli granda ol 0 devas esti nekalkulebla.

Alia ekzemplo de nekalkulebla aro estas la aro de ĉiuj funkcioj de R al R. Ĉi tiu aro estas eĉ pli granda ol R, kardinalo de ĉi tiu aro estas ${\displaystyle \beth _{2}=2^{\beth _{1}}}$ (beth-du), kiu estas pli granda ol ${\displaystyle \beth _{1}}$.

Pli abstrakta ekzemplo de nekalkulebla aro estas la aro de ĉiuj kalkuleblaj ordaj numeroj, skribata kiel Ω (omego) aŭ ω₁. La kardinalo de Ω estas ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (alef-unu). Povas esti montrite, uzante la aksiomon de elekto, ke ${\displaystyle \aleph _{1}}$ estas la plej malgranda nekalkulebla kardinalo. Tial la kardinalo de la reelaj nombroj ${\displaystyle \beth _{1}}$ estas egala al aŭ severe pli granda ol ${\displaystyle \aleph _{1}}$. Sub la kontinuumo-hipotezo ili egalas inter si, ${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$.

Sen la aksiomo de elekto, tie povas ekzisti kardinaloj nekompareblaj al ${\displaystyle \aleph _{0}}$, konkrete, la kardinaloj de dedekindo-finiaj malfiniaj aroj. Aroj de ĉi tiuj kardinaloj kontentigas la unuajn tri karakterizadojn donitajn pli supre sed ne la kvaran karakterizadon. Ĉar ĉi tiuj aroj ne estas pli grandaj ol la aro de ĉiuj naturaj nombroj en la senco de kardinalo, oni povas ne deziri nomi ilin kiel nekalkuleblaj.

Se la aksiomo de elekto veras, jenaj kondiĉoj pri ĉiu kardinalo κ estas ekvivalentaj:

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0}}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0}}$
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$, kie ${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$ kaj ω₁ estas la plej malgranda komenca orda numero pli granda ol ω

Tamen, ĉi tiuj kondiĉoj povas ĉiuj esti ne ekvivalentaj inter si se la aksiomo de elekto mankas. Tiel estas ne evidente kiu estas la adekvata koncepto de nekalkulebleco se la aksiomo de elekto mankas. Povas esti plej bone eviti uzon de la vorto en ĉi tiu okazo kaj precizigi iun el ĉi tiuj signifoj.

• Natura nombro
• Alef-nombro
• Beth-nombro
• Kalkulebla aro
• Kardinalo de kontinuumo
• kontinuumo-hipotezo
• Aksiomo de elekto

• Pruvo ke R estas nekalkulebla