Intervalo (matematiko)

Intervalo estas la subaro de aro kun parta ordo entenanta ĉiujn elementojn inter ĝiaj komenco kaj fino, kiuj estas du (antaŭelektitaj) elementoj de la origina aro.

Estu ${\displaystyle (X,\preccurlyeq )}$ aro kun parta ordo, kaj ${\displaystyle -\infty ,\infty }$ estu du elementoj de ${\displaystyle X}$. Ekstendu la ordon ${\displaystyle \preccurlyeq }$ ĝis ${\displaystyle X\cup \{-\infty ,\infty \}}$ tiel, ke la elemento ${\displaystyle \infty }$ estu pli granda ol ĉiuj elementoj de la aro ${\displaystyle X}$ kaj ke la elemento ${\displaystyle -\infty }$ estu malplej granda ol ĉiaj elementoj de la aro ${\displaystyle X}$.

Por ${\displaystyle x,y\in X\cup \{-\infty ,\infty \}}$ tiel, ke ${\displaystyle x\prec y}$ oni difinas sekvajn aroj, kiuj nomas intervalo, kiuj estas difinata per ${\displaystyle x,y}$:

• ${\displaystyle (x,y)=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}}$ – malfermita intervalo (duflanke malfermita intervalo),
• ${\displaystyle [x,y)=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}}$ – maldekstre fermita intervalo (dekstre malfermita intervalo),
• ${\displaystyle (x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}}$ – dekstre fermita intervalo (maldekstre malfermita intervalo).
• ${\displaystyle [x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}}$ – fermita intervalo (duflanke fermita intervalo),

Kelkaj aŭtoroj uzas formon ${\displaystyle (x,y)_{X}}$, ${\displaystyle [x,y]_{X}}$ ktp. por signi, ke intervalo estas en difinita ordo. Foje anstataŭ ${\displaystyle [x,y]}$ oni skribas ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ kaj analoge por unuflankaj intervaloj.

Rimarku, ke la nocio de intervalo ${\displaystyle (x,y)}$ kaj ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ estas malsama ol la signifo de orda duopo.

Internacia normo ISO31-11 difinas sekvajn signifojn: ${\displaystyle x,y}$:

• ${\displaystyle ]x,y[=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}}$ ,
• ${\displaystyle [x,y[=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}}$ ,
• ${\displaystyle [x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}}$ ,
• ${\displaystyle ]x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}}$ .

Plej ofte en intervalo estas uzata lineara ordo; en ĉi tia ordo intervaloj havas sekvajn ecojn:

• Komunaĵo de du intervaloj estas intervalo.
• Komplemento de intervalo estas intervalo aŭ kunaĵo du aroj.
• Kunaĵo de du aroj, kiuj havas nemalplenan komunaĵon estas intervalo.
• Malfermaj intervaloj en X kreas bazon de ia topologio en X.