Homogena funkcio

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

${\displaystyle f:V\rightarrow W\qquad \qquad }$

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo ${\displaystyle F\qquad \qquad }$.

Ni diru, ke ${\displaystyle f\qquad \qquad }$ estas homogena de grado ${\displaystyle k\qquad \qquad }$, se la ekvacio

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (*)}$

veras por ĉiuj ${\displaystyle \alpha \in F\qquad \qquad }$ kaj ${\displaystyle \mathbf {v} \in V\qquad \qquad }$.

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$

Plurlineara funkcio ${\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W\qquad \qquad }$ estas homogena de grado n:

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$

Funkcio

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\qquad \qquad }$

kiu estas homogena de grado ${\displaystyle k\qquad \qquad }$, havas partajn derivaĵojn de grado ${\displaystyle k-1\qquad \qquad }$. Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad }$

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$

Pruvo

Estu ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, trovu derivaĵon de

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )}$

je ${\displaystyle \alpha }$. Laŭ ĉena regulo estas

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )}$,

kaj do

${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} )+\cdots +y_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )}$.

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

${\displaystyle \mathbf {y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)}$,

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti ${\displaystyle \alpha =1}$.

Pli ĝenerale, funkcio ${\displaystyle f\qquad \qquad }$ estas nomata homogena, se la ekvacio ${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=g(\alpha )f(\mathbf {v} )\qquad \qquad }$ veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio ${\displaystyle g\qquad \qquad }$.

Foje funkcio veriganta ${\displaystyle (*)\qquad \qquad }$ por ĉiu pozitiva ${\displaystyle \alpha \qquad \qquad }$ nomiĝas pozitive homogena (ĉi tio postulas, ke la kampo ${\displaystyle F\qquad \qquad }$ estu ${\displaystyle \mathbb {R} \qquad \qquad }$; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

• [1]