Hiperbola spaco

En matematiko, hiperbola n-spaco, s Hⁿ, estas la maksimume simetria, simple koneksa, n-dimensia rimana sternaĵo kun konstanta sekcia kurbeco -1. Ĝi estas la negative kurbeca analogo de la n-sfero.

Kvankam hiperbola spaco Hⁿ estas difeomorfa al eŭklida spaco Rⁿ ĝia negativa kurbeca metriko donas ĝi tre malsamajn geometriajn propraĵojn.

Hiperbola 2-spaco, H² estas hiperbola ebeno.

Hiperbola spaco estas la ĉefa speco de spaco en hiperbola geometrio.

Hiperbola spaco, ellaborita sendepende de Lobaĉevskij kaj Bolyai, estas geometria spaco analoga al eŭklida spaco, sed tia ke la eŭklida 5-a postulato ne estas tie alprenita. Anstataŭe, estas prenita jena alternativa postulo (en du dimensioj):

• Por ĉiu donita rekto L kaj punkto P ne sur L, estas minimume du malsamaj rektoj tra P kiuj ne sekcas L.

Pli severe, malmulte pli limiga kondiĉo estas necesa por unikeco de la hiperbola ebeno: Estas akurate du tiaj rektoj kiuj estas asimptote paralelaj al L.

Hiperbola spaco estis konstruita por modeli ĉi tiun ŝanĝon de eŭklida geometrio. La ekzisto de modelita spaco implicas ke la 5-a postulato estas logike sendependa de la aliaj aksiomoj de eŭklida geometrio.

Estas kelkaj gravaj modeloj de hiperbola spaco: la modelo de Klein, la hiperboloida modelo, kaj la modelo de Poincaré. Ili ĉiua modelas la saman geometrion en la senco la modelaĵoj de diversaj modeloj povas esti rilatantaj per transformo kiu konservas ĉiujn geometriajn propraĵojn de la spaco. Ili estas izometriaj.

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Hiperboloida modelo.

La unua modelo komprenas hiperbolan spacon kiel hiperboloido en Rⁿ⁺¹ = {(x₀, ..., x_n)|x_i∈R, i=0, 1, ..., n}. La hiperboloido estas la situo Hⁿ de punktoj kies koordinatoj kontentigas kondiĉon

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0}$

En ĉi tiu modelo la rekto estas geodezia, la kurbo eltranĉata per sekco de Hⁿ per ebeno tra la (0, 0, ..., 0) en Rⁿ⁺¹.

La hiperboloida modelo estas proksime rilatanta al la geometrio de spaco de Poincaré. La kvadrata formo

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}}$

kiu difinas la hiperboloidon polarizas por doni la dulinearan funkcion B difinitan kiel

${\displaystyle B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}.}$

La spaco Rⁿ⁺¹, kun la dulineara funkcio B estas (n+1)-dimensia spaco de Minkowski R^{n, 1}.

Tiel oni povas doni nocion de la distanco al la hiperboloida modelo, per difino de la distanco inter du punktoj x kaj y sur H kiel

d(x, y) = arcosh(B(x, y))

Ĉi tiu funkcio kontentigas la aksiomojn de metrika spaco. Ankaŭ, ĝi estas konservata per la ago de la lorenca grupo sur R^{n, 1}. Tiel la lorenca grupo agas kiel transforma grupo de izometrioj sur Hⁿ. Estas simileco de ĉi tiu distanco de distanco kun la elipsa geometrio (ĥorda metriko) sur sfero, kiu uzas trigonometrian funkcion anstataŭ la hiperbola funkcio.

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Modelo de Klein.

Alternativa modelo de hiperbola geometrio estas sur certa malfermita aro en projekcia spaco. La kvadrata formo de Minkowski Q difinas subaron Uⁿ ⊂ RPⁿ donitan kiel situo de punktoj por kiu Q(x) > 0 en la homogenaj koordinatoj x. La domajno Uⁿ estas la modelo de Klein aŭ modelo de Beltrami-Klein de hiperbola spaco.

La rektoj en ĉi tiu modelo estas la malfermitaj segmentoj de la ĉirkaŭa projekcia spaco kiuj kuŝas) en Uⁿ. La distanco inter du punktoj x kaj y en Uⁿ estas difinita per

${\displaystyle d(x,y)=\operatorname {arccosh} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}\right)}$

Ĝi estas bone-difinita sur projekcia spaco, pro tio ke la rilatumo sub la inversa hiperbola kosinuso estas homogena de grado 0.

Ĉi tiu modelo estas rilatanta al la hiperboloida modelo en la sekva maniero. Ĉiu punkto x ∈ Uⁿ respektivas al rekto L_x tra la fonto en Rⁿ⁺¹, per la difino de projekcia spaco. Ĉi tiu linio sekcas la hiperboloidon Hⁿ en unika punkto. Reen, tra ĉiu punkto sur Hⁿ kaj tra la fonto estas unika rekto, kiu estas punkto en la projekcia spaco. Ĉi tiu rilato difinas reciproke unuvaloran surĵeton inter Uⁿ kaj Hⁿ. Ĝi estas izometrio pro tio ke komputado de d(x, y) laŭ Q(x) = Q(y) = 1 reproduktas la difinon de la distanco donita por la hiperboloida modelo.

Aliaj proksime rilatantaj modeloj de hiperbola geometrio estas la pilka modelo de Poincaré kaj la duonspaca modelo de Poincaré. En 2-dimensia okazo ili estas respektive diska modelo de Poincaré kaj duonebena modelo de Poincaré

La pilka modelo venas de rektlinia sfera projekcio de la hiperboloido en Rⁿ⁺¹ sur la ebeno {x₀ = 0}. Detale, estu S la punkto en R^{n, 1} kun koordinatoj (-1, 0, 0, ... ,0): la suda poluso por la rektlinia sfera projekcio. Por ĉiu punkto P sur la hiperboloido Hⁿ, estu P^* la unika punkto de intersekco de la rekto SP kun la ebeno {x₀ = 0}. Ĉi tiu establas dissurĵeton de Hⁿ en la unuan pilkon

${\displaystyle B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<1\}}$

en la ebeno {x₀ = 0}.

La geodeziaj en ĉi tiu modelo estas duoncirkloj kiuj estas perpendikularo al la randa sfero de B_n. Izometrioj de la pilko estas generitaj per sfera inversigo en hipersfero perpendikulara al la rando.

La duonspacaj modelaj rezultas de apliko de inversigo en punkto de la rando de Bⁿ. Ĉi tiu sendas cirklojn al cirkloj kaj rektoj, kaj estas ankaŭ konforma transformo. Sekve la geodeziaj de la duonspaca modelo estas rektoj kaj cirkloj perpendikularaj al la randa hiperebeno.

Ĉiu kompleta, koneksa, simple-koneksa sternaĵo de konstanta negativa kurbeco -1 estas izometria al la reela hiperbola spaco Hⁿ. Kiel rezulto, la universala kovro de ĉiu fermita sternaĵo M de konstanto negativa kurbeco −1, kiu estas hiperbola sternaĵo, estas Hⁿ. Tial, ĉiu ĉi tia M povas esti skribita kiel Hⁿ/Γ kie Γ estas tordeco-libera diskreta grupo de izometrioj sur Hⁿ. Tio estas ke Γ estas krado en SO⁺(n, 1).

Du-dimensiaj hiperbolaj surfacoj povas ankaŭ esti komprenitaj per la rimanaj surfacoj. Laŭ la samformiga teoremo, ĉiu rimana surfaco estas elipsa, parabola aŭ hiperbola. Plejparto de hiperbolaj surfacoj havas ne-bagatelan fundamentan grupon ${\displaystyle \pi _{1}=\Gamma }$; la grupoj kiu aperas tiel estas sciataj kiel grupoj de Fuchsian. La kvocienta spaco H/Γ de la supra duonebeno module la fundamenta grupo estas la modelo de Fuchsian de la hiperbola surfaco. La duonebeno de Poincaré estas ankaŭ hiperbola, sed estas simple koneksa kaj nekompakta. Ĝi estas la universala kovro de la aliaj hiperbolaj surfacoj.

La analoga konstruado por tri-dimensiaj hiperbolaj surfacoj estas la modelo de Klein.

• Sfero - sternaĵo kun pozitiva kurbeco
• Eŭklida spaco - sternaĵo kun nula kurbeco
• Spaco de Minkowski
• Hiperbola sternaĵo
• Hiperbola ebeno
• Hiperbola 3-sternaĵo