Ιδεώδες (μαθηματικά)

Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί. Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 26/05/2015.

Στη θεωρ��α δακτυλίων, ιδεώδες είναι ένα ειδικό υποσύνολο του δακτυλίου.

Έστω ${\displaystyle ({\mathcal {R}},+,\cdot }$) δακτύλιος και ${\displaystyle I}$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το ${\displaystyle I}$ θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες, αγγλικά: Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως ${\displaystyle I\triangleleft {\mathcal {R}}}$ αν ισχύουν τα εξής:

• ${\displaystyle a-b\in I}$ για κάθε ${\displaystyle a,b\in I}$, δηλαδή το ${\displaystyle I}$ αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου

• ${\displaystyle r\cdot a\in I}$ και ${\displaystyle a\cdot r\in I}$, για κάθε ${\displaystyle r\in {\mathcal {R}},a\in I}$
• Υπάρχει ${\displaystyle a\neq 0}$ στο ${\displaystyle I}$
• Υπάρχει ${\displaystyle d\neq 0}$ στο ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ τέτοιο ώστε να ισχύει ${\displaystyle dI\subset {\mathcal {R}}}$

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες ${\displaystyle I}$ του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ αποτελεί ιδεώδες.

Έστω ${\displaystyle ({\mathcal {R}},+,\cdot }$) δακτύλιος και ${\displaystyle M\neq {\mathcal {R}}}$ ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (αγγλικά: maximal ideal) αν για κάθε ${\displaystyle I\triangleleft R}$ με ${\displaystyle M\subset I\subset {\mathcal {R}}}$ έπεται ότι ${\displaystyle I=M}$ ή ${\displaystyle I={\mathcal {R}}}$.^[1]

Έστω ${\displaystyle ({\mathcal {R}},+,\cdot }$) δακτύλιος και ${\displaystyle {\mathcal {P}}\neq {\mathcal {R}}}$ ένα ιδεώδες του. Το ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (αγγλικά: prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

• Αν ${\displaystyle ab\in {\mathcal {P}}}$ τότε είτε ${\displaystyle a\in {\mathcal {P}}}$ είτε ${\displaystyle b\in {\mathcal {P}}}$.

Προκύπτει ότι κάθε μεγιστικό ιδεώδες του ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ είναι πρώτο.

• Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο ${\displaystyle \{0_{R}\}}$

• Έστω ${\displaystyle F:R\rightarrow S}$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

• Το σύνολο ${\displaystyle \{ra;r\in R\}}$ είναι ένα ιδεώδες του ${\displaystyle R}$ που περιέχει το ${\displaystyle a}$.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο και συμβολίζεται με ${\displaystyle <a>}$.

• Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες ${\displaystyle <p>}$ του ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ είναι πρώτο και μέγιστο.

• Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη