Εμβαδόν τριγώνου

Στην γεωμετρία, ο υπολογισμός του εμβαδού ${\displaystyle {\rm {E}}}$ ενός τριγώνου είναι ένα στοιχειώδες πρόβλημα για το οποίο υπάρχουν διάφοροι τύποι. Ο πιο γνωστός και απλός τύπος είναι:

${\displaystyle {\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot \upsilon }$,

όπου το ${\displaystyle b}$ είναι το μήκος μιας πλευράς (βάσης) του τριγώνου, και ${\displaystyle \upsilon }$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή την πλευρά. Ο όρος βάση σημαίνει οποιαδήποτε πλευρά και το ύψος υποδηλώνει το μήκος μίας κάθετου από την κορυφή απέναντι από την πλευρά μέχρι την ίδια την πλευρά. Το 499 μ.Χ ο Αριαμπάτα, ένας μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος από την κλασσική εποχή των μαθηματικών και της αστρονομίας στην Ινδία, χρησιμοποίησε αυτή την μέθοδο στο έργο του Αραμπατίγια (ενότητα 2.6).^[1] Ο τύπος αυτός είναι χρήσιμος μόνο εάν μπορεί να υπολογιστεί εύκολα το ύψος. Αυτό στην πράξη είναι δύσκολο, π.χ. ο ιδιοκτήτης ενός τριγωνικού κτήματος μπορεί να μετρήσει την πλευρά, όχι όμως το ύψος. Έτσι βρέθηκαν διάφοροι τύποι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν, ανάλογα με το τί είναι γνωστό σχετικά με το τρίγωνο. Παρακάτω δίνονται κάποιοι από τους πιο γνωστούς τύπους για το εμβαδόν.^[2]

Το ύψος ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τριγωνομετρία. Με ${\displaystyle \alpha }$ συμβολίζουμε την πλευρά απέναντι από τη γωνία ${\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}$, με ${\displaystyle \beta }$ αυτήν απέναντι της ${\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}$ και με ${\displaystyle \gamma }$ αυτήν απέναντι της ${\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}$. Από το σχήμα δεξιά, το ύψος προς την πλευρά ${\displaystyle \alpha }$ σχηματίζει δύο ορθογώνια τρίγωνα. Έτσι το ${\displaystyle u_{\rm {A}}}$ μπορεί να υπολογιστεί από τα ${\displaystyle \alpha ,{\hat {\rm {\Gamma }}}}$ (ή τα ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}},\gamma }$). Π.χ. στο αριστερό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι ${\displaystyle u_{\rm {A}}=\gamma \cdot \sin {\rm {\Gamma }}}$. Αντικαθιστώντας αυτό στον τύπο ${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot u}$, το εμβαδό του τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από τις πλευρές ${\displaystyle \alpha ,\gamma }$ και την περιεχόμενη γωνία ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}}$. Πιο γενικά,

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}={\frac {1}{2}}\cdot \beta \gamma \cdot \sin {\hat {\rm {A}}}={\frac {1}{2}}\cdot \gamma \alpha \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}$.

Καθώς ${\displaystyle \sin {\hat {\rm {A}}}=\sin(\pi -{\hat {\rm {A}}})=\sin({{\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}})}$ (και ομοίως για τις άλλες δύο γωνίες) μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ${\displaystyle {\rm {E}}}$ από δύο πλευρές ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ και τις απέναντί τους γωνίες ${\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}$:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot \sin({{\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}}})={\frac {1}{2}}\cdot \beta \gamma \cdot \sin({{\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}})={\frac {1}{2}}\cdot \gamma \alpha \cdot \sin({\hat {\rm {\Gamma }}}+{\hat {\rm {A}}})}$.

Αν γνωρίζουμε την πλευρά ${\displaystyle \beta }$, την απέναντι γωνία ${\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}$ και την προσκείμενη γωνία ${\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}$ (ή ${\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}$):

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\beta ^{2}(\sin {\hat {\rm {A}}})(\sin({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}}))}{2\sin {\hat {\rm {B}}}}}}$,

και αναλόγως εάν είναι γνωστά η πλευρά ${\displaystyle \alpha }$ ή η ${\displaystyle \beta }$.

Αν γνωρίζουμε την πλευρά ${\displaystyle \alpha }$ και τις προσκείμενες γωνίες ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}},{\hat {\Gamma }}}}}$:^[3]

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha ^{2}}{2(\cot {\hat {\rm {B}}}+\cot {\hat {\rm {\Gamma }}})}}={\frac {\alpha ^{2}(\sin {\hat {\rm {B}}})(\sin {\hat {\rm {\Gamma }}})}{2\sin({\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}})}}}$,

και όμοια αν η γνωστή πλευρά είναι η ${\displaystyle \beta }$ ή η ${\displaystyle \gamma }$.

Το σχήμα του τριγώνου καθορίζεται από τα μήκη των πλευρών και μόνο. Το εμβαδό επίσης μπορεί να υπολογιστεί από τα μήκη των πλευρών χρησιμοποιώντας τον τύπος του Ήρωνα:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}$,

όπου ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}$ είναι η ημιπερίμετροςτου τριγώνου. Τρεις άλλοι ισοδύναμοι τρόποι γραφής του τύπου του Ήρωνα είναι:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})^{2}-2(\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})}}}$,

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2})-(\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})}}}$,

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha +\beta -\gamma )\cdot (\alpha -\beta +\gamma )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma )\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}}$.

το εμβαδόν ενός παραλληλόγραμμου σε έναν τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας διανύσματα. Έστω διανύσματα ${\displaystyle {\vec {\rm {AB}}}}$ και ${\displaystyle {\vec {\rm {A\Gamma }}}}$, από το σημείο ${\displaystyle {\rm {A}}}$ στο ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και από το ${\displaystyle {\rm {A}}}$ στο ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ αντίστοιχα. Τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι

${\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}=|{\vec {\rm {AB}}}\times {\vec {\rm {A\Gamma }}}|}$,

το οποίο είναι το μέτρο του εξωτερικού γινομένου των διανυσμάτων ${\displaystyle {\vec {\rm {AB}}}}$ και ${\displaystyle {\vec {\rm {A\Gamma }}}}$. Το εμβαδόν του τριγώνου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι το μισό αυτού,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}|{\vec {\rm {AB}}}\times {\vec {\rm {A\Gamma }}}|.}$

Η περιοχή του τριγώνου ABC μπορεί επίσης να εκφραστεί όσον αφορά ένα σημείο ως εξής:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {({\vec {\rm {AB}}}\cdot {\vec {\rm {AB}}})({\vec {\rm {A\Gamma }}}\cdot {\vec {A\Gamma }})-({\vec {\rm {AB}}}\cdot {\vec {\rm {A\Gamma }}})^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|{\vec {\rm {AB}}}|^{2}|{\vec {\rm {A\Gamma }}}|^{2}-({\vec {\rm {AB}}}\cdot {\vec {\rm {A\Gamma }}})^{2}}}.\,}$

Σε έναν Ευκλείδειο χώρο δύο-διαστάσεων, αν εκφράσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος ${\displaystyle {\vec {\rm {AB}}}}$ ως ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ και το ${\displaystyle {\vec {\rm {A\Gamma }}}}$ ως ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να γραφεί ως:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}$.

Εάν η κορυφή Α βρίσκεται στο σημείο (0, 0) ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και δίνονται οι συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών ${\displaystyle {\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}})}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }})}$, τότε η περιοχή είναι το ¹⁄₂ της απόλυτης τιμής της ορίζουσας των συντεταγμένων:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{\rm {B}}y_{\rm {\Gamma }}-x_{\rm {\Gamma }}y_{\rm {B}}|.}$

Για τρεις κορυφές, η εξίσωση είναι:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{\rm {A}}&x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\y_{\rm {A}}&y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{\rm {A}}y_{\rm {B}}-x_{\rm {A}}y_{\rm {\Gamma }}+x_{\rm {B}}y_{\rm {\Gamma }}-x_{\rm {B}}y_{\rm {A}}+x_{\rm {\Gamma }}y_{\rm {A}}-x_{\rm {\Gamma }}y_{\rm {B}}{\big |},}$

όπου μπορεί να γραφεί σαν:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{\rm {A}}-x_{\rm {\Gamma }})(y_{\rm {B}}-y_{\rm {A}})-(x_{\rm {A}}-x_{\rm {B}})(y_{\rm {\Gamma }}-y_{\rm {A}}){\big |}.}$

Εάν οι κορυφές λαμβάνονται κυκλικά κατά τη θετική (αντίθετη ων δεικτών του ωρολογίου) φορά, οι παραπάνω ορίζουσες είναι θετικές και η απόλυτες τιμές μπορεί να παραληφθεί.^[4]

Εάν οι κορυφές λαμβάνονται κυκλικά κατά τη θετική (αντίθετη ων δεικτών του ωρολογίου) φορά στο μιγαδικό επίπεδο με ${\displaystyle {\rm {A}}=x_{\rm {A}}+y_{\rm {A}}i}$, ${\displaystyle {\rm {B}}=x_{\rm {B}}+y_{\rm {B}}i}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}=x_{\rm {\Gamma }}+y_{\rm {\Gamma }}i}$ και αν ${\displaystyle {\bar {\rm {A}}}}$, ${\displaystyle {\bar {\rm {B}}}}$, ${\displaystyle {\bar {\rm {\Gamma }}}}$, δηλώνουν τα συζυγή τους, έχουμε τον τύπο:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}{\rm {A}}&{\bar {\rm {A}}}&1\\{\rm {B}}&{\bar {\rm {B}}}&1\\{\rm {\Gamma }}&{\bar {\rm {\Gamma }}}&1\end{vmatrix}}}$,

όπου είναι ισοδύναμο με τον προηγούμενο τύπο. Στις τρεις διαστάσεις, το εμβαδό ενός τριγώνου ${\displaystyle {\rm {A}}=(x_{\rm {A}},y_{\rm {A}},z_{\rm {A}})}$, ${\displaystyle {\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}},z_{\rm {B}})}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }},z_{\rm {\Gamma }})}$ είναι το πυθαγόρειο άθροισμα των εμβαδών των προβολών του τριγώνου στα τρία βασικά επίπεδα (δηλ x = 0, y = 0 και z = 0)):

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\det {\begin{pmatrix}x_{\rm {A}}&x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\y_{\rm {A}}&y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|^{2}+\left|\det {\begin{pmatrix}y_{\rm {A}}&y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\\z_{\rm {A}}&z_{\rm {B}}&z_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|^{2}+\left|\det {\begin{pmatrix}z_{\rm {A}}&z_{\rm {B}}&z_{\rm {\Gamma }}\\x_{\rm {A}}&x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|^{2}}}.}$

Το εμβαδό περιοχής που περικλείεται από μία κλειστή καμπύλη, όπως το τρίγωνο, δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γύρω από την καμπύλη, δηλ. της αλγεβρικής (με πρόσημο) απόστασης ενός σημείου, που κινείται επάνω στην καμπύλη, από μια αυθαίρετα προσανατολισμένη ευθεία L. Αν το σημείο κινείται κυκλικά κατά τη θετική (αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου) φορά τότε τα σημεία που είναι δεξιά της L έχουν θετική απόσταση (ενώ αυτά που είναι αριστερά της έχουν αρνητική). Το βάρος για το ολοκλήρωμα λαμβάνεται να είναι η συνιστώσα του μήκους τόξου προς την L και όχι το ίδιο το μήκος τόξου.

Αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πολύγωνου. Ας λάβουμε για L να είναι ο x-άξονας. Το βάρος θα είναι η προβολή της πλευράς στον χ-άξονα. Το γραμμικό ολοκλήρωμα μεταξύ των διαδοχικών κορυφών (x_i,y_i) και (x_i+1,y_i+1) δίνεται από τη βάση επί το μέσο ύψος, δηλαδή (x_i+1 − x_i)(y_i + y_i+1)/2. Το πρόσημο του εμβαδού είναι θετικό αν τα σημεία έχουν δεξιά τον χ-άξονα και αρνητικό αν τον έχουν αριστερά. Το εμβαδό του τριγώνου προκύπτει ως περίπτωση ενός πολυγώνου με τρεις πλευρές.

Ενώ η μέθοδος του επικαμπύλιου ολοκληρώματος έχει κοινό με άλλες μεθόδους συντεταγμένων την αυθαίρετη επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, ωστόσο δεν κάνει αυθαίρετη επιλογή της κορυφής του τριγώνου ως αρχής ή της πλευράς ως βάση. Επιπλέον, η επιλογή του συστήματος συντεταγμένων που ορίζεται από την L επιτρέπει μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας και όχι τρεις που είναι συνήθως, αφού το βάρος είναι τοπική απόσταση (π.χ. x_i+1 − x_i στην ανωτέρω) όπου η μέθοδος δεν απαιτεί την επιλογή ενός άξονα κάθετο προς L.

Όταν εργαζόμαστε σε πολικές συντεταγμένες δεν είναι απαραίτητο να μετατραπούν σε καρτεσιανές συντεταγμένες για να χρησιμοποιήσουμε επικαμπύλια ολοκληρώματα, δεδομένου ότι το γρμμικό ολοκλήρωμα μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών (r_i,θ_i) και (r_i+1,θ_i+1) ενός πολύγωνου δίνεται απευθείας από r_ir_i+1sin(θ_i+1 − θ_i)/2 . Αυτό ισχύει για όλες τις τιμές του θ, με κάποια μείωση στην αριθμητική ακρίβεια όταν το | θ | είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από το π. Το αρνητικό εμβαδό δείχνει ότι η κυκλική κατεύθυνση ήταναρνητική, η οποία πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά την ανάμιξη πολικών και καρτεσιανών συντεταγμένων. Ακριβώς όπως η επιλογή του Υ-άξονα (x = 0), είναι αδιάφορο για το γραμμικό ολοκλήρωμα σε καρτεσιανές συντεταγμένες, έτσι και η επιλογή της μηδενικής επικεφαλίδας (θ = 0) είναι αδιάφορη εδώ.

Τρεις τύποι έχουν την ίδια μορφή με τον τύπο του Ήρωνα, αλλά χρησιμοποιούν διαφορετικά δεδομένα.

Κατ' αρχήν, αν ${\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}}$ είναι οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ αντίστοιχα και ${\displaystyle \sigma }$ το ημιάθροισμα τους δηλ. ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\mu _{\rm {A}}+\mu _{\rm {B}}+\mu _{\rm {\Gamma }})}$,τότε έχουμε τον τύπο:^[5]

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \cdot (\sigma -\mu _{\rm {A}})\cdot (\sigma -\mu _{\rm {B}})\cdot (\sigma -\mu _{\rm {\Gamma }})}}}$.

Ακόμη αν ${\displaystyle u_{\rm {A}}}$, ${\displaystyle u_{\rm {B}}}$ και ${\displaystyle u_{\rm {\Gamma }}}$ είναι τα ύψη προς τις πλευρές ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ και ${\displaystyle \gamma }$ αντίστοιχα και ${\displaystyle \eta }$ το ημιάθροισμα των αντιστρόφων των υψών δηλ. ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}\cdot \left({\tfrac {1}{u_{\rm {A}}}}+{\tfrac {1}{u_{\rm {B}}}}+{\tfrac {1}{u_{\rm {\Gamma }}}}\right)}$, έχουμε τον τύπο^[6]

${\displaystyle \mathrm {E} ^{-1}=4{\sqrt {\eta \cdot \left(\eta -{\tfrac {1}{u_{\rm {A}}}}\right)\cdot \left(\eta -{\tfrac {1}{u_{\rm {B}}}}\right)\cdot \left(\eta -{\tfrac {1}{u_{\rm {\Gamma }}}}\right)}}}$.

Επίσης αν ${\displaystyle s}$ είναι το ημιάθροισμα των ημιτόνων των γωνιών δηλ. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\sin {\rm {A}}+\sin {\rm {B}}+\sin {\rm {\Gamma }})}$, έχουμε^[7]

${\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {s\cdot (s-\sin \alpha )\cdot (s-\sin \beta )\cdot (s-\sin \gamma )}}}$

όπου ${\displaystyle D}$ είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου με ${\displaystyle D={\tfrac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\tfrac {\beta }{\sin {\rm {B}}}}={\tfrac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}}}$.

Το θεώρημα του Πικ είναι δίνει ένα τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός πολυγώνου που οι κορυφές του είναι επάνω σε πλέγμα. Το θεώρημα λέει ότι:

${\displaystyle \mathrm {E} =I+{\frac {1}{2}}B-1}$

όπου το ${\displaystyle I}$ είναι ο αριθμός των σημείων του πλέγματος που βρίσκονται εντός του πολυγώνου και το ${\displaystyle B}$ είναι ο αριθμός των σημείων πλέγματος που βρίσκονται στις πλευρές (ή κορυφές) του.

Υπάρχουν πολυάριθμοι άλλοι τύποι, όπως

${\displaystyle \mathrm {E} =\rho \cdot \tau }$,

όπου ${\displaystyle \rho }$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και ${\displaystyle \tau }$ είναι η ημιπερίμετρός του (στην πραγματικότητα ο τύπος αυτός ισχύει για όλα τα περιγγεγραμμένα πολύγωνα).

Επίσης, αν ${\displaystyle D}$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι^[8]

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin {\rm {A}})(\sin {\rm {B}})(\sin {\rm {\Gamma }})}$,

και^[9]

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha \beta \gamma }{2D}}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}}$,

Ισχύει ακόμα για γωνία ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}\neq 90^{o}}}}$ ότι

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\tan {\rm {A}}}{4}}(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})}$.

Αν οι ακτίνες των παρεγεγγραμμένων κύκλων είναι ${\displaystyle \rho _{\rm {A}}}$, ${\displaystyle \rho _{\rm {B}}}$, και ${\displaystyle \rho _{\rm {\Gamma }}}$, το εμβαδό μπορεί να εκφρασ��εί ως:^[10]

${\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}$.

Το 1885 ο Baker^{[11][12][Σημείωση 1]} έδωσε μια συλλογή με πάνω από εκατό τύπους για το εμβαδό του τριγώνου. Σε αυτούς περιλαμβάνονται:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\alpha \beta \gamma u_{\rm {A}}u_{\rm {B}}u_{\rm {\Gamma }})^{1/3}}$,

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\alpha \beta u_{\rm {A}}u_{\rm {B}}}}}$,

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha +\beta }{2\cdot (u_{\rm {A}}^{-1}+u_{\rm {B}}^{-1})}}}$,

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {Ru_{\rm {B}}u_{\rm {\Gamma }}}{\alpha }}}$,

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {u_{\rm {A}}u_{\rm {B}}}{2\sin {\rm {\Gamma }}}}}$,

όπου ${\displaystyle R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Το εμβαδό ενός τριγώνου με περίμετρο ${\displaystyle p}$ είναι μικρότερ�� ή ίσο με ${\displaystyle {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}}}$, όπου η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.^[13][14]:657

Υπάρχουν άπειρες ευθείες οι οποίες χωρίζουν το τρίγωνο σε δύο σχήματα με ίσο εμβαδό, ας τις πούμε διχοτόμους εμβαδού.^[15] Τρεις τέτοιες ευθείες είναι οι διάμεσοι, οι οποίες είναι οι μόνες διχοτόμες εμβαδού που περνούν από το βαρύκεντρο του τριγώνου. Τρεις άλλες διχοτόμες εμβαδού είναι παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου.

Κάθε ευθεία σε ένα τρίγωνο η οποία χωρίζει στα δύο το εμβαδό του τριγώνου και την περίμετρό του στο μισό, περνάει από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Μπορεί να υπάρχουν 1, 2 ή 3 από αυτές σε ένα τυχαίο τρίγωνο.