Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Fakt

Die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Q} \longrightarrow S_{\mathbb {Q} }^{1},\,t\longmapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=(x,y),}$

von der Menge der rationalen Zahlen in die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten ist injektiv, und mit der Ausnahme von ${\displaystyle {}(-1,0)}$ liegt jeder Punkt im Bild.