Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Mit Binomen (deutsch: „zwei Namen“; eine Bezeichnung, die auf Euklid zurückgeht) sind mathematische Ausdrücke mit zwei Gliedern gemeint, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind, wie zum Beispiel

${\displaystyle 1+3,}$ ${\displaystyle \quad 13-7\quad }$ oder auch ${\displaystyle \quad a+b\,}$ (mit zwei noch nicht näher bestimmten Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$).

In einigen Anwendungen ist das Rechnen mit quadrierten Binomen vonnöten: Zerteilt man in der Geometrie zum Beispiel die Seite eines Quadrates in die Längen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b,}$ so hat es den Flächeninhalt ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ (siehe Bild). Es bedeutet die Schreibweise ${\displaystyle x^{2}}$ (gesprochen: „${\displaystyle x}$ Quadrat“), dass die Zahl ${\displaystyle x}$ mit sich selbst multipliziert wird, also ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x.}$ Zum Beispiel gilt ${\displaystyle 2^{2}=2\cdot 2=4}$.

Innerhalb der Schulmathematik kommt den binomischen Formeln ein hoher Stellenwert zu, und sie sind fester Bestandteil des Lehrplans im Fach Mathematik. Dabei werden drei binomische Formeln unterschieden:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$	erste binomische Formel,
${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$	zweite binomische Formel,
${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}$	dritte binomische Formel.

Gerade beim Quadrieren von Summen passieren häufig Fehler: So ist das „Quadrat einer Summe“, also zum Beispiel ${\displaystyle (1+3)^{2}}$ im Allgemeinen^{[Anm. 1]} nicht die „Summe der Quadrate“, hier ${\displaystyle 1^{2}+3^{2}.}$ Da Klammern stets zuerst aufgelöst werden müssen, gilt

${\displaystyle (1+3)^{2}=4^{2}=16,\quad }$ aber falsch wäre eine Gleichsetzung mit ${\displaystyle \quad 1^{2}+3^{2}=1+9=10.}$

Die binomischen Formeln halten nun Rechenregeln fest, mit deren Hilfe zum Beispiel der Ausdruck ${\displaystyle (1+3)^{2}}$ korrekt „in Abhängigkeit von ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 3}$“, also der zwei Glieder des Binoms, berechnet werden kann, insbesondere unter Beachtung aller Regeln für Klammerausdrücke. Diese Regeln entfalten ganz besonders dann ihren Sinn, wenn nicht alle Teile des Binoms bestimmt sind, zum Beispiel ${\displaystyle (2+x)^{2},}$ aber trotzdem eine Berechnung bzw. Umformung gemacht werden soll. Vorteile hat dies zum Beispiel beim Umgang mit quadratischen Gleichungen. Weitere Anwendungen betreffen quadratische Ergänzung, einen Beweis des Satzes des Pythagoras, aber auch Bereiche wie Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die binomischen Formeln werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern und Rechenfehler verhindern sollen, zum anderen erlauben sie die Faktorisierung von Termen, also die Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte, was bei der Vereinfachung von Bruchtermen oder Wurzeltermen sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt. Im Grunde sind sie nur Anwendungen des Distributivgesetzes für algebraische Summen (jedes Glied der einen wird mit jedem der anderen Summe multipliziert)

${\displaystyle (a+b)\,(c+d)=ac+ad+bc+bd}$

mit ${\displaystyle c=a,}$ ${\displaystyle d=b}$ und den entsprechenden Vorzeichenvarianten. Erstmals bewiesen wurden die binomischen Formeln von Euklid, der geometrische Methoden verwendete. Sie waren aber den Babyloniern bereits 1900 v. Chr. bekannt.

Eine Verallgemeinerung der ersten binomischen Formel auf beliebige natürliche Exponenten, wie ${\displaystyle (a+b)^{3},(a+b)^{4}}$ usw., stellt der binomische Lehrsatz dar. Die binomischen Formeln gelten in allen kommutativen Ringen (allgemeine Mengen, innerhalb derer mit Addition, Subtraktion und Multiplikation gerechnet werden kann, wie etwa die ganzen Zahlen).

Als binomische Formeln werden (im Rahmen der Schulmathematik)^[1][2] üblicherweise die folgenden drei Umformungen mit dem Exponenten 2 bezeichnet:^[3]

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$	erste binomische Formel,
${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$	zweite binomische Formel,
${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}$	dritte binomische Formel.

Es werden die Terme ${\displaystyle a^{2}}$ und ${\displaystyle b^{2}}$ quadratische Glieder und ${\displaystyle \pm 2ab}$ gemischtes Glied genannt.^[4] Zu beachten ist die übliche Kurzschreibweise ${\displaystyle 2ab}$ für das Produkt ${\displaystyle 2\cdot a\cdot b.}$ Das Wort „binomisch“ rührt vom Begriff Binom her und bedeutet, dass es sich um Berechnungen mit Termen mit zwei Gliedern (= Zahlen oder Unbekannte) handelt, wobei diese Glieder miteinander addiert oder subtrahiert werden.^[5]

Die binomischen Formeln halten bestimmte Rechengesetze in größtmöglicher Allgemeinheit fest. Daher werden Zahlen hier (willkürlich) durch die Buchstaben ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ersetzt. Die Absicht dahinter ist, eine möglichst große Bandbreite an Anwendungen zu gewährleisten, denn mit unterschiedlichen Anwendungen können immer auch unterschiedliche Zahlen verbunden sein. Ein besseres Gefühl und Verständnis kann beim Üben an konkreten Zahlen erreicht werden. Eine Anwendung der zweiten binomischen Formel ist etwa (mit ${\displaystyle a=4}$ und ${\displaystyle b=1}$)

${\displaystyle (4-1)^{2}=4^{2}-2\cdot 4\cdot 1+1^{2}=16-8+1=9.}$

In der Tat gilt ${\displaystyle (4-1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9,}$ da Klammerinhalte zuerst berechnet werden müssen.

Die Gültigkeit der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:

${\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2},}$

${\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2},}$

${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}.}$

Sie sind damit nur Anwendungen des Distributivgesetzes für algebraische Summen. Jedes Glied der einen wird dabei mit jedem der anderen Summe multipliziert:

${\displaystyle (a+b)\,(c+d)=ac+ad+bc+bd}$

mit ${\displaystyle c=a,}$ ${\displaystyle d=b}$ und den entsprechenden Vorzeichenvarianten.

Obwohl die zweite binomische Formel als eigenständige Formel geführt wird, ergibt sie sich unmittelbar aus der ersten binomischen Formel „angewendet auf ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle -b}$“. Es gilt mit der ersten binomischen Formel

${\displaystyle (a-b)^{2}=(a+(-b))^{2}=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.}$

Wegen des Kommutativgesetzes ist das Vertauschen von Faktoren in Produkten erlaubt. Daher spielt es für die dritte binomische Formel keine Rolle, wann die Terme ${\displaystyle a\pm b}$ auftauchen. Es gilt

${\displaystyle (a+b)\,(a-b)=(a-b)\,(a+b)=a^{2}-b^{2}.}$

Bei den binomischen Formeln handelt es sich nicht um Gleichungen im herkömmlichen Sinne, sondern um Identitäten; die Gleichheit beider Ausdrücke auf der linken und rechten Seite des Gleichheitszeichens ist also für jede Auswahl von Zahlen oder Unbekannten gegeben. Hingegen müssen spezielle Gleichungen oft aufgelöst werden, und nur eine eingeschränkte Menge an Zahlen werden diese lösen. Zur Betonung der universellen Gültigkeit kann daher auch das Symbol ${\displaystyle \equiv }$ genutzt werden, zum Beispiel

${\displaystyle (a+b)^{2}\equiv a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Die Wahl der Buchstaben ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist entsprechend willkürlich; es handelt sich nur um Platzhalter für Zahlen, deren genaue Benennung keinen Einfluss auf die Formeln hat. Die einzige Ausnahme hiervon ist, dass im Allgemeinen verschiedene Größen ungleich benannt werden sollten. So kann die erste binomische Formel auch durch ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$ ausgedrückt werden, aber theoretisch auch durch ${\displaystyle (b+Z)^{2}=b^{2}+2bZ+Z^{2}.}$ Ungünstig hingegen ist die Bezeichnung ${\displaystyle (a+a)^{2}=a^{2}+2aa+a^{2},}$ da dies nur ein Spezialfall der allgemeinen Formel ist (da sie Fälle wie ${\displaystyle (1+1)^{2}}$ und ${\displaystyle (3+3)^{2}}$ behandelt, nicht aber ${\displaystyle (1+2)^{2}}$).

Im Gegensatz zu Adjektiven wie abelsch leitet sich binomisch nicht vom Namen eines Mathematikers ab. Im Sinne des wissenschaftlichen Witzes wird die Bezeichnung binomisch scherzhaft auf einen fiktiven Mathematiker namens Alessandro (oder Francesco) Binomi zurückgeführt, der wahlweise auch in einigen Schul- und Lehrbüchern als deren Urheber auftaucht.^[6][7]

Es ist üblich und gut möglich, die binomischen Formeln – etwa im Rahmen des Schulunterrichts – geometrisch zu veranschaulichen. Dafür eignen sich die unten gezeigten Situationen aus der elementaren Geometrie.^[8][9] Als Vorwissen muss bekannt sein, dass sich der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ über ${\displaystyle ab}$ berechnet.

Erste binomische Formel:

Das nebenstehende mehrfarbige Quadrat hat die Seitenlänge ${\displaystyle (a+b).}$ Wie sofort ersichtlich ist, passen die zwei Quadrate ${\displaystyle a^{2}}$ und ${\displaystyle b^{2}}$ hinein, und es bleiben zwei Rechtecke mit jeweils dem Flächeninhalt ${\displaystyle a\cdot b}$ übrig. Die Fläche des ganzen Quadrats hat also den Wert ${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Dadurch ergibt sich ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}.}$^[10][11]

Zweite binomische Formel:

Im zweiten Bild ist ${\displaystyle a^{2}}$ das blau umrahmte Quadrat (großes Quadrat, also, trotz gleicher Bezeichnung wie in der ersten binomischen Formel, ein anderes Quadrat!). Soll daraus ein Quadrat der Seitenlänge ${\displaystyle (a-b)}$ erzeugt werden, wird zuerst die rot umrahmte Fläche (das Rechteck) ${\displaystyle a\cdot b}$ abgezogen (auch wieder, trotz gleicher Bezeichnung wie in der ersten binomischen Formel, ein anderes Rechteck). Danach wird die ebenso große, liegende Fläche abgezogen. Nun hat man aber das kleine Quadrat ${\displaystyle b^{2}}$ doppelt abgezogen, man muss es (zur Korrektur) noch einmal addieren.

Die hier gezeigte Formel lautet also ${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}.}$^[10]

Dritte binomische Formel:

Im dritten Bild ist ${\displaystyle a^{2}}$ das hell- und dunkelblaue Quadrat. Wird das kleine Quadrat ${\displaystyle b^{2}}$ (gelber Rahmen) davon abgezogen und das verbleibende hellblaue Rechteck gedreht unten angehängt (türkis dargestellt), so entsteht (aus der dunkelblauen und türkisfarbenen Fläche) ein Rechteck der Breite ${\displaystyle (a-b)}$ und der Höhe ${\displaystyle (a+b).}$

Also ergibt sich die Formel ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b).}$^[12]

Eine weitere Veranschaulichung der dritten binomischen Formel erhält man durch folgende Zerlegung:

• 
  Veranschaulichung der dritten binomischen Formel über einen Perspektivwechsel: Die blaue Fläche wird geflippt, um zum zweiten Bild zu gelangen.^[13]

Zu beachten ist, dass diese Veranschaulichungen zunächst im Allgemeinen nur für Werte ${\displaystyle a\geq b\geq 0}$ funktionieren. Die Gültigkeit der Formeln bleibt aber auch etwa im Falle negativer Zahlen bestehen, was sich aus dem Distributivgesetz und damit letztlich den axiomatischen Rechenregeln in den reellen Zahlen, ergibt.

Die Entdeckungs- und Forschungsgeschichte der binomischen Formeln lässt sich bis auf 1900 v. Chr. in das babylonische Reich zurückdatieren. Einen ersten Beweis, basierend auf geometrischen Argumenten, konnte jedoch erst Euklid von Alexandria in seinen Elementen erbringen. Wegen der engen Verknüpfung zur Geometrie von Flächen war es Euklid naturgemäß nicht möglich, dies auf höhere Exponenten zu verallgemeinern. Eine kubische Variante der ersten binomischen Formel wurde einige Jahrhunderte später in Indien unter anderem durch Brahmagupta gegeben. In der moderneren Forschung sind die binomischen Formeln jedoch unzertrennlich mit ihren Verallgemeinerungen auf höhere Exponenten – also dem binomischen Lehrsatz – verbunden, weshalb diese Abgrenzung heutzutage nur noch im Rahmen der Schulmathematik üblich ist.

Nach heutigem Forschungsstand waren die erste und dritte binomische Formel wesentliche Inhalte der Algebra in Mesopotamien im Zeitraum 1900 bis 1600 v. Chr.^[14]

Im Zusammenhang mit Berechnungen von Flächen stießen die Babylonier auf quadratische Gleichungen. Um diese zu lösen, entwickelten sie bereits Verfahren, die den heutigen ähneln. Wie Texte aus der Zeit der Hammurapi-Dynastie um das Jahr 1700 v. Chr. belegen, verfügten sie über Algorithmen (also „mathematische Vorgehensweisen“), mit denen sie die Lösung gemäß der heute üblichen Formel berechnen konnten, wobei jedoch die Frage offen bleibt, wie sie diese genau fanden. Da sie jedoch über die dritte binomische Formel verfügten, wird angenommen, dass sie ähnlich vorgingen wie später Diophantos von Alexandria.^[15]

Die Babylonier verwendeten die erste binomische Formel auch für die Annäherung von Quadratwurzeln (siehe auch Heron-Verfahren). Ist ${\displaystyle b}$ im Vergleich zu ${\displaystyle a}$ klein, so ist zu erwarten, dass

${\displaystyle {\sqrt {a+b}}={\sqrt {a}}+\delta }$

mit einem kleinen ${\displaystyle \delta }$ gilt. Quadriert man dies, ergibt sich mit der ersten binomischen Formel

${\displaystyle a+b=a+2{\sqrt {a}}\delta +\delta ^{2}.}$

Vernachlässigt man ${\displaystyle \delta ^{2},}$ ergibt sich daraus die Näherung ${\displaystyle \delta \approx {\tfrac {b}{2{\sqrt {a}}}},}$ also

${\displaystyle {\sqrt {a+b}}\approx {\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\qquad |b|\ll a.}$

Dies ist besonders dann praktisch, wenn ${\displaystyle a}$ eine Quadratzahl ist. Höchstwahrscheinlich auf diesen Gedanken aufbauend konnten die Babylonier die Quadratwurzel aus 2 durch ${\displaystyle 1,24,51,10}$ annähern, wobei die Kommas die Ziffern im Sechzigersystem trennen, mit dem die Babylonier rechneten, was in Dezimalschreibweise ungefähr ${\displaystyle 1{,}41421296296\ldots }$ entspricht. Dies belegen Steintafeln aus dem Jahr 1900 v. Chr.^[16] Der exakte Wert von ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ beginnt mit ${\displaystyle 1{,}414213562373\ldots }$

Bewiesen wurde die binomische Formel ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ von Euklid von Alexandria (circa 3. Jahrhundert v. Chr.) in seinen Elementen. Euklids Beweismethode ist geometrisch, womit er die Formel ebenfalls in Buch II, Proposition 4 (Buch II: „Geometrische Algebra“) geometrisch interpretiert.^[17] Die Bezeichnung „Binom“ geht ebenfalls auf Euklid zurück.^[18]

Euklid beweist in Buch II, Proposition 5 auch die dritte binomische Formel, jedoch in der abgewandelten Form ${\displaystyle ab+\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)^{2}=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)^{2}.}$^[21] Erneut basiert der Beweis auf geometrischen Überlegungen.

In dieser Hinsicht ist die bereits im antiken Griechenland entdeckte Beziehung zwischen Algebra und Geometrie bemerkenswert. Laut Sonja Brentjes und Peter Schreiber sei „die einzig sinnvolle Antwort“ auf die Frage, wozu die Griechen überhaupt Algebra brauchten, die analytische Behandelbarkeit komplizierter geometrischer Sachverhalte. Sobald man von Geraden und Kreisen zu Kegelschnitten oder anderen „höheren Kurven“ übergehe, könnten diese in der Regel „nur durch Gleichungen zwischen bestimmten beteiligten Strecken“ definiert werden.^[23] Zum Beispiel wird der Kreis mit Radius ${\displaystyle 1}$ und dem Ursprung als Mittelpunkt über die algebraische Gleichung ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ beschrieben. Euklid scheine dies schon erkannt zu haben, denn sein Beweis des Satzes des Pythagoras am Ende von Buch I seiner Elemente könne als eine „Motivation für das der geometrischen Algebra gewidmete Buch II“ gesehen werden, wo nun „ganz systematisch die algebraischen Grundeigenschaften der geometrisch interpretierten Addition und Multiplikation von Größen“ abgehandelt werden.^[24]

Der Mathematikhistoriker Sabetai Unguru vertritt in seinem Artikel On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics die These, dass die Darstellung antiker Mathematik durch moderne Algebra problematisch sei. Unguru ist der Auffassung, dass es prinzipiell unangemessen sei, antike Erkenntnisse mit modernen Formeln darzustellen. Er bezeichnete die „geometrische Algebra“ als ein „Fantasiegespinst, ein monströses Zwittergeschöpf, das sich Mathematiker ausgedacht haben, denen jegliches Gefühl für Historie fehlt“.^[25][26] Der Formel- und Begriffsapparat der modernen Mathematik beinhalte Konzepte und Abstraktionen, die „das Authentische am historischen Vorgehen möglicherweise verschleiern“. Als Beispiel könne die binomische Formel ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ angeführt werden.^[27] In der modernen Mathematik gilt sie für alle abstrakten Elemente eines kommutativen Rings (einer Menge, in der Elemente addiert und multipliziert werden können); eine solche Begriffsbildung sei einem Euklid jedoch völlig fremd.^[28] Bartel Leendert van der Waerden, Hans Freudenthal und André Weil traten Ungurus Thesen entgegen.^[29][30][31]

Viele Beziehungen über Zahlenfolgen haben die Pythagoreer durch Legen von Rechen- bzw. Spielsteinen gewonnen. Darunter fielen auch Varianten der binomischen Formeln, wie etwa^[32]

${\displaystyle (n-1)^{2}+4n=(n+1)^{2}.}$

Bereits Aristoteles spricht in seiner Metaphysik davon, dass „gewisse Leute Zahlen in die Gestalt von Dreiecken und Rechtecken bringen“.^[33]

Eng verwandt ist die Beobachtung der Pythagoreer, dass sich die Quadratzahlen als aufsteigende Summen der ungeraden Zahlen ergeben:^[34]

${\displaystyle 1^{2}=1=1}$

${\displaystyle 2^{2}=4=1+3}$

${\displaystyle 3^{2}=9=1+3+5}$

${\displaystyle 4^{2}=16=1+3+5+7}$

usw. Aus heutiger Perspektive werden solche Beobachtungen meist über vollständige Induktion streng bewiesen.^[35] Ist etwa bereits bekannt, dass

${\displaystyle 1+3+5+\dotsb +(2n-1)=n^{2}}$

gilt, so folgt mit der ersten binomischen Formel

${\displaystyle (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1=1+3+5+\dotsb +(2n-1)+(2n+1),}$

und die Behauptung muss, da sie nach Annahme für ${\displaystyle n}$ stimmt, auch für ${\displaystyle n+1}$ stimmen. Da sie initial für ${\displaystyle n=1}$ richtig ist, muss sie folglich für alle natürlichen ${\displaystyle n}$ wahr sein.^[36][37]

Die binomischen Formeln finden sich auch bei Nikomachos von Gerasa. Seine Einführung in die Arithmetik gilt als das älteste Buch der Antike, das speziell der Arithmetik gewidmet ist. Daneben existiert noch die Arithmetik des Diophantos von Alexandria, doch dieses Werk galt im Mittelalter als unbekannt. Nikomachos’ Werk hatte in den folgenden Jahrhunderten für die Arithmetik eine ähnliche Bedeutung wie Euklids Elemente für die Geometrie. Sie wurde von Boethius in seinem Werk De institutione arithmetica ins Lateinische übersetzt^[38] und damit während des Mittelalters in Klosterschulen und Universitäten populär. Für ihn galt die dritte binomische Formel

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}=ab+\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}}$

als „wertvoll“, etwa zur schnellen Berechnung von Quadratzahlen:^[39]

${\displaystyle 97^{2}=94\cdot 100+9=9409,}$

mit ${\displaystyle a=94}$ und ${\displaystyle b=100.}$

Auch Diophantos von Alexandria (zwischen 100 v. Chr. und 350) waren die binomischen Formeln geläufig. So hatte er unter anderem Kenntnis von den Identitäten^[40]

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\pm 2ab=(a\pm b)^{2},}$

${\displaystyle 2(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a-b)^{2},}$

${\displaystyle 4ab+(a-b)^{2}=(a+b)^{2}}$

und

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}=ab.}$

Bereits zwischen 400 v. Chr. und dem 2. Jahrhundert soll Pingala den Aufbau des Pascalschen Dreiecks bestimmt haben. Dieses listet die Binomialkoeffizienten schematisch auf. Dass er allerdings auch um den Zusammenhang zum binomischen Lehrsatz wusste, gilt nicht als plausibel.^[41]

Im 6. und 7. Jahrhundert gaben die indischen Mathematiker Aryabhata und Brahmagupta die Fälle ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ und ${\displaystyle (a+b)^{3}}$ an.^[41] Der Ausdruck

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

wird auch als kubische binomische Formel bezeichnet.^[42] Ferner zeigte Brahmagupta in seiner Brahmasphutasiddhanta die zu den binomischen Formeln verwandte Brahmagupta-Identität

${\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2},}$

die in der elementaren Zahlentheorie, zum Beispiel im Umfeld des Zwei-Quadrate-Satzes, eine Rolle spielt. Diese Identität lässt sich allerdings bereits in der Arithmetica von Diophantos von Alexandria finden und wurde zuerst von Leonardo von Pisa bewiesen.^[43]

Narayana Pandit (circa 1325–1400) beschäftigte sich im Kapitel XI seiner Ganita Kaumudi unter anderen mit Primfaktorzerlegungen. Neben dem ausschöpfenden Dividieren von Zahlen durch die Primzahlen 2, 3, 5 usw. (was schon lange bekannt war) formuliert er einige Regeln zur Bestimmung von Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle N+b^{2}=a^{2}}$ und der dazugehörigen Faktorisierung ${\displaystyle N=(a-b)\,(a+b)}$ im Falle eines Erfolgs, die sich aus der dritten binomischen Formel ergibt. Damit nahm er die Grundidee des heute als Faktorisierungsmethode von Fermat genannten Prinzips vorweg. Als Beispielrechnung gibt er an:^[44]

${\displaystyle 1161=1225-64=35^{2}-8^{2}=(35-8)\cdot (35+8)=27\cdot 43=3\cdot 3\cdot 3\cdot 43.}$

In den Ländern des Islam kam es vor allem unter der Herrschaft der Abbasiden vom 8. bis zum 13. Jahrhundert zu einem kulturellen und wissenschaftlichen Aufschwung, der in Literatur und Philosophie, Architektur, Medizin, Astronomie, Geographie und nicht zuletzt auch in der Mathematik zu einer Blütezeit führte.

Bereits al-Chwarizmi beschäftige sich um das Jahr 830 mit geometrischen Lösungsverfahren linearer und quadratischer Gleichungen und folgte dabei sowohl indischen als auch griechischen Vorbildern, wobei letztere überwiegen. Dabei fanden auch neue Figuren als jene bei Euklid Einzug in seine Betrachtungen. Etwa bezieht sich ${\displaystyle x^{2}+2x=15}$ auf ${\displaystyle y=1}$ in den Bildern 1 und 2, denn dann ist ${\displaystyle x^{2}+4\cdot {\tfrac {x}{2}}+4\cdot ({\tfrac {1}{2}})^{2}=15+1=(x+1)^{2}}$ (siehe Bild 1) bzw. ${\displaystyle x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}}$ (siehe Bild 2).^[45]

• 
  Bild 1:
  ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+4\cdot {\tfrac {y}{2}}x+4\cdot ({\tfrac {y}{2}})^{2}}$
• 
  Bild 2:
  ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}}$

Bei al-Karadschi und noch deutlicher bei as-Samaw’al (1130–1180) finden sich Überlegungen, die wesentliche Schritte zu einem Beweis für den binomischen Lehrsatz, der die erste und zweite binomische Formel umfasst, durch vollständige Induktion enthalten. Dies bereitete Schwierigkeiten, da die mathematischen Ausdrucksmöglichkeiten der damaligen Zeit nicht ausreichten, eine derart allgemeine Aussage auch nur zu formulieren. Für die Berechnung der Binomialkoeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ verwendeten al-Karadschi und as-Samaw’al dabei – lange vor Blaise Pascal – das Pascalsche Dreieck.^[46][47]

Der persische Mathematiker und Dichter Omar Chayyām (1048–1131) entwickelte eine Technik, um ${\displaystyle n}$-te Wurzeln zu ziehen. Obwohl sein Werk verloren ging, wird davon ausgegangen, dass er den Umgang mit den allgemeinen binomischen Formeln ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ beherrschte und auch die Binomialkoeffizienten in Form des Pascalschen Dreiecks kannte. Diese wurden in Europa erst 500 Jahre später durch Blaise Pascal wiederentdeckt.^[48] Der Fall der Potenz 2 ist in Euklids Elementen explizit angegeben, und der Fall von höchstens Potenz 3 wurde von indischen Mathematikern aufgestellt. Chayyām erkannte somit als einer der ersten Mathematiker die Bedeutung eines allgemeinen binomischen Lehrsatzes. Er machte zudem die dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten im Iran populär, sodass diese heute gelegentlich auch als Omar Chayyāms Dreieck bezeichnet wird.^[49]

Mit diesen Worten eröffnete Blaise Pascal im Jahr 1654 einen der ersten niedergeschriebenen Induktionsbeweise. Ziel war es, den Term ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ zu expandieren. Die ersten Ergebnisse lauten dabei^[51]

${\displaystyle (a+b)^{0}=1\qquad }$ (siehe leeres Produkt)

${\displaystyle (a+b)^{1}=a+b}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$

${\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}}$

usw. und Pascal erkannte ein Muster in den Binomialkoeffizienten:

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \color {red}1}$

${\displaystyle \color {red}2}$

${\displaystyle \color {red}1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \color {blue}5}$

${\displaystyle \color {blue}10}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 1}$

usw. Die erste binomische Formel ist in rot dargestellt. Über Bildung von benachbarten Quotienten erhielt Pascal das alternative Dreieck^[52]

${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {3}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {4}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$

${\displaystyle \color {blue}{\tfrac {4}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

usw. (exemplarisch in blau: es bezieht sich ${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}={\tfrac {10}{5}}}$ auf ${\displaystyle 5}$ und ${\displaystyle 10}$ im oberen Dreieck), mit dessen Hilfe er induktiv auf eine geschlossene Formel für die Zahlen im oberen Dreieck schließen konnte:^[53]

In der modernen Mathematik wird – ganz im Sinne Pascals – gewöhnlich kein separates Studium der „binomischen Formeln zweiten Grades“ vollzogen, sondern stets der allgemeine binomische Lehrsatz für Terme ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ genutzt. In manchen Lehrbüchern wird die durch den binomischen Lehrsatz gegebene allgemeine Formel für ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ sogar auch als „binomische Formel“ bezeichnet.^[54] Der Ausdruck „erste binomische Formel“ für den Fall ${\displaystyle n=2}$ im binomischen Lehrsatz ist jedoch bis heute in der Schulmathematik etabliert.^[1]

Da es sich bei den binomischen Formeln um Identitäten handelt, die sich aus einer simplen Anwendung des Distributivgesetzes ergeben, sind ihre Anwendungen in der Mathematik theoretisch unbegrenzt, da sie in einer nicht endenden Anzahl von Rechnungen „auftauchen können“. Allerdings findet das Konzept der Identität von etwa ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ und ${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}}$ in einigen Bereichen, wie zum Beispiel der Wahrscheinlichkeitstheorie, eine bestimmte Interpretation. Dies wird dann deutlich, wenn die Identität über ihre bloß formale Existenz und Funktionstüchtigkeit hinaus eine Form der Information oder Erkenntnis preisgibt. Ferner existieren einige mathematische Standardsituationen, wie das Lösen quadratischer Gleichungen und Vereinfachen von Bruchtermen, bei denen die binomischen Formeln regelmäßig herangezogen werden.

Unmittelbare Bedeutung für den Alltag können binomische Formeln als Stütze beim Kopfrechnen haben.^[55][56] Das Quadrat einer beliebigen Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen, indem man die Berechnung auf Quadrate von einfacheren Zahlen (Vielfache von 10 oder einstellige Zahlen) zurückführt.

Beispielsweise ist mit der ersten binomischen Formel

${\displaystyle 37^{2}=(30+7)^{2}=30^{2}+2\cdot 30\cdot 7+7^{2}=900+420+49=1369}$

oder alternativ mit der zweiten binomischen Formel

${\displaystyle 37^{2}=(40-3)^{2}=40^{2}-2\cdot 40\cdot 3+3^{2}=1600-240+9=1369.}$

Bei Kenntnis einiger Quadratzahlen (etwa bis zum Wert ${\displaystyle 20^{2}=400}$) lassen sich auch viele Multiplikationen auf die dritte binomische Formel zurückführen. Beispielsweise ist

${\displaystyle 17\cdot 13=(15+2)\cdot (15-2)=15^{2}-2^{2}=225-4=221,}$

oder auch

${\displaystyle 8\cdot 14=(11-3)\cdot (11+3)=11^{2}-3^{2}=121-9=112.}$

Der Trick klappt besonders gut, wenn die zu multiplizierenden Zahlen nahe beieinander liegen:

${\displaystyle 29\cdot 31=(30-1)\cdot (30+1)=30^{2}-1^{2}=900-1=899.}$

Ist der Abstand der zu multiplizierenden Zahlen eine ungerade Zahl, kann ein Summand abgespalten werden, zum Beispiel

${\displaystyle 13\cdot 16=13\cdot 15+13=14^{2}-1+13=196+12=208.}$

Dabei werden also entscheidende Rechenschritte durch memorierte Zahlenzusammenhänge ersetzt. Die Flexibilität der Methode ermöglicht es, schon bei einer verhältnismäßig geringen Anzahl auswendig gelernter Quadratzahlen eine beachtliche Anzahl an Produkten ausrechnen zu können.

Weitere Beispiele sind:

Einige Brüche können mit den binomischen Formeln vereinfacht werden. In erster Linie handelt es sich um Brüche, die Quadratwurzeln in ihren Nennern haben. Dies kann anhand eines Beispiels demonstriert werden:

${\displaystyle {\frac {2}{{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}}}{\overset {{\text{Erweitern mit}} \atop {\sqrt {5}}-{\sqrt {2}}}{=}}{\frac {2({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}{({\sqrt {5}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}}{\overset {{\text{3. binomische}} \atop {\text{Formel}}}{=}}{\frac {2({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}{({\sqrt {5}})^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}={\frac {2({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}{5-2}}={\frac {2}{3}}({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}$.

Es wurde also durch Erweitern mit dem Faktor ${\displaystyle {\sqrt {5}}-{\sqrt {2}}}$ und Anwenden der dritten binomischen Formel der Nenner vereinfacht, und die Quadratwurzeln in den Zähler „transportiert“. Dieses Prinzip ist ein Spezialfall der sogenannten Rationalisierung von Brüchen.^[57]

Eine andere Anwendung betrifft die Vereinfachung von Bruchtermen. Dabei können die binomischen Formeln manchmal dabei helfen, Nenner und/oder Zähler des Bruchs zu faktorisieren, um anschließend ein Kürzen des Bruchs zu ermöglichen. Ein Beispiel unter Nutzung der dritten binomischen Formel ist^[58]

${\displaystyle {\frac {49a-63b}{49a^{2}-81b^{2}}}={\frac {7(7a-9b)}{(7a-9b)(7a+9b)}}={\frac {7}{7a+9b}}.}$

Ein anderes Beispiel betrifft die zweite binomische Formel:

${\displaystyle {\frac {8x^{2}-12xy}{8x^{2}-24xy+18y^{2}}}={\frac {4x(2x-3y)}{2(2x-3y)^{2}}}={\frac {2x}{2x-3y}}}$.

Mit Hilfe der binomischen Formeln können manche eher komplizierten Ausdrücke schnell durch deutlich leichtere Terme geschätzt werden. So gilt für kleine Werte ${\displaystyle x}$^[59]

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1:(1-x)\approx 1+x.}$

Anwendungsbeispiele sind

${\displaystyle {\frac {1}{1{,}1}}\approx 0{,}9\quad }$ (exakt gilt ${\displaystyle {\frac {1}{1{,}1}}=0{,}90909\ldots }$)

und

${\displaystyle {\frac {1}{0{,}95}}\approx 1{,}05\quad }$ (exakt gilt ${\displaystyle {\frac {1}{0{,}95}}=1{,}05263\ldots }$)

Die Begründung dieser Näherung ergibt sich aus der Näherung

${\displaystyle 1\approx 1-x^{2}=(1-x)\,(1+x)\qquad }$ (beachte: Ist ${\displaystyle x}$ klein, so erst recht ${\displaystyle x^{2};}$ z. B. ist der zehnte Teil eines Zehntels nur ein Hundertstel, also ${\displaystyle 0{,}1^{2}=0{,}01}$),

und anschließende Division durch ${\displaystyle 1-x.}$ Je kleiner ${\displaystyle x}$ hier ist, desto kleiner ist der relative Fehler. Auf ähnliche Weise erhält man über die erste binomische Formel für kleine Werte ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{2}}\right)^{2}=1+x+{\frac {x^{2}}{4}}\approx 1+x,}$

also^[60]

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}\approx 1+{\frac {x}{2}}.}$

Diese Näherungsformeln können mittels Taylor-Polynomen weiter verbessert werden.^[61] Gleichzeitig ist die erste binomische Formel damit Ausgangspunkt^[62] für das sogenannte Heron-Verfahren zur Annäherung von Quadratwurzeln, das die oberen Annäherungen iterativ benutzt.^[63][64]

Es ist

${\displaystyle 3=3}$

ein Beispiel für eine wahre Gleichung: Beide Zahlen auf jeder Seite des Gleichheitszeichens sind identisch. Gleichungen können umgeformt werden. Dahinter steckt die Idee, dass, wenn zwei identische Größen auf identische Weise manipuliert werden, die Resultate wieder identisch sein müssen. Aus beidseitiger Addition von ${\displaystyle 3=3}$ mit ${\displaystyle 7}$ geht ${\displaystyle 10=10}$ hervor – wieder eine gültige Gleichung. Oft beinhalten Gleichungen eine Unbekannte, etwa ${\displaystyle 2\cdot x=4.}$ Beidseitige Division durch ${\displaystyle 2}$ formt dies zu ${\displaystyle x=2}$ um, womit die Unbekannte plötzlich „sichtbar“ wird. Im Nachhinein ist auch der einfache Zusammenhang ${\displaystyle 2\cdot 2=4}$ leicht zu prüfen, und es war ${\displaystyle x=2}$ der „einzige Kandidat“, der mit ${\displaystyle 2\cdot x=4}$ schon unausweichlich bestimmt war. In vielen Problemen der wissenschaftlichen Praxis entstehen aus bekannten Beziehungen zunächst unbekannter Größen Gleichungen, weshalb Techniken zu deren Auflösen große Bedeutung zukommt. Die innerhalb einer wissenschaftlichen Theorie erarbeiteten kausalen Zusammenhänge oder ökonomische Forderungen „zwingen“ die Größen in einen begrenzten Raum an Möglichkeiten, doch erst ein Auflösen der entstehenden Gleichungen macht diese wenigen Möglichkeiten „sichtbar“.

Ein Beispiel ist: Ein rechteckiges Zimmer ist zwei Meter länger als breit und hat den Flächeninhalt ${\displaystyle 24}$ Quadratmeter – wie lang und wie breit ist es? Die Frage führt zur Gleichung

${\displaystyle x\cdot (x+2)=24\qquad }$ (${\displaystyle x}$ = Breite des Zimmers in Metern),

also

${\displaystyle x^{2}+2x=24.}$

Dies ist Beispiel einer quadratischen Gleichung. Gerade im Umgang mit quadratischen Gleichungen erweisen sich die binomischen Formeln als nützlich. Die Grundidee ist, „umgekehrt“ zu denken: Schafft man es, irgendwo einen Term der Form ${\displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}$ zu erzeugen, kann eine Gleichung vereinfacht werden. Dies erfordert ein gewisses Geschick beim „Erkennen“ und zu Beginn meist etwas Übung. Im obigen Beispiel kann auf der linken Seite durch Hinzufügen eines nichtigen Terms ${\displaystyle 1-1=0}$ wie folgt eine binomische Formel „erzwungen“ werden:

${\displaystyle x^{2}+2x=24\iff x^{2}+2x\,\,+\underbrace {1-1} _{{\text{keine}} \atop {\text{Veränderung}}}=24\iff (x^{2}+2x+1)-1=24\iff (x+1)^{2}-1=24{\overset {|\,+1}{\iff }}(x+1)^{2}=25.}$

Nun muss nur noch auf beiden Seiten die Quadratwurzel in beiden Zweigen ${\displaystyle {\sqrt {25}}=\pm 5}$ gezogen werden (was letztlich der entscheidende Schritt zum „Auflösen“ der Gleichung ist), um aus

${\displaystyle x+1=\pm 5}$

die Lösungsmenge ${\displaystyle \{-6,4\}}$ zu erhalten. Damit hat das Zimmer die Breite ${\displaystyle x=4}$.^{[Anm. 2]} Dies war schon seit Aufstellung der Bedingungen an das Zimmer „unausweichlich“, wurde aber erst nach Auflösung der quadratischen Gleichung für Geist und Auge „sichtbar“.

Eben dieses Prozedere der Erzeugung eines Terms passend zur ersten (oder auch zweiten) binomischen Formel nennt man auch quadratische Ergänzung.^[65]

Tatsächlich kann genau dieses Verfahren zur Herleitung der allgemeinen „Mitternachtsformel“ genutzt werden, wobei die Idee durch das obige Beispiel bereits vollständig beschrieben ist und lediglich unter Verwendung allgemeiner „Platzhalter“ ${\displaystyle a\not =0,b,c}$ in ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ausgeführt werden muss.^[66][67]

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind also ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und ${\displaystyle c}$ die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Mehr noch werden durch diesen Satz die rechtwinkligen Dreiecke charakterisiert. Ist das betrachtete Dreieck also nicht rechtwinklig, kann die Gleichung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ nicht erfüllt sein.

Der Satz des Pythagoras kann mit Hilfe der ersten binomischen Formel bewiesen werden.^[68][69] Hintergrund ist eine einfache geometrische Idee: In ein Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle a+b}$ werden vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

• 
  Graphik P: Der Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Betrachtung derselben Fläche (hier in Weiß) aus unterschiedlichen Perspektiven: Einmal als ${\displaystyle c^{2}}$ und einmal als ${\displaystyle a^{2}+b^{2}.}$ Mit Hilfe der ersten binomischen Formel kann diese Idee rigoros gemacht werden.

Um diese geometrische Idee algebraisch rigoros zu machen, werden Termumformungen benötigt, bei denen die erste binomische Formel von Nutzen ist. Die Gesamtfläche des Quadrates ist einerseits wegen der ersten binomischen Formel

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Der Mittelterm ${\displaystyle 2ab}$ entspricht den Flächen der vier kongruenten Dreiecke in Graphik P; jedes einzelne mit Fläche ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}},}$ siehe Graphik R. Andererseits kann die Fläche des großen Quadrates als Summe der – in Graphik P weißen – Fläche ${\displaystyle c^{2}}$ und erneut der Fläche der vier Dreiecke dargestellt werden:

${\displaystyle c^{2}+4\cdot {\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab.}$

Dies entspricht dem oben erwähnten „Perspektivwechsel“: Der Term ${\displaystyle 2ab}$ ist in beiden Ausdrücken zu finden, da die vier Dreiecke im linken Bild von Graphik P bloß verschoben werden. Da es sich in beiden Fällen um die selbe Ausgangsfläche handelte, gilt folglich

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab.}$

Zieht man nun auf beiden Seiten ${\displaystyle 2ab}$ ab, verbleibt ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$ was genau der Satz des Pythagoras ist.

Als Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt sich, wieder unter Anwendung der ersten binomischen Formel, ein Beweis des Höhensatzes von Euklid.^[70]

Eine Anwendung der ersten binomischen Formel betrifft die Hardy-Weinberg-Formel. Von nahezu allen Genen gibt es unterschiedliche Varianten, die als Allele bezeichnet werden. So kann es etwa verschiedene Allele für die Farbe einer Linsensorte geben, für die Größe von Individuen, aber auch für bestimmte Proteine, die im Stoffwechsel eine tragende Rolle spielen.

Den Anteil, mit der ein solches Allel in einer Population vorkommt, nennt man Allelfrequenz. Im einfachsten Fall gibt es nur zwei Allele, also zwei Genvarianten, die zum Beispiel als ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bezeichnet werden können. Für die entsprechenden Allelfrequenzen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt dann ${\displaystyle a+b=1.}$ Nun trägt jedes Individuum von einem bestimmten Gen zwei Stück, eines vom Vater, eines von der Mutter. Eine Ausnahme von dieser Regel sind lediglich bestimmte geschlechtsgebundene Gene (siehe auch X-chromosomaler Erbgang). Man erhält dann, unter Annahme einer perfekten Durchmischung der betrachteten Population, die Hardy-Weinberg-Formel

${\displaystyle 1=1\cdot 1=\underbrace {(a+b)} _{\text{1. Gen}}\cdot \underbrace {(a+b)} _{\text{2. Gen}}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Wird nun angenommen, das Allel A sei dominant, bedeutet dies, dass die Merkmale von Allel ${\displaystyle B}$ bei der Genkombination ${\displaystyle AB}$ nicht erkenntlich sind, sondern nur bei ${\displaystyle BB.}$ Die von ${\displaystyle B}$ getragenen Merkmale nennt man dann rezessiv. Sind beispielsweise vier Prozent einer Population Merkmalsträger von ${\displaystyle B,}$ so ist die Allelfrequenz von ${\displaystyle B}$ höher als gedacht: Die Hardy-Weinberg-Formel liefert ${\displaystyle b^{2}=0{,}04}$ und damit ${\displaystyle b=0{,}2.}$ Demzufolge ist ${\displaystyle a=1-b=0{,}8}$ und immerhin ${\displaystyle 2ab=0{,}32.}$ Ergo sind 32 Prozent der Bevölkerung Träger des Allels ${\displaystyle B,}$ ohne aber Merkmalsträger zu sein.^[71]

In eine ähnliche Richtung wie die Hardy-Weinberg-Formel geht folgende probabilistische Interpretation der ersten binomischen Formel. Diese hängt mit der zweifachen Ausführung eines Zufallsexperiments mit unabhängigen Abläufen (zum Beispiel dem zweifachen Wurf einer Münze) zusammen. Stehen sich in einem Zufallsexperiment zwei mögliche Ausgänge gegenüber, etwa „Gewinnen“ und „Verlieren“, so folgt für deren Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ bereits ${\displaystyle a+b=1}$ (die Eins entspricht hier ${\displaystyle 100\%={\tfrac {100}{100}}}$), da bei angenommenem Ausschluss eines Unentschiedens eines dieser Ereignisse sicher eintritt. Zweifache Ausführung führt zu folgender neuen „Aufteilung der Eins“:

${\displaystyle 1=1\cdot 1=(a+b)\cdot (a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Dies bildet die möglichen – sich gegenseitig ausschließenden – Ereignisse

• „zweimal gewinnen“ (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle a^{2}}$),
• „je einmal gewinnen und verlieren“ (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 2ab}$ – es wird bei diesem Ereignis nicht in der Reihenfolge, also zwischen ${\displaystyle ab}$ und ${\displaystyle ba,}$ unterschieden!^{[Anm. 3]}) und
• „zweimal verlieren“ (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle b^{2}}$)

ab.^[72] Auf diese Weise werden die Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle 2ab}$ und ${\displaystyle b^{2}}$ als „Teilvolumina der Eins“ sichtbar (siehe Bilder unten). Ist beim zweifachen Münzwurf zum Beispiel ${\displaystyle a=b={\tfrac {1}{2}},}$ so trifft Kopf-Kopf und Zahl-Zahl jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}}$ auf, und „je einmal Kopf und einmal Zahl“ mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 2\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}.}$

• 
  K = „Kopf“, Z = „Zahl“. Darstellung des zweifachen Münzwurfs mittels eines Baumdiagramms. Eine einfache Regel besagt, dass sich bei unabhängigen Abläufen die Wahrscheinlichkeiten „entlang der Äste“ multiplizieren. In diesem Spezialfall ergibt sich dies aus der ersten binomischen Formel, siehe Bilder rechts.
• 
  Wahrscheinlichkeiten sind Konzepte der Maßtheorie und können damit als „Teilvolumina“ des „Ganzen mit Volumen Eins“ gesehen werden.^[73] Sie messen Plausibilität. Um Zahl-Zahl zu werfen, muss „die Hälfte einer Hälfte“ getroffen werden, also ein Viertel. Analog: Triff an jeder Seite des Quadrats die „richtige Hälfte“ (für Zahl-Zahl hier „rechts“ und „unten“), was dann zur gezeigten Aufteilung in Flächen führt, und in diesem Fall alle vier Möglichkeiten gleich plausibel macht.
• 
  „Wahrscheinlichkeiten und Geometrie“: Analoge Situation für allgemeine Einzelwahrscheinlichkeiten ${\displaystyle a+b=1}$ (hier exemplarisch ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}}$ und ${\displaystyle b={\tfrac {1}{3}}}$). Das ganze Quadrat hat „Volumen“ Eins. Die erste binomische Formel gibt exakt die Einzelwahrscheinlichkeiten nach zweifacher Ausführung des Experiments, geometrisch realisiert durch Teilflächen. In diesem Beispiel ist das Ereignis BB (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle b^{2}={\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {1}{9}}}$) viermal weniger plausibel als AA (mit ${\displaystyle a^{2}={\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {4}{9}}}$).

Diese Verfahren lassen sich ganz analog auf beliebig häufige Wiederholungen von zum Beispiel Münzwürfen ausweiten, wobei dann der binomische Lehrsatz zur Expansion von ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ für beliebige natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ eine wichtige Rolle spielt. Man spricht dann, hinsichtlich der auftretenden Wahrscheinlichkeiten, von der Binomialverteilung.^[74]

Die zweite binomische Formel findet auch unmittelbare Anwendung in der Stochastik, nämlich bei der Berechnung der Varianz einer Zufallsvariablen. Diese misst ab, wie stark eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ um ihren Erwartungswert (= Mittelwert) ${\displaystyle \mathrm {E} [X]}$ gestreut ist. Um Ausreißer stärker zu „bestrafen“ und Vorzeichen zu ignorieren, wird dabei das Quadrat der Abweichung ${\displaystyle X-\mathrm {E} [X]}$ gemessen, also wiederum dessen Erwartungswert berechnet. Mit der zweiten binomischen Formel kann dies zusammen mit der Linearität des Erwartungswertes vereinfacht werden:^[75]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}.\end{aligned}}}$

Die Varianz kann also als Differenz zwischen dem „erwarteten Quadrat“ und dem „Quadrat des Erwarteten“ gesehen werden. In dieser neuen Darstellung entpuppt sie sich als Fehlerterm in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq ||x||^{2}\cdot ||y||^{2},}$ die in Hilberträumen mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ gültig ist, und sich für Erwartungswerte in ${\displaystyle \operatorname {E} \left[XY\right]^{2}\leq \operatorname {E} \left[X^{2}\right]\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]}$ übersetzt. Damit erhält die Varianz eine geometrische Interpretation. Es wird über den Fehler in der Ungleichung ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]^{2}\leq \operatorname {E} \left[X^{2}\right]}$ gemessen, wie weit ${\displaystyle X}$ von einer konstanten Funktion ${\displaystyle Y=1}$ (also ohne jegliche Abweichung, ergo „Varianz Null“), entfernt ist.

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Änderungsverhalten mathematischer Funktionen. In vielen Anwendungen ist eine Funktion eine Abbildung, die jedem Zeitpunkt (etwa ab „Beginn der Aufzeichnung“) einen für die Anwendung interessanten Ausgabewert zuordnet; dies kann zum Beispiel

• eine beim Laufen zu einer Uhrzeit bereits zurückgelegte Distanz,
• die aktuelle Temperatur des Kaffees im Arbeitszimmer oder
• der momentane Preis für einen Liter Benzin (etwa in „Cent pro Liter“)

sein. Die Ableitung einer solchen Funktion misst dann die Änderungsraten, also wie schnell sich der Bestand aktuell mit der Zeit ändert. Bezogen auf die oberen Beispiele bedeutet dies

• die momentane Laufgeschwindigkeit,
• die momentane Abkühlungsrate des Kaffees,
• die Preisänderungsrate (etwa in „Cent pro Liter pro Stunde“).

Während der höheren mathematischen Ausbildung werden Ableitungsregeln vermittelt, die das Ableiten einer möglichst großen Klasse elementarer Funktionen ermöglichen sollen, um ein breites Anwendungsspektrum zu bedienen. Diese Regeln basieren allesamt auf dem Grundkonzept der Ableitung, dem Differentialquotienten. Die Idee dahinter ist, aus den bekannten Beständen, also der Ursprungsfunktion, die Veränderungsraten direkt zu berechnen. In vielen Lehrtexten wird die Ableitung der quadratischen Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ als Standardbeispiel zur Erläuterung des Differentialquotienten herangezogen, wobei die erste binomische Formel das entscheidende Hilfsmittel ist.^[76][77][78] Für die gesuchte Ableitungsfunktion gilt ${\displaystyle f'(x)=2x,}$ und die ${\displaystyle 2}$ rührt von der ersten binomischen Formel her.