Benutzer:Sabata/Dunford-Funktionalkalkül

Der Dunford-Funktionalkalkül von Nelson Dunford besagt, dass für gewisse Funktionen ${\displaystyle f}$ und gewisse lineare Operatoren ${\displaystyle A}$ der Ausdruck ${\displaystyle f(A)}$ wieder ein Operator ist. Grundlage für den Kalkül bildet der cauchysche Integralsatz. Die Idee geht auf Frigyes Riesz zurück. Dunford veröffentlichte 1943 im Bulletin of the American Mathematical Society den Kalkül für beschränkte lineare Operatoren und holomorphe Funktionen. Dies konnte später auf sektorielle Operatoren verallgemeinert werden.

Für einen beschränkten linearen Operator ${\displaystyle A}$ auf einem komplexen Banachraum ${\displaystyle X}$ bezeichne ${\displaystyle {\mathcal {H}}(T)}$ die Menge aller Funktionen ${\displaystyle f}$, die auf einer Umgebung ${\displaystyle U_{f}}$ des Spektrums ${\displaystyle \sigma (A)}$ von ${\displaystyle A}$ holomorph sind, wobei ${\displaystyle U_{f}}$ aus endlich vielen rektifizierbaren Jordan-Kurven bestehen muss und von der Funktion abhängen kann. Da ${\displaystyle A}$ beschränkt ist, ist das Spektrum kompakt, und der cauchysche Integralsatz liefert die Existenz des Dunford-Integrals

${\displaystyle f(A):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial U_{f}}f(\lambda )R(\lambda ,A)\mathrm {d} \lambda }$,

wobei ${\displaystyle R(\lambda ,A)}$ die Resolvente von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle \lambda }$ bezeichnet. Das Integral ist unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle U_{f}}$, solange die genannten Voraussetzungen erfüllt sind.

Wie Luigi Fantappié bereits 1928 für endliche Matrizen gezeigt hat, gilt für ${\displaystyle f,g,f_{n}\in {\mathcal {H}}(A)}$ und ${\displaystyle a,b,a_{n}\in \mathbb {C} }$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

• ${\displaystyle af(A)+bf(A)=(af+bg)(A)}$
• ${\displaystyle f(A)\cdot g(A)=(f\cdot g)(A)}$
• Gilt ${\displaystyle f(\lambda )=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f_{n}(\lambda }$ für alle ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$, so konvergiert die Summe über ${\displaystyle a_{n}A^{n}}$ in der Operatornorm und es gilt ${\displaystyle f(T)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}A^{n}}$.

Außerdem gilt der Spektralabbildungssatz ${\displaystyle f(\sigma (A))=\sigma (f(A))}$.

Im Falle von unbeschränkten Operatoren ergibt sich das Problem, dass das Spektrum unbeschränkt sein kann, und damit der cauchysche Integralsatz nicht mehr so einfach angewandt werden kann. Fordert man allerdings zusätzlich zur Holomorphie von ${\displaystyle f}$ noch die Beschränktheit und einen Abfall von ${\displaystyle f(\lambda )}$ für große ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$, kann mit Hilfe des Satzes von Lebesgue das Dunford-Integral analog zu oben definiert werden. Sei ${\displaystyle A}$ ein sektorieller Operator mit Sektor ${\displaystyle \Sigma _{\delta _{A}}:=\{\lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}:|\arg \lambda |<\delta \}}$ auf einem Banachraum ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\Sigma _{\delta })}$ bezeichne alle holomorphen Funktionen ${\displaystyle f:\Sigma _{\delta }\rightarrow \mathbb {C} }$ für ${\displaystyle \delta \in (\delta _{A},\pi ]}$. Dann seien weiter ${\displaystyle |f|_{\alpha ,\beta }^{\delta }:=\sup _{|\lambda |\leq 1}|\lambda ^{\alpha }f(\lambda )|+\sup _{|\lambda |\geq 1}|\lambda ^{-\beta }f(\lambda )|}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\alpha ,\beta }(\Sigma _{\delta }):=\{f\in {\mathcal {H}}(\Sigma _{\delta }):|f|_{\alpha ,\beta }^{\delta }<\infty \}}$. Statt ${\displaystyle U_{f}}$ wird über den Weg ${\displaystyle \Gamma :=(\infty ,0]e^{i\varphi }\cup [0,\infty )e^{-i\varphi }}$ für ${\displaystyle \varphi \in (\delta _{A},\delta )}$ integriert. Dann existiert das Dunford-Integral

${\displaystyle f(A):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(\lambda )R(\lambda ,A)\mathrm {d} \lambda }$

für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}_{0}(\Sigma _{\delta }):=\bigcup _{\alpha ,\beta <0}{\mathcal {H}}_{\alpha ,\beta }(\Sigma _{\delta })}$ und ist ein beschränkter linearer Operator.

Auch hier gilt ein Spektralabbildungssatz: ${\displaystyle {\overline {f(\sigma (A))}}\subset \sigma (f(A))\subset {\overline {\Sigma _{\varphi }(A)}}}$.