Störgröße und Residuum

Störgrößen sind nicht mit den Residuen zu verwechseln. Man unterscheidet die beiden Konzepte wie folgt:

• Unbeobachtbare zufällige Störgrößen ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ : Messen den vertikalen Abstand zwischen Beobachtungspunkt und theoretischer (wahrer) Gerade
• Residuum ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}}$ : Messen den vertikalen Abstand zwischen empirischer Beobachtung und der geschätzten Regressionsgerade

In der einfachen linearen Regression mit dem Modell der linearen Einfachregression ${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}$  sind die gewöhnlichen Residuen gegeben durch

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}$ .

Hierbei handelt es sich um Residuen, da vom wahren Wert ein geschätzter Wert abgezogen wird. Genauer gesagt werden von den Beobachtungswerten ${\displaystyle y_{i}}$  die angepassten Werte (englisch fitted values) ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}$  abgezogen. In der einfachen linearen Regression werden an die Störgrößen für gewöhnlich zahlreiche Annahmen getroffen (siehe Annahmen über die Störgrößen).

Die Residualvarianz (auch Restvarianz genannt) ist eine Schätzung der Varianz der Regressionsfunktion in der Grundgesamtheit ${\displaystyle \operatorname {Var} (y\mid X=x)=\operatorname {Var} (\beta _{0}+\beta _{1}x+\varepsilon )=\sigma ^{2}=\operatorname {konst} }$ . In der einfachen linearen Regression ist eine durch die Maximum-Likelihood-Schätzung gefundene Schätzung gegeben durch

${\displaystyle {\tilde {s}}_{\varepsilon }^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i})^{2}}$ .

Allerdings erfüllt der Schätzer nicht gängige Qualitätskriterien für Punktschätzer und wird daher nicht oft genutzt.^[2] Beispielsweise ist der Schätzer nicht erwartungstreu für ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ . In der einfachen linearen Regression lässt sich unter den Voraussetzungen des klassischen Modells der linearen Einfachregression zeigen, dass eine erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ , d. h. eine Schätzung, die ${\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\sigma }}^{2})=\sigma ^{2}}$  erfüllt, gegeben ist durch die um die Anzahl der Freiheitsgrade adjustierte Variante:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-2}}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i})^{2}}$ .

Die positive Quadratwurzel dieser erwartungstreuen Schätzfunktion wird auch als Standardfehler der Regression bezeichnet.

In der einfachen linearen Regression lassen sich die Residuen als Funktion der Störgrößen ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$  für jede einzelne Beobachtung schreiben als^[3]

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=\varepsilon _{i}-({\hat {\beta }}_{0}-\beta _{0})-({\hat {\beta }}_{1}-\beta _{1})x_{i}}$ .

Die KQ-Regressionsgleichung wird so bestimmt, dass die Residuenquadratsumme zu einem Minimum wird. Äquivalent dazu bedeutet das, dass sich positive und negative Abweichungen von der Regressionsgeraden ausgleichen. Wenn das Modell der linearen Einfachregression einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, dann muss also gelten, dass die Summe der Residuen Null ist^[4]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}$ 

Da die Residuen im Gegensatz zu den Störgrößen beobachtbar und berechnete Größen sind, können sie graphisch dargestellt oder auf andere Weise untersucht werden. Im Gegensatz zur einfachen linearen Regression, bei der eine Gerade bestimmt wird, bestimmt man bei der multiplen linearen Regression (Erweiterung der einfachen linearen Regression auf ${\displaystyle p}$  Regressoren) eine Hyperebene, die durch die Punktwolke verläuft. Falls zwei Regressoren vorliegen, liegen die Beobachtungen bildlich gesprochen über beziehungsweise unter der Regressionsebene. Die Differenzen der beobachteten und der vorhergesagten, auf der Hyperebene liegenden ${\displaystyle y}$ -Werte, stellen die Residuen dar.^[5] Für sie gilt:

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i1}-{\hat {\beta }}_{2}x_{i2}-\dotsc -{\hat {\beta }}_{k}x_{ik}}$ .

Die Residuen, die durch die Kleinste-Quadrate-Schätzung gewonnen werden, werden gewöhnliche Residuen genannt. Wenn zusätzlich ${\displaystyle n}$  Beobachtungen vorliegen, dann sind die gewöhnlichen KQ-Residuen in der multiplen linearen Regression gegeben durch^[6][7]

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}=\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {b} =\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\right)\mathbf {y} =(\mathbf {I} -\mathbf {P} )\mathbf {y} }$ ,

wobei ${\displaystyle \mathbf {Q} :=(\mathbf {I} -\mathbf {P} )}$  eine Projektionsmatrix, oder genauer gesagt die idempotente und symmetrische Residualmatrix darstellt und ${\displaystyle \mathbf {b} =(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} }$  den KQ-Schätzer im multiplen Fall darstellt.

Die gewöhnlichen Residuen sind im Mittel ${\displaystyle 0}$ , d. h.

${\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}})=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{1}\\{\hat {\varepsilon }}_{2}\\\vdots \\{\hat {\varepsilon }}_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} }$ 

Die Kovarianzmatrix der gewöhnlichen Residuen ist gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {Cov} ({\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}})=\operatorname {Cov} (\mathbf {Q} \mathbf {y} )=\mathbf {Q} \operatorname {Cov} (\mathbf {y} )\mathbf {Q} ^{\top }=\mathbf {Q} \operatorname {Cov} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {Q} =\operatorname {Cov} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {Q} \mathbf {Q} =\sigma ^{2}(\mathbf {I} -\mathbf {P} )=\sigma ^{2}\mathbf {Q} }$ .

Die gewöhnlichen Residuen sind also heteroskedastisch, da

${\displaystyle \operatorname {Cov} ({\boldsymbol {\hat {\varepsilon }}})=\sigma ^{2}(\mathbf {I} -\mathbf {P} )=\sigma ^{2}\mathbf {Q} \neq \sigma ^{2}\mathbf {I} }$ .

Dies bedeutet, dass für die gewöhnlichen Residuen die Gauß-Markow-Annahmen nicht erfüllt sind, da die Homoskedastizitätsannahme ${\displaystyle \operatorname {Cov} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\sigma ^{2}\mathbf {I} }$  nicht zutrifft.

Mithilfe der Prädiktions- und der Residualmatrix lässt sich zeigen, dass die Residuen mit den vorhergesagten Werten unkorreliert sind^[8]

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\mathbf {y} }}=\left(\left(\mathbf {I} -\mathbf {P} \right)\mathbf {y} \right)^{\top }\mathbf {P} \mathbf {y} =\mathbf {y} ^{\top }\left(\mathbf {I} -\mathbf {P} \right)\mathbf {P} \mathbf {y} =\mathbf {y} ^{\top }\left(\mathbf {P} -\mathbf {P} \right)\mathbf {y} =\mathbf {0} }$ .

Partielle Residuen-Streudiagramme werden mithilfe von partiellen Residuen erstellt, die definiert sind durch

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{x_{j},i}:=y_{i}-{\hat {\beta }}_{1}-{\hat {\beta }}_{2}x_{i2}-\ldots -{\hat {\beta }}_{j-1}x_{i,j-1}-{\hat {\beta }}_{j+1}x_{i,j+1}-\ldots -{\hat {\beta }}_{k}x_{i,k}=y_{i}-\mathbf {x} _{t}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\beta }}}+{\hat {\beta }}_{j}x_{ij}}$ .

Für dieses einfache Modell sei die Versuchsplanmatrix

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}\\\vdots &\vdots \\1&x_{n}\end{pmatrix}}}$ 

gegeben. Die Prädiktionsmatrix ${\displaystyle \mathbf {P} }$  ist die Matrix der Orthogonalprojektion auf den Spaltenraum der Versuchsplanmatrix. ${\displaystyle \mathbf {P} }$  ist gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }}$ .

Die statistischen Hebelwerte ${\displaystyle p_{ii}}$  sind die ${\displaystyle i}$ -ten Diagonalelemente der Prädiktionsmatrix. Die Varianz des ${\displaystyle i}$ -ten Residuums ist gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\widehat {\varepsilon }}_{i})=\sigma ^{2}(1-p_{ii})}$ .

In diesem Fall hat die Versuchsplanmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$  nur zwei Spalten, was zu folgender Varianz führt

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\widehat {\varepsilon }}_{i})=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {1}{n}}-{\frac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}$ .

Die dazugehörigen studentisierten Residuen lauten

${\displaystyle t_{i}={{\widehat {\varepsilon }}_{i} \over {\widehat {\sigma }}{\sqrt {1-p_{ii}\ }}}}$ .

Die studentisierten Residuen sind identisch (aber nicht unabhängig) verteilt und damit insbesondere homoskedastisch. Sie könnten somit eine Lösung für die Verletzung der Homoskedastizitätsannahme darstellen.

Bildet man die Summe der quadrierten Residuen für alle Beobachtungen, so erhält man die Residuenquadratsumme:

${\displaystyle SQR:=\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}$ .

Diese spezielle Abweichungsquadratsumme taucht in vielen statistischen Maßen, wie z. B. dem Bestimmtheitsmaß, der F-Statistik und diversen Standardfehlern, wie dem Standardfehler der Regression auf. Die Minimierung der Residuenquadratsumme führt zum Kleinste-Quadrate-Schätzer.

• Mittlerer absoluter Fehler
• Spezielle Residuen in der Überlebenszeitanalyse:
  • Schoenfeld-Residuen
  • Cox-Snell-Residuen
  • Score-Residuen
  • Devianz-Residuen
  • Exzess-Residuen
  • Martingal-Residuen

1. ↑ Ulrich Kockelkorn: Lineare statistische Methoden. De Gruyter 2018, ISBN 978-3-486-78782-5, S. 281 (abgerufen über De Gruyter Online).
2. ↑ Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 109.
3. ↑ Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 55.
4. ↑ Manfred Precht und Roland Kraft: Bio-Statistik 2: Hypothesentests–Varianzanalyse–Nichtparametrische Statistik–Analyse von Kontingenztafeln–Korrelationsanalyse–Regressionsanalyse–Zeitreihenanalyse–Programmbeispiele in MINITAB, STATA, N, StatXact und TESTIMATE: 5., völlig überarb. Aufl. Reprint 2015, De Gruyter, Berlin Juni 2015, ISBN 978-3-486-78352-0 (abgerufen über De Gruyter Online), S. 299.
5. ↑ Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. ISBN 978-3-486-73967-1, S. 25 (abgerufen über De Gruyter Online).
6. ↑ Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 77.
7. ↑ Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. ISBN 978-3-486-73967-1, S. 27 (abgerufen über De Gruyter Online).
8. ↑ Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. ISBN 978-3-486-73967-1, S. 27 (abgerufen über De Gruyter Online).