Sophie-Germain-Primzahl

p = 2 ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn 2p + 1 = 5 ist prim. Das Gleiche gilt für 3, 5 und 11.

p = 7 ist keine Sophie-Germain-Primzahl, da 2p + 1 = 15 nicht prim ist.

Zwischen 1 und 10.000 gibt es die folgenden 190 Sophie-Germain-Primzahlen:

Die ersten Sophie-Germain-Primzahlen ${\displaystyle p}$  kann man auch dem folgenden OEIS-Link entnehmen:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, … (Folge A005384 in OEIS)

Die dazugehörigen sicheren Primzahlen ${\displaystyle 2p+1}$  sind die folgenden:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, … (Folge A005385 in OEIS)

Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten Sophie-Germain-Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes.

• Eine Sophie-Germain-Primzahl kann im Dezimalsystem niemals die Endziffer 7 haben.

Beweis:

Sei p eine Primzahl mit Endziffer 7. Dann kann man p darstellen als p = 10k + 7. Dann gilt: 2p + 1 = 20k + 14 + 1 = 20k + 15 = 5·(4k + 3).

Das bedeutet, 2p + 1 ist durch 5 teilbar, aber größer als 14, also nicht prim. ${\displaystyle \Box }$ 

• Alle Sophie-Germain-Primzahlen ${\displaystyle p>3}$  gehören der Restklasse ${\displaystyle p\equiv 5{\pmod {6}}}$  an, haben also die Form ${\displaystyle p=6n+5}$  mit ganzzahligem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .

Beweis:

Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6), r ≡ 2 (mod 6) und r ≡ 4 (mod 6) sind gerade und demnach durch 2 teilbar.

Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6) und r ≡ 3 (mod 6) sind durch 3 teilbar.

Zwar existieren Primzahlen in der Restklasse r ≡ 1 (mod 6), jedoch ergibt 2·(6n+1)+1 = 12n+3 = 3·(4n+1) – und 3·(4n+1) ist durch 3 teilbar.

Als einzige Sechser-Restklasse für die Sophie-Germain-Primzahlen bleibt die Restklasse r ≡ 5 (mod 6) übrig. Nur in diesem Fall hat die zu einer Sophie-Germain-Primzahl gehörende sichere Primzahl die Form 2·(6n+5)+1 = 12n+11 ≡ 5 (mod 6) und kann prim sein. ${\displaystyle \Box }$ 

Die folgende Eigenschaft wurde von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange bewiesen:

Ist p > 3 eine Sophie-Germain-Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4), dann ist 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl M(p).

Beispiel:

p = 11 ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn 2p+1 = 23 ist prim. Weiter ist 11 ≡ 3 (mod 4), denn 11 dividiert durch 4 ergibt als Rest 3.

Die 11. Mersenne-Zahl M(11) = 2¹¹-1 = 2047 ist also nicht prim, sondern durch 2p+1 = 23 teilbar; konkret ist M(11) = 23 · 89.

1922 veröffentlichten Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood ihre Vermutung bzgl. der Häufigkeit von Sophie-Germain-Primzahlen:

Die Anzahl aller Sophie-Germain-Primzahlen unterhalb einer Grenze N beträgt ungefähr

${\displaystyle {2C_{2}\int \limits _{2}^{N}{\cfrac {1}{\ln(x)\ln(2x+1)}}\;\mathrm {d} x\approx {\cfrac {2C_{2}N}{\ln ^{2}(N)}}}}$ 

mit C₂ = 0,6601618158 (siehe Primzahlzwillingskonstante). Diese Formel kann man mit den bekannten Sophie-Germain-Primzahlen recht gut bestätigen. Für N = 10⁴ liefert die Vorhersage 156 Sophie-Germain-Primzahlen, was einen Fehler von 18 % zur exakten Anzahl von 190 bedeutet. Für N = 10⁷ liefert die Vorhersage 50822, was bereits nur noch 9 % vom exakten Wert 56032 entfernt ist. Eine numerische Approximation des Integrals liefert noch bessere Ergebnisse, etwa 195 für N = 10⁴ (Fehler nur noch 2,6 %) und 56128 für N = 10⁷ (Fehler fast vernachlässigbar bei 0,17 %).

Die Dichte der Sophie-Germain-Primzahlen fällt in der Größenordnung um ln(N)-mal stärker als die der Primzahlen selbst. Sie findet Anwendung für eine genauere Laufzeitabschätzung für den AKS-Primzahltest, der die Primeigenschaft in polynomialer Zeit feststellen kann.

Bei einer Cunningham-Kette der ersten Art handelt es sich, mit Ausnahme der letzten Zahl, um eine Folge von Sophie-Germain-Primzahlen. Ein Beispiel für eine solche Kette ist die Folge: 2, 5, 11, 23, 47.

Man vermutet, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, aber ein Beweis dafür wurde bis heute nicht gefunden.

1. ↑ Man unterscheidet mögliche Lösungen der Fermatschen Gleichung in zwei Fälle: der erste Fall bedeutet, dass der Exponent p kein Teiler von a·b·c ist.
2. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Sophie Germain (p). Prime Pages, abgerufen am 4. Juni 2020. 
3. ↑ Liste der größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 4. Juni 2020. 
4. ↑ 2618163402417·2^1290000 - 1 auf primegrid.com (PDF)
5. ↑ 2618163402417·2^1290000 - 1 auf Prime Pages
6. ↑ 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁷ - 1 auf primegrid.com (PDF)
7. ↑ 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁷ - 1 auf Prime Pages
8. ↑ 183027·2²⁶⁵⁴⁴⁰ - 1 auf Prime Pages
9. ↑ 648621027630345·2²⁵³⁸²⁴ - 1 auf Prime Pages
10. ↑ 620366307356565·2²⁵³⁸²⁴ - 1 auf Prime Pages
11. ↑ 1068669447·2²¹¹⁰⁸⁸ - 1 auf Prime Pages
12. ↑ 99064503957·2²⁰⁰⁰⁰⁸ - 1 auf Prime Pages
13. ↑ 607095·2¹⁷⁶³¹¹ - 1 auf Prime Pages
14. ↑ 48047305725·2¹⁷²⁴⁰³ - 1 auf Prime Pages
15. ↑ 137211941292195·2¹⁷¹⁹⁶⁰ - 1 auf Prime Pages

• Eric W. Weisstein: Sophie Germain Prime. In: MathWorld (englisch).
• Sophie Germain Prime. In: PlanetMath. (englisch)
• Die größten bekannten Sophie-Germain-Primzahlen (englisch)