Satz von Toponogow

Zu jeder Zahl ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$  und jedem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  gibt es eine eindeutige einfach zusammenhängende ${\displaystyle n}$ -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle E_{\delta }^{n}}$  der Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle \delta }$ . Für ${\displaystyle \delta >0}$  ist dies die Sphäre vom Radius ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\delta }}}}$ , für ${\displaystyle \delta =0}$  der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  und für ${\displaystyle \delta <0}$  der mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-\delta }}}}$  skalierte hyperbolische Raum.

Ein geodätisches Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$  in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$  ist ein Dreieck mit Ecken ${\displaystyle a,b,c\in M}$ , dessen drei Seiten minimierende Geodäten sind.

Sei ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$  eine obere Schranke für die Schnittkrümmungen in ${\displaystyle M}$ , also ${\displaystyle K_{M}\leq \delta }$ . Dann gibt es zu jedem geodätischen Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$  mit Seitenlängen ${\displaystyle d(a,b),d(a,c),d(b,c)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {\delta }}}}$  (insbesondere zu jedem geodätischen Dreieck falls ${\displaystyle \delta <0}$ ) ein Vergleichsdreieck ${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$  in ${\displaystyle E_{\delta }^{2}\subset E_{\delta }^{n}}$  mit

${\displaystyle d(a,b)=\lVert a^{\prime }-b^{\prime }\rVert ,\ d(a,c)=\lVert a^{\prime }-c^{\prime }\rVert ,\ d(b,c)=\lVert b^{\prime }-c^{\prime }\rVert }$ .

Dieses Dreieck ist bis auf Kongruenz eindeutig, wenn entweder ${\displaystyle \delta \leq 0}$  oder ${\displaystyle \delta >0}$  und alle Seitenlängen kleiner als ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\delta }}}}$  sind. Man hat dann eine Vergleichsabbildung

${\displaystyle \partial \Delta (a,b,c)\rightarrow \partial \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$ ,

die (zum Beispiel) jedem Punkt ${\displaystyle x}$  auf der Seite ${\displaystyle (a,b)}$  den entsprechenden Punkt ${\displaystyle x^{\prime }}$  auf der Seite ${\displaystyle (a^{\prime },b^{\prime })}$  (d. h. den eindeutigen Punkt mit ${\displaystyle \lVert x^{\prime }-a^{\prime }\rVert =d(x,a)}$ ) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

Es sei ${\displaystyle M}$  eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ${\displaystyle K_{M}\geq \delta }$  für eine Zahl ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$ . Sei

${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })\subset E_{\delta }^{2}}$ 

ein Vergleichsdreieck zu einem geodätischen Dreieck

${\displaystyle \Delta (a,b,c)\subset M}$ .

Dann gilt

${\displaystyle d_{E_{\delta }^{2}}(x^{\prime },c^{\prime })\leq d_{M}(x,c)}$ 

für alle ${\displaystyle x\in \left[a,b\right]\subset \partial \Delta (a,b,c)\subset M}$ .

Ein entsprechender Satz gilt für obere Krümmungsschranken, wobei man hier weitere Voraussetzungen benötigt.

Sei ${\displaystyle M}$  eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ${\displaystyle K_{M}\leq \delta }$ . Falls ${\displaystyle \delta \leq 0}$  sei ${\displaystyle M}$  einfach zusammenhängend, und falls ${\displaystyle \delta >0}$  habe das geodätische Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)\subset M}$  Seitenlängen höchstens ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\delta }}}}$ .

Dann gilt für das Vergleichsdreieck ${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })\subset E_{\delta }^{2}}$ 

${\displaystyle d_{E_{\delta }^{2}}(x^{\prime },c^{\prime })\geq d_{M}(x,c)}$ 

für alle ${\displaystyle x\in \left[a,b\right]\subset \partial \Delta (a,b,c)\subset M}$ .

Aus dem Satz von Toponogow folgt, dass Hadamard-Mannigfaltigkeiten (einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung) CAT(0)-Räume sind und alle dementsprechenden Eigenschaften haben: sie sind zusammenziehbar, je zwei Punkte lassen sich durch eine eindeutige Geodäte verbinden und für Geodäten ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$  ist die Funktion ${\displaystyle d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$  konvex.

• Chavel, Isaac (2006), Riemannian Geometry; A Modern Introduction (second ed.), Cambridge University Press
• Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4417-5

• W. Meyer: Toponogov's Theorem and Applications
• J. Eschenburg: Comparison Theorems in Riemannian Geometry
• U. Lang, V. Schroeder: On Toponogov's Comparison Theorem for Alexandrov Spaces