Reflexive Relation

Ist ${\displaystyle M}$  eine Menge und ${\displaystyle R\subseteq M\times M}$  eine zweistellige Relation auf ${\displaystyle M}$ , dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

${\displaystyle R}$  ist reflexiv :${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:xRx}$ 

${\displaystyle R}$  ist irreflexiv :${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:\neg \ xRx}$ 

• Die Kleiner-Gleich-Relation ${\displaystyle \leq }$  auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets ${\displaystyle x\leq x}$  gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation ${\displaystyle \geq }$ .

• Die gewöhnliche Gleichheit ${\displaystyle =}$  auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets ${\displaystyle x=x}$  gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

• Die Teilmengenbeziehung ${\displaystyle \subseteq }$  zwischen Mengen ist reflexiv, da stets ${\displaystyle A\subseteq A}$  gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

• Die Kleiner-Relation ${\displaystyle <}$  auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie ${\displaystyle x<x}$  gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation ${\displaystyle >}$ .

• Die Ungleichheit ${\displaystyle \neq }$  auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie ${\displaystyle x\neq x}$  gilt.

• Die echte Teilmengenbeziehung ${\displaystyle \subset }$  zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie ${\displaystyle A\subset A}$  gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

${\displaystyle xRy:\Longleftrightarrow y=x^{2}}$ 

Grund: Für ${\displaystyle x:=1}$  gilt ${\displaystyle xRx}$ , für ${\displaystyle x:=2}$  gilt ${\displaystyle \neg xRx}$ .

Jede beliebige Relation ${\displaystyle R}$  auf einer Menge ${\displaystyle M}$  kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von ${\displaystyle M}$ . Vom Knoten ${\displaystyle a}$  zum Knoten ${\displaystyle b}$  wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ${\displaystyle a\longrightarrow b}$ ) gezogen, wenn ${\displaystyle aRb}$  gilt.

Die Reflexivität von ${\displaystyle R}$  lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten ${\displaystyle a}$  gibt es eine Schleife ${\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}}$ . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten ${\displaystyle a}$  eine Schleife ${\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}}$  gibt.

• Mit Hilfe der identischen Relation ${\displaystyle Id_{M}}$  (die aus allen Paaren ${\displaystyle (x,x)}$  besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:

  ${\displaystyle R}$  ist reflexiv ${\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\subseteq R}$ 

  ${\displaystyle R}$  ist irreflexiv ${\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\cap R=\varnothing }$ 

• Ist die Relation ${\displaystyle R}$  reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation ${\displaystyle R^{-1}}$ . Beispiele: die zu ${\displaystyle \leq }$  konverse Relation ist ${\displaystyle \geq }$ , die zu ${\displaystyle <}$  konverse ist ${\displaystyle >}$ .

• Ist die Relation ${\displaystyle R}$  reflexiv, dann ist die komplementäre Relation ${\displaystyle R^{\rm {c}}}$  irreflexiv. Ist ${\displaystyle R}$  irreflexiv, dann ist ${\displaystyle R^{\rm {c}}}$  reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch

  ${\displaystyle xR^{\rm {c}}y:\Longleftrightarrow \neg xRy}$ .

• Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

• Nichtsättigungsaxiom
• Reflexive Hülle
• Reflexiv-transitive Hülle