Quotiententopologie

Es sei ${\displaystyle X}$  ein topologischer Raum und ${\displaystyle q\colon X\to Y}$  eine surjektive Abbildung von Mengen. Dann ist die durch ${\displaystyle q}$  induzierte Quotiententopologie auf ${\displaystyle Y}$  diejenige, in der eine Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq Y}$  genau dann offen ist, wenn das Urbild ${\displaystyle q^{-1}(U)}$  offen ist.

• Als unmittelbare Folge der Definition ist die Abbildung ${\displaystyle q}$  stetig.
• Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie auf ${\displaystyle Y}$ , für die die Abbildung ${\displaystyle q}$  stetig ist.
• Versieht man ${\displaystyle Y}$  mit der Quotiententopologie, so ist ${\displaystyle q}$  eine Quotientenabbildung: Ist ${\displaystyle Z}$  ein weiterer topologischer Raum und ${\displaystyle f\colon Y\to Z}$  eine Abbildung der zugrundeliegenden Mengen, so ist ${\displaystyle f}$  genau dann stetig, wenn ${\displaystyle f\circ q}$  stetig ist (universelle Eigenschaft der Quotiententopologie):

• Ist ${\displaystyle \sim }$  eine Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum, so versieht man die Menge ${\displaystyle X/{\sim }}$  der Äquivalenzklassen meist ohne weitere Erwähnung mit der von der kanonischen Abbildung ${\displaystyle X\to X/{\sim }}$  induzierten Quotiententopologie.
• Ist insbesondere ${\displaystyle G}$  eine topologische Gruppe und ${\displaystyle H}$  eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ , so versieht man die homogenen Räume ${\displaystyle G/H}$  und ${\displaystyle H\backslash G}$  mit der Quotiententopologie.
• Zusammenschlagen eines Teilraumes zu einem Punkt: Ist ${\displaystyle X}$  ein topologischer Raum und ${\displaystyle Z}$  eine Teilmenge von ${\displaystyle X}$ , so bezeichnet ${\displaystyle X/Z}$  die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation, bei der zwei Punkte ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$  äquivalent heißen, wenn sie gleich sind oder beide in ${\displaystyle Z}$  liegen. Die Abbildung ${\displaystyle X\to X/Z}$  ist außerhalb von ${\displaystyle Z}$  injektiv, und das Bild von ${\displaystyle Z}$  ist ein einzelner Punkt.

• Es sei ${\displaystyle X=[0,1]}$  das Einheitsintervall und ${\displaystyle Y=S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}}$  die Einheitskreislinie. Dann ist die durch die Abbildung

${\displaystyle f\colon X\to Y,\quad t\mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)}$ 

induzierte Quotiententopologie auf ${\displaystyle Y}$  gleich der Teilraumtopologie von ${\displaystyle Y}$  als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ .

• Ist ${\displaystyle X=[0,1]}$  das Einheitsintervall und ${\displaystyle Z=\{0,1\}\subset X}$ , so ist der durch Zusammenschlagen von ${\displaystyle Z}$  zu einem Punkt entstehende Raum ${\displaystyle X/Z}$  homöomorph zur Kreislinie ${\displaystyle S^{1}}$ . Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie das erste Beispiel, jedoch waren dort die Zielmenge und die Abbildung schon explizit gegeben, hier entstand sie erst durch die beim Zusammenschlagen implizite Äquivalenzrelation.
• Der homogene Raum ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$  ist ebenfalls homöomorph zur Kreislinie ${\displaystyle S^{1}.}$ 
• Im Gegensatz dazu besteht der Raum, den man erhält, wenn man die Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  von ${\displaystyle \mathbb {R} }$  zu einem Punkt zusammenschlägt, anschaulich gesprochen aus abzählbar unendlich vielen Kreisen, die in einem Punkt zusammengeklebt wurden.
• Ist ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$  eine ganze Ringerweiterung, so ist die durch die induzierte stetige Spektrenabbildung ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\phi )\colon \operatorname {Spec} (B)\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} (A)}$  induzierte Quotiententopologie auf ${\displaystyle \operatorname {Spec(A)} }$  identisch mit der Zariski-Topologie auf diesem Raum.

• Klaus Jänich: Topologie (Springer-Lehrbuch). 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21393-7.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.