Elementare Gruppenwirkung

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$  wirke auf einem hyperbolischen Raum ${\displaystyle X}$ . Die Limesmenge ${\displaystyle \Lambda (G)\subset \partial _{\infty }X}$  ist definiert als die Menge der Häufungspunkte der Bahn eines beliebigen Punktes ${\displaystyle x\in X}$  im Rand im Unendlichen ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ .

Die Gruppenwirkung heißt elementar, wenn die Limesmenge aus höchstens zwei Punkten besteht.

Kleinsche Gruppen sind diskrete Untergruppen von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {C} )}$  mit ihrer Wirkung auf dem 3-dimensionalen hyperbolischen Raum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ . Elementare Kleinsche Gruppen sind vollständig klassifiziert.^[1][2] Die Klassifikation lässt sich für torsionsfreie Gruppen wie folgt formulieren.

Eine nichttriviale elementare torsionsfreie Kleinsche Gruppe ist zu einer der folgenden Typen konjugiert

• eine parabolische zyklische Gruppe erzeugt von ${\displaystyle z\mapsto z+1}$ ,
• eine parabolische abelsche Gruppe vom Rang 2 erzeugt von ${\displaystyle z\mapsto z+1}$  und ${\displaystyle z\mapsto z+\tau }$  mit ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>1,\vert \tau \vert \geq 1}$ ,
• eine loxodromische zyklische Gruppe erzeugt von ${\displaystyle z\mapsto \lambda z}$  mit ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}}$ .

• A. Beardon: The geometry of discrete groups. Graduate Texts in Mathematics 91, Springer 1983
• B. Maskit: Kleinian groups. Springer 1987
• K. Matsuzaki, M. Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Science Publications 1998

1. ↑ Beardon, op. cit.
2. ↑ Maskit, op.cit.