Bieberbachsche Sätze

Die Isometriegruppe ${\displaystyle Isom(\mathbb {R} ^{n})}$  des ${\displaystyle n}$ -dimensionalen euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  ist die Gruppe

${\displaystyle Isom(\mathbb {R} ^{n})=O(n)\ltimes \mathbb {R} ^{n}}$ ,

wobei ${\displaystyle O(n)}$  die orthogonale Gruppe, bestehend aus Spiegelungen und Drehungen um den Nullpunkt, ist und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  als Gruppe der Verschiebungen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  aufgefasst wird.

Eine kristallographische Gruppe vom Rang ${\displaystyle n}$  ist eine diskrete und kokompakte Untergruppe

${\displaystyle \Gamma \subset Isom(\mathbb {R} ^{n})}$ .

Dabei bedeutet Kokompaktheit, dass die Gruppe einen kompakten Fundamentalbereich hat.

1. Wenn ${\displaystyle \Gamma }$  eine kristallographische Gruppe vom Rang ${\displaystyle n}$  ist, dann ist die Menge aller Verschiebungen in ${\displaystyle \Gamma }$  eine maximale abelsche Untergruppe von endlichem Index.

2. Es gibt nur eine endliche Anzahl von Isomorphieklassen kristallographischer Gruppen vom Rang ${\displaystyle n}$ .

3. Zwei kristallographische Gruppen ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}}$  sind dann und nur dann isomorph, wenn sie innerhalb der Gruppe der affinen Transformationen ${\displaystyle A(n):=GL(n,\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}}$  konjugiert sind, d. h. wenn es ein ${\displaystyle A\in A(n)}$  mit ${\displaystyle A\Gamma _{1}A^{-1}=\Gamma _{2}}$  gibt.

Der 1. Bieberbachsche Satz hat auch eine Umkehrung, mit der kristallographische Gruppen abstrakt innerhalb der Gruppentheorie charakterisiert werden können. Sie wurde 1947 von Zassenhaus bewiesen.

Satz: Eine Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$  ist genau dann eine kristallographische Gruppe vom Rang ${\displaystyle n}$ , wenn sie eine normale maximale abelsche Untergruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$  von endlichem Index hat.

• L. Bieberbach: Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. (Erste Abhandlung.). Math. Ann. 70, 297–336 (1911). online
• L. Bieberbach: Über die Bewegungsgruppen der euklidischen Räume. (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich. Math. Ann. 72, 400–412 (1912). online
• H. Zassenhaus: Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen. Comment. Math. Helv. 21, 117–141 (1948).