Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning beskriver forholdet mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Det er en af de grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri. Den siger, at i alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat lig hypotenusens kvadrat. Sætningen kan også udtrykkes som ligning, idet kateternes længder benævnes ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ og hypotenusens benævnes ${\displaystyle c}$, ligesom på illustrationen:

${\displaystyle {a^{2}}+{b^{2}}={c^{2}}\!}$

Det er derfor muligt at beregne en sidelængde i en retvinklet trekant, når de to andre sidelængder er kendte. Fx findes hypotenusen ${\displaystyle c}$ ved at tage kvadratroden af summen af ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$s kvadrater, altså

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,}$

Læresætningen er opkaldt efter Pythagoras. Princippet var velkendt både for egyptere og babylonere^[1] længe før Pythagoras' tid, når det gjaldt en trekant med målene 3, 4 og 5; men Pythagoras beviste, at princippet gjaldt i alle tilfælde. ^[2]

Sæt af heltalige løsninger til den pythagoræiske læresætning kaldes pythagoræiske tal.

Der findes flere måder at bevise den pythagoræiske læresætning på.

Det omskrevne kvadrat har arealet:

${\displaystyle A=(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\!}$

Det samme areal kan beregnes som summen af arealerne af de fire trekanter og arealet af det indskrevne kvadrat:

${\displaystyle A=4\cdot \left({\frac {a\cdot b}{2}}\right)+c^{2}=2\cdot a\cdot b+c^{2}\!}$

Disse to forskellige udtryk for det samme areal sættes lig hinanden:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b=2\cdot a\cdot b+c^{2}\!}$

Denne ligning reduceres til:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!}$

Hermed er sætningen bevist.

${\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}$

${\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad e={\frac {b^{2}}{c}}\quad (2)}$

Fra billedet ${\displaystyle c=d+e\,\!}$. Og ved at erstatte ligninger (1) og (2):

${\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}$

Mangedobling for c:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}$

Der findes imidlertid også en udvidet pythagoræisk læresætning, som gælder for alle trekanter, ikke kun de retvinklede. Denne kaldes cosinusrelationen. Den kaldes den udvidede Pythagoras, da den for det første i sin opbygning minder meget om Pythagoras' læresætning og desuden er beviset for sætningen baseret herpå.

Cosinusrelationerne er givet ved

${\displaystyle {a^{2}}={b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}\!}$,

hvor ${\displaystyle A}$ er vinklen mellem linjerne ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$. Her er det lige meget hvilke af siderne der benævnes med ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$.

Den omvendte sætning af den pythagoræiske læresætning er også sand. Det vil sige at hvis længden af siderne i en trekant opfylder: :${\displaystyle {a^{2}}+{b^{2}}={c^{2}}}$, så er vinkel C en ret vinkel, og derfor er trekanten retvinklet.

• Retvinklet trekant
• Sinusrelation
• Cosinusrelation.

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Den pythagoræiske læresætning
• Bevis fra Hans Christian Andersen: Formens evige Magie Arkiveret 29. oktober 2013 hos Wayback Machine