Sffêr

Mae sffêr (enw gwrywaidd; o'r Groeg σφαῖρα - sphaira, "pelen") yn wrthrych geometrig perffaith mewn gofod tri dimensiwn; dyma wyneb pêl cwbwl gron sy'n cyfateb yn nhermau dau ddimensiwn i gylch.^[1]

Fel cylch mewn gofod dau ddimensiwn, diffinnir sffêr yn fathemategol fel y set o bwyntiau sydd i gyd ar yr un pellter r o bwynt penodol, ond mewn man tri dimensiwn.^[2] Y pellter r yw radiws y bêl, sydd wedi'i ffurfio o bob pwynt gyda pellter llai na r o'r pwynt a roddir, sef canolbwynt / canol y bêl fathemategol. Cyfeirir at y rhain hefyd fel "y radiws" a "chanol y cylch". Mae'r linell syth hiraf drwy'r bêl, sy'n cysylltu dwy bwynt y sffêr, yn mynd trwy'r canol gyda'i hyd, felly, ddwywaith y radiws; dyma "ddiamedr" y sffêr a'i bêl.

Ar y cae pêl-droed a mannau eraill y tu allan i fyd mathemateg, caiff y ddau air 'sffêr' a 'phêl eu cyfnewid a'u camddefnyddio'n aml. O fewn mathemateg, perchir y gwahaniaeth, lle mae sffêr yn arwyneb caeedig dau ddimensiwn, wedi'i fewnosod mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn, ac ar y llaw arall, mae'r bêl yn siâp tri dimensiwn sy'n cynnwys y sffêr a phopeth y tu mewn i'r sffêr (pêl caeedig), neu, yn amlach, dim ond y pwyntiau y tu mewn, ond nid ar y sffêr (pêl agored). Nid yw'r gwahaniaeth hwn bob amser wedi'i gynnal, yn enwedig mae hen gyfeiriadau mathemategol lle ddisgrifir sffêr yn wrthrych solat. Mae hyn yn debyg i'r sefyllfa yn y plân, lle mae'r termau "cylch" a "disg" hefyd cael eu camddefnyddio.

Mewn geometreg dadansoddol, mae sffêr sydd a'i ganol (x₀, y₀, z₀) a'i radiws r yn locws i holl bwyntiau (x, y, z), fel bod

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

Gadewch i a, b, c, d, e fod yn rhifau real, gyda a ≠ 0, a rhowch

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

yna, nid oes gan yr hafaliad

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

unrhyw bwyntiau real fel datrysiadau os ${\displaystyle \rho <0}$, ac fe'i gelwir yn "sffêr dychmygol".

Os ${\displaystyle \rho =0}$ yna'r unig ddatrysiad o ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ yw'r pwynt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ a dywedir bod yr hafaliad yn "hafaliad y sffêr pwynt". Yn olaf, yn achos ${\displaystyle \rho >0}$, yna ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ yw hafaliad y sffêr sydd a'i ganol yn ${\displaystyle P_{0}}$ a'i radiws yn ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$.^[2]

Os yw a yn yr hafaliad uchod yn sero, yna f(x, y, z) = 0 yw hafaliad y plân. Felly, gellir ystyried plân yn fath o sffêr gyda radiws anfeidraidd, sydd a'i ganolbwynt yn "bwynt anfeidraidd" (point at infinity).^[3]

Gellir rhoi pwyntiau sffêr gyda radiws ${\displaystyle r>0}$ a'i ganol ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ar baramedr, drwy:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \varphi \;\cos \theta \\y&=y_{0}+r\sin \varphi \;\sin \theta \qquad (-{\pi }/2\leq \varphi \leq {\pi }/2,\;0\leq \theta <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \varphi \,\end{aligned}}}$^[4]

Mae sffêr gyda'i radiws wedi'i ganoli ar sero yn arwyneb integrol o'r ffurf wahaniaethol ganlynol:

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

Mae'r hafaliad hwn yn adlewyrchu safle a fectorau cyflymder pwynt, (x, y, z) a (dx, dy, dz), sy'n teithio ar y sffêr, ac sydd bob amser yn orthogonol i'w gilydd.

Mewn gofod tri dimensiwn, mae cyfaint oddi mewn i sffêr (sef cyfaint pêl) yn:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

lle mae r yn radiws y sffêr. Archimedes a luniodd y fformiwla hon yn gyntaf, gan fynegi fod y cyfaint y tu mewn i sffêr ddwywaith y gwahaniaeth cyfaint y sffêr a chyfaint y silindr sy'n ei amgylchynu.

Yn fyr, gellir canfod fformiwla ei gyfaint drwy ddefnyddio cyfesurynnau sfferig, gydag elfennau'r cyfaint yn

${\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }$

fel bod

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

Yn ymarferol, ac fel brasamcan, mae cyfaint mewnol sffêr yn 52.4% o gyfaint y ciwb, gan fod V = π/6 d³, ble d yw diamedr y sffêr a hyd ochr y ciwb a π/6 ≈ 0.5236. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda diamedr o 1 fetr 52.4% o gyfaint y ciwb sydd a hyd ei ymylon yn 1 fetr, neu tua 0.524 m³.

Arwynebedd sffêr gyda'i radiws yn r yw:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$