Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo nebo metoda determinantů je matematický vzorec pro popis řešení soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí determinantů matice soustavy a matic z ní získaných nahrazením jednoho sloupce vektorem pravých stran. Je pojmenována po Gabrielu Cramerovi (1704–1752), který v roce 1750 publikoval pravidlo pro libovolný počet neznámých.^[1]

Cramerovo pravidlo má především teoretický význam, protože výpočet mnoha determinantů obvyklým způsobem je výpočetně náročný. V praxi se proto pro řešení soustav používají jiné metody numerické matematiky.

Nechť čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ je matici soustavy ${\displaystyle n}$ lineárních rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých (čili počet neznámých i rovnic je shodný). Nechť ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}}$ je matice, získaná z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ nahrazením ${\displaystyle i}$-tého sloupce sloupcem pravých stran.

Konkrétně, pro matici soustavy ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$a vektor pravých stran ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$

má ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}}$ tvar:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$

Pokud je matice soustavy ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ regulární, pak má soustava právě jedno řešení. Jednotlivé složky řešení ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathrm {T} }}$ jsou určeny podíly ^[2]

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}$.

Konkrétně, pro soustavu o dvou neznámých

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}a_{11}\,x_{1}&+&{a_{12}}\,x_{2}&=&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}\,x_{1}&+&{a_{22}}\,x_{2}&=&\color {green}{b_{2}}\end{array}}}$

s rozšířenou matici soustavy

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}{a_{11}}&{a_{12}}&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\color {green}{b_{2}}\end{array}}\right)}$

je řešení dáno vzorci:

${\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}b_{1}&a_{12}\\\color {green}b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}b_{1}}{a_{22}}-{a_{12}}{\color {green}b_{2}}}{{a_{11}}{a_{22}}-{a_{12}}{a_{21}}}}}$ a

${\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}{a_{11}}&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}&\color {green}{b_{2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}={\frac {{a_{11}}{\color {green}{b_{2}}}-{\color {green}{b_{1}}}{a_{21}}}{{a_{11}}{a_{22}}-{a_{12}}{a_{21}}}}}$

Pravidlo platí nejen v oboru reálných či komplexních čísel, ale i pro soustavy lineárních rovnic s koeficienty a neznámými v libovolném tělese.

Reálná soustava lineárních rovnic:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}{1}\,x_{1}&+&{2}\,x_{2}&=&\color {green}{3}\\{4}\,x_{1}&+&{5}\,x_{2}&=&\color {green}{6}\end{array}}}$

dává rozšířenou matici soustavy:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}{1}&{2}&\color {green}{3}\\{4}&{5}&\color {green}{6}\end{array}}\right)}$

Podle Cramerova pravidla je řešení soustavy určeno podíly:

${\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}3&2\\\color {green}6&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}3}\cdot {5}-{2}\cdot {\color {green}6}}{{1}\cdot {5}-{2}\cdot {4}}}={\frac {3}{-3}}=-1}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}{1}&\color {green}{3}\\{4}&\color {green}{6}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{1}&{2}\\{4}&{5}\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {\color {green}{6}}-{\color {green}{3}}\cdot {4}}{{1}\cdot {5}-{2}\cdot {4}}}={\frac {-6}{-3}}=2}$

Pro soustavu lineárních rovnic:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcr}x_{1}&+&2\,x_{2}&+&5\,x_{3}&=&\color {green}7\\2\,x_{1}&+&3\,x_{2}&&&=&\color {green}4\\3\,x_{1}&+&5\,x_{2}&+&3\,x_{3}&=&\color {green}9\\\end{array}}}$

s rozšířenou maticí

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&5&\color {green}7\\2&3&0&\color {green}4\\3&5&3&\color {green}9\end{array}}\right)}$

jsou složky řešení podle Cramerova pravidla dána podíly:

${\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}7&2&5\\\color {green}4&3&0\\\color {green}9&5&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}7}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {\color {green}9}+{5}\cdot {\color {green}4}\cdot {5}-{\color {green}7}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {\color {green}9}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {4}{2}}=2}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}1&\color {green}7&5\\2&\color {green}4&0\\3&\color {green}9&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}+{\color {green}7}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {\color {green}9}-{1}\cdot {0}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {0}{2}}=0}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{3}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}1&2&\color {green}7\\2&3&\color {green}4\\3&5&\color {green}9\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {3}\cdot {\color {green}9}+{2}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}+{\color {green}7}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {\color {green}4}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {3}\cdot {3}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {2}{2}}=1}$

Řešení soustavy splňuje vztah

${\displaystyle x_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$,

neboli ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {a}}_{j}={\boldsymbol {b}}}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{j}}$ značí ${\displaystyle j}$-tý sloupec matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Pro matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, sloupcový index ${\displaystyle i}$ a libovolný vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ značí symbol ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {v}}]}$ matici, která vznikne z ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ nahrazením jejího ${\displaystyle i}$-tého sloupce vektorem ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$. Mimo jiné platí již dříve zavedená notace ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}={\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {b}}]}$.

Cramerovo pravidlo vyplývá ze dvou vlastností determinantu:

• Determinant je multilineární vzhledem ke sloupcům (i řádkům) matice, tj. lineární vůči každému jednotlivému sloupci (řádku) a
• je alternující vzhledem k pořadí sloupů (řádků), což má mimo jiné za následek, že determinant matice se dvěma shodnými sloupci (řádky) je nulový.

Z linearity determinantu vyplývá:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {b}}])=\det {\biggl (}{\boldsymbol {A}}{\biggl [}{\boldsymbol {a}}_{i}{\bigg /}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {a}}_{j}{\biggr ]}{\biggr )}=\det {\biggl (}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])}$

V rozvinutém tvaru lze tento krok zapsat:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{1j}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{nj}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle =x_{1}{\begin{vmatrix}\color {green}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{11}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\color {green}\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\color {green}a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{n1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots x_{i-1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &\color {green}a_{1,i-1}&\color {green}a_{1,i-1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\color {green}\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &\color {green}a_{n,i-1}&\color {green}a_{n,i-1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle +x_{i}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&a_{1i}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&a_{ni}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle +x_{i+1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{1,i+1}&\color {green}a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\color {green}\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{n,i+1}&\color {green}a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{1n}&a_{1,i+1}&\cdots &\color {green}a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\color {green}\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{nn}&a_{n,i+1}&\cdots &\color {green}a_{nn}\\\end{vmatrix}}}$

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{i}]}$ je totožná s ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, protože fakticky nedošlo k žádnému nahrazení. Pro každé ${\displaystyle j\neq i}$ má matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]}$ svůj ${\displaystyle i}$-tý sloupec shodný s ${\displaystyle j}$-tým (zvýrazněny zeleně) a její determinant je roven nule.

Po vyloučení nulových členů ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]}$ pro ${\displaystyle j\neq i}$ se výraz redukuje na:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{i}]=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}}$

Odtud Cramerovo pravidlo vyplývá vydělením obou stran nenulovým výrazem ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}}$.

Krátký důkaz Cramerova pravidla začíná pozorováním, že ${\displaystyle x_{i}}$ je determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}}$, která vznikne z jednotkové matice ${\displaystyle \mathbf {I} }$ nahrazením ${\displaystyle i}$-tého sloupce ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ vektorem řešení ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$. V notaci předchozího důkazu jde o matici:

${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}=\mathbf {I} [\mathbf {e} _{i}/{\boldsymbol {x}}]={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &x_{1}&\cdots &0\\0&1&\cdots &x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Za předpokladu, že původní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je regulární, lze sloupce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}}$ vyjádřit výrazy ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{i-1},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{i+1},\ldots ,{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{n})}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{j}}$ je ${\displaystyle j}$-tý sloupec matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Připomeňme, že sloupce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}}$ jsou ${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{i-1},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}}_{i+1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n})}$, a proto ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}_{i}}$.

Zbývá využít fakt, že determinant součinu dvou matic je součinem determinantů, z čehož vyplývá:

${\displaystyle x_{i}=\det {\boldsymbol {X}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}^{-1})\det {\boldsymbol {A}}_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {b_{j}}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ označíme ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{ji}}$, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

${\displaystyle {\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ji}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}$

Zlomek ve výrazu je prvkem ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{-1})_{i,j}}$ inverzní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$.

${\displaystyle {\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}=\sum _{j=1}^{n}({\boldsymbol {A}}^{-1})_{i,j}b_{j}=({\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}})_{i}}$

Protože ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}}$ a ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}\neq 0}$, je ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}}$ a tedy

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}$

Cramerovo pravidlo implementované naivním způsobem je výpočetně neefektivní již pro soustavy s více než třemi rovnicemi.^[3] V případě ${\displaystyle n}$ rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých vyžaduje výpočet ${\displaystyle n+1}$ determinantů, zatímco Gaussova eliminace dává výsledek se stejnou výpočetní složitostí jako výpočet jediného determinantu.^[4][5]  Cramerovo pravidlo může být také numericky nestabilní i pro soustavy o dvou rovnicích.^[6] Nedávno se však ukázalo, že Cramerovo pravidlo lze implementovat se stejnou složitostí jako Gaussova eliminace ^[7][8] (vyžaduje dvakrát tolik aritmetických operací a má stejnou numerickou stabilitu, pokud jsou použity stejné permutační matice).

Cramerovo pravidlo lze použít k důkazu, že problém celočíselného programování, jehož matice omezení je totálně unimodulární a jehož pravá strana je celočíselná, má celočíselná bázická řešení, což výrazně usnadňuje řešení úlohy.

Cramerovo pravidlo se používá k odvození obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice metodou variace konstant.

Cramerovo pravidlo se používá v Ricciho kalkulu v různých výpočtech zahrnujících Christoffelovy symboly prvního a druhého druhu.^[9]

Cramerovo pravidlo lze zejména využít v důkazu, že operátor divergence na Riemannově varietě je invariantní vzhledem ke změně souřadnic.

Cramerovo pravidlo publikoval v roce 1750 Gabriel Cramer ve své knize Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques.^[1] V něm explicitně uvedl vzorce pro lineární soustavy rovnic až se třemi rovnicemi a popsal, jak lze vytvořit vzorce řešení pro soustavy rovnic s více rovnicemi. Protože determinant ještě nebyl zaveden, použil zlomky s polynomem v čitateli a jmenovateli. Jak ukazuje následující úryvek z původní práce, jsou totožné s polynomy Leibnizova vzorce .

Tento úryvek ukazuje, že Cramer ještě nepoužíval dnešní zápis soustav lineárních rovnic, protože v něm by vzorec zněl:

${\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}a_{22}a_{33}-b_{1}a_{32}a_{23}-b_{2}a_{12}a_{33}+b_{2}a_{32}a_{13}+b_{3}a_{12}a_{23}-b_{3}a_{22}a_{13}}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}}}$

Sám Cramer si byl vědom, že soustavy lineárních rovnic nemají vždy jednoznačné řešení.^[10] Étienne Bézout pak v roce 1764 ukázal, pokud soustavu rovnic nelze jednoznačně vyřešit, je determinant matice soustavy (jmenovatel ve výše uvedeném výrazu) nulový.^[10] Cramer svůj vzorec nijak nedokázal, to provedl až Augustin Louis Cauchy v roce 1815. Cauchy též zavedl dodnes používanou notaci pro zápis Cramerova pravidla.

Již v roce 1678 si Cramerovo pravidlo zapsal Gottfried Wilhelm Leibniz ve svém rukopise. Ten však byl objeven až později a neměl tak žádný vliv na vývoj metod řešení soustav lineárních rovnic.^[10] Speciální případy Cramerova pravidla pro soustavy dvou nebo tří rovnic popsal Colin Maclaurin ve svém Pojednání o algebře, publikovaném v roce 1748. Přestože měl nápad rozšířit tyto vzorce i na soustavy rovnic s více rovnicemi, nenašel na rozdíl od Cramera žádné pravidlo, jak správně nastavit znaménka v použitých polynomech.^[11] Carl Benjamin Boyer vyvolal ve 20. století spor mezi matematickými historiky, zda byl objevitelem vzorce Maclaurin nebo Cramer. Doporučil, aby pravidlo bylo přejmenováno na Maclaurinovo-Cramerovo.^[12]

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Cramersche Regel na německé Wikipedii a Cramer's rule na anglické Wikipedii.

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Adjungovaná matice
• Determinant
• Matice
• Regulární matice
• Soustava lineárních rovnic

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cramerovo pravidlo na Wikimedia Commons
• Online výpočet soustav lineárních rovnic