Límit de Bekenstein

En física, la cota o límit de Bekenstein (anomenada així en honor a Jacob Bekenstein) és un límit superior de l'entropia termodinàmica S, o entropia de Shannon H, que es pot contenir dins d'una regió finita determinada de l'espai que té una quantitat finita d'energia, o al contrari, la quantitat màxima d'informació necessària per descriure perfectament un sistema físic donat fins al nivell quàntic.^[1] Implica que la informació d'un sistema físic, o la informació necessària per descriure perfectament aquest sistema, ha de ser finita si la regió de l'espai i l'energia són finites. En informàtica això implica que els models no finits com les màquines de Turing no es poden realitzar com a dispositius finits.

La forma universal de l'enllaç va ser trobada originalment per Jacob Bekenstein el 1981 com la desigualtat ^[2][3][4]$${\displaystyle S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}$$on S és l'entropia, k és la constant de Boltzmann, R és el radi d'una esfera que pot incloure el sistema donat, E és la massa-energia total que inclou les masses en repòs, ħ és la constant de Planck reduïda i c és la velocitat de llum. Tingueu en compte que, tot i que la gravetat té un paper important en la seva aplicació, l'expressió de l'enllaç no conté la constant gravitatòria G, i per tant, s'hauria d'aplicar a la teoria quàntica de camps en l'espai-temps corbat.

L'entropia del límit Bekenstein-Hawking dels forats negres tridimensionals satura exactament el límit. El radi de Schwarzschild ve donat per$${\displaystyle A=4\pi r_{\rm {s}}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$$i utilitzant la longitud de Planck

$${\displaystyle l_{\rm {P}}^{2}=\hbar G/c^{3},}$$l'entropia de Bekenstein-Hawking és$${\displaystyle S={\frac {kA}{4\ l_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}}.}$$Una interpretació de l'enllaç fa ús de la fórmula microcanònica per a l'entropia,

$${\displaystyle S=k\log \Omega ,}$$on ${\displaystyle \Omega }$ és el nombre d'estats propis d'energia accessibles al sistema. Això equival a dir que la dimensió de l'espai de Hilbert que descriu el sistema és ^[5]$${\displaystyle \dim {\mathcal {H}}=\exp \left({\frac {2\pi RE}{\hbar c}}\right).}$$El lligat està estretament associat amb la termodinàmica del forat negre, el principi hologràfic i l'entropia covariant lligat de la gravetat quàntica, i es pot derivar d'una forma forta conjecturada d'aquesta última.^[6]

Bekenstein va derivar el límit a partir d'arguments heurístics relacionats amb els forats negres. Si existeix un sistema que viola el límit, és a dir, en tenir massa entropia, Bekenstein va argumentar que seria possible violar la segona llei de la termodinàmica baixant-la a un forat negre. El 1995, Ted Jacobson va demostrar que les equacions de camp d'Einstein (és a dir, la relativitat general) es poden derivar assumint que la cota de Bekenstein i les lleis de la termodinàmica són certes.^[7] No obstant això, mentre que es van idear una sèrie d'arguments que mostren que ha d'existir alguna forma de cota perquè les lleis de la termodinàmica i la relativitat general fossin mútuament coherents, la formulació precisa de la cota va ser un tema de debat fins al treball de Casini el 2008.^{[8][9][10][11][12][13][14][15][16]}