Equacions de London

Les equacions de London, desenvolupades pels germans Fritz i Heinz London l'any 1935,^[1] són relacions constitutives per a un superconductor que relacionen el seu corrent superconductor amb els camps electromagnètics dins i al seu voltant. Mentre que la llei d'Ohm és la relació constitutiva més simple per a un conductor normal, les equacions de London són la descripció més senzilla i significativa dels fenòmens superconductors i formen la gènesi de gairebé qualsevol text introductori modern sobre el tema.^[2][3][4] Un gran triomf de les equacions és la seva capacitat per explicar l'efecte Meissner,^[5] on un material expulsa exponencialment tots els camps magnètics interns quan creua el llindar de superconducció.

Hi ha dues equacions de London quan s'expressen en termes de camps mesurables:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Aquí ${\displaystyle {\mathbf {j} }}$ és la densitat de corrent (superconductora), E i B són, respectivament, els camps elèctric i magnètic dins del superconductor, ${\displaystyle e\,}$ és la càrrega d'un electró o protó, ${\displaystyle m\,}$ és la massa dels electrons, i ${\displaystyle n_{s}}$^[6] és una constant fenomenològica vagament associada amb una densitat de nombre de portadors superconductors.

Les dues equacions es poden combinar en una única "Equació de London" ^[7][8] en termes d'un potencial vectorial específic ${\displaystyle {A}_{s}}$^[9] que s'ha fixat a "l'ample de London", donant:

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{s}.}$

A l'indicador de London, el potencial vectorial obeeix als requisits següents, assegurant-se que es pot interpretar com una densitat de corrent:^[10]

• ${\displaystyle {\text{div}}\mathbf {A} _{s}=0,}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{s}=0}$ a la massa del superconductor,
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{s}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,}$ on ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ és el vector normal a la superfície del superconductor.

Aquests requisits suprimeixen tota la llibertat de gauge i determinen de manera única el potencial vectorial. També es pot escriure l'equació de London en termes d'un calibre arbitrari^[11] ${\displaystyle \mathbf {A} }$ simplement definint ${\displaystyle \mathbf {A} _{s}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )}$, on ${\displaystyle \phi }$ és una funció escalar i ${\displaystyle \nabla \phi }$ és el canvi de calibre que desplaça el calibre arbitrari al de London. L'expressió de potencial vectorial és vàlida per als camps magnètics que varien lentament a l'espai.^[12]