Constant de Gelfond

En matemàtiques, la constant de Gelfond és un nombre transcendent definit com el nombre d'Euler e elevat al nombre pi π:

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926900572908636794854738026610624260021199344504640952434235\dots \,.}$^[1]

Té aquest nom en honor del matemàtic rus Alexander Gelfond que el 1934 va provar-ne la transcendència mitjançant el teorema de Gelfond-Schneider.

La seva fracció contínua no és ni finita ni perìòdica i és ${\displaystyle e^{\pi }=[23,7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,...]}$,^[1] és a dir:

${\displaystyle e^{\pi }=23+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{591+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

Segons el teorema de Gelfond-Schneider (1934), siguin a i b dos nombres algebraics, si b no és un nombre racional, llavors a^b sempre serà un nombre transcendent. Aquest teorema va ser demostrat per Aleksandr Gelfond l'any 1934 i de manera independent per Theodor Schneider el 1935, resolent així el setè dels 23 problemes de Hilbert.^[2]

Ara bé, ni el nombre pi ni el nombre e no són nombres algebraics, ja que no són arrels de cap polinomi no nul de coeficients racionals. Convé modificar la constant de Gelfond per obtenir una expressi�� compatible amb el teorema. Això es pot fer de tres maneres diferents.

Es parteix de la fórmula d'Euler:

${\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}$

Substituint la x per π/2 tindrem:

${\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.}$

Elevant a i en ambdues bandes i recordant que ${\displaystyle i^{2}=-1}$:

${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}=i^{i},}$

Elevant a -2 a banda i banda:

${\displaystyle e^{\pi }=i^{-2i};}$

I tractant-se ${\displaystyle i^{-2i}}$ d'un nombre transcendent en cumplir-se el teorema de Gelfond-Schneider, es demostra que ${\displaystyle e^{\pi }}$ és un nombre transcendent.

Tenint en compte que ${\displaystyle i(-i)=1}$ i que ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$, es té que:

${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$

Llavors, en ser -1 un nombre algebraic i -i un nombre algebraic no racional, es compleix el teorema de Gelfond-Schneider i es demostra que ${\displaystyle e^{\pi }}$ és un nombre transcendent.

Partint de les propietats dels logaritmes naturals complexos, i recordant que:

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi \quad \quad \left({\text{ja que}}\quad e^{i\pi }=-1\right)}$

${\displaystyle (-1)^{-i}=e^{ln(-1)-i}=e^{-(o+{i\pi })i}=e^{-\pi i^{2}}=e^{\pi }}$

Per tant, queda demostrat que ${\displaystyle e^{\pi }=(-1)^{-i}}$ i es compleix, doncs, el teorema de Gelfond-Schneider.

El valor de la constant de Gelfond té la propietat de poder-se obtenir utilitzant la següent seqüència:

Partint del valor de k₀

${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}},}$

I obtenint cada element de la seqüència a través de la fórmula següent

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}.}$

Un cop s'ha arribat al valor de k_n desitjat, n'hi ha prou a agafar:

${\displaystyle e^{\pi }\approx \left({\frac {k_{n}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{n}}}.}$ ^[3]

El volum de la bola n-dimensional ve donada per:

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}$

on ${\displaystyle R}$ és el radi i ${\displaystyle \Gamma (n)}$ és la funció gamma. Tota bola de dimensió parella 2n i de radi la unitat té de volum:

${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}\ }$

I si sumem tots els volums de les boles de dimensió parella de radi 1, obtenim la constant de Gelfond:^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}$

Elevant al quadrat l'expressió que teníem de la constant de Gelfond ${\displaystyle e^{\pi }=i^{-2i};}$, es té que:

${\displaystyle (e^{2\pi })=i^{-4i}={\frac {1}{i^{4i}}}}$

Finalment elevent a ${\displaystyle i}$, i recordant que ${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=1}$

El valor del quadrat de la constant de Gelfond és ${\displaystyle e^{2\pi }\approx 535,491655524764736503049329589047181477805797603294915507...}$ ^[5]

Si es parteix de:

${\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.}$

i llavors s'eleva a ${\displaystyle -i}$ a banda i banda recordant que ${\displaystyle i(-i)=1}$:

${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}=i^{i}.}$

obtenint una nova constant resultat d'elevar la constant de Gelfond a ${\displaystyle -{1}/{2}}$. Aquesta constant és igual a:

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0,20787957635076190854695561983497877003387...}$ ^[6]

que té de coeficients de fracció contínua:

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=[0,4,1,4,3,1,1,1,1,1,1,1,1,7,1,20,1,3,6,10,3,2,1,1,7,2,2,1,1,1,2,7,1,23,28,...]}$^[7]

El nombre invers multiplicatiu de ${\displaystyle i^{i}}$ és

${\displaystyle {\frac {1}{i^{i}}}={(i^{i})}^{-1}=i^{-i}=i^{\frac {1}{i}}={\sqrt[{i}]{i}}=e^{({\frac {\pi }{2}})}\approx 4,810477380965351655473035666703...}$^[8]

que és també un nombre transcendent amb coeficients de fracció contínua:

${\displaystyle e^{({\frac {\pi }{2}})}=[4,1,4,3,1,1,1,1,1,1,1,1,7,1,20,1,3,6,10,3,2,1,1,7,2,2,1,1,1,2,7,1,23,28,...]}$^[7]

Noti's que els coeficients de fracció contínua deriven del cas anterior omitint-ne el primer terme.

e^π i π^e tenen clarament valors diferents, sent e^π > π^e. El valor de e^π és 23,14... i el de π^e és de 22,45.... Tot i així, es pot saber que la constant de Gelfond és més gran sense haver de calcular el valor concret, a partir de la següent funció:^[9]

${\displaystyle y=x^{1/x}}$

Aplicant logaritmes naturals en totes dues bandes i fent la derivada implícita es té que:

${\displaystyle ln({y})=ln({x^{1/x}})={\frac {1}{x}}ln{x}}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}y'={\frac {ln({x})-1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle y'={\frac {y}{x^{2}}}(ln({x})-1)}$

Igualant la derivada a 0 per trobar el màxim de la funció:

${\displaystyle 0={\frac {x^{1/x}}{x^{2}}}(ln({x})-1)}$

Els extrems de la funció es trobaran quan:

${\displaystyle ln({x})=1;x=e}$

Per tant: ${\displaystyle e^{1/e}>x^{1/x}}$ ∀x≠e, i en particular:

${\displaystyle e^{1/e}>\pi ^{1/\pi }}$

I finalment si es multiplica en els dos exponents per ${\displaystyle e\pi }$ i s'aplica el criteri del teorema del sandvitx tenim que:

${\displaystyle e^{\pi }>\pi ^{e}}$

D'altra banda, ${\displaystyle \pi ^{e}\approx 22,4591577183610454734271522045437350275893151339966...}$^[10]

La seva fracció contínua és

${\displaystyle \pi ^{e}=[22;2,5,1,1,1,1,1,3,2,1,1,3,9,15,25,1,1,5,4,1,2,1,1,50,1,1,1...]}$^[11]

El resultat d'elevar la constant de Gelfond a l'arrel de 163 (nombre primer) és la constant de Ramanujan, que té la peculiaritat de ser molt proper a un enter.^[12] Això fa que es pugui confondre amb un enter aproximant-ne el valor i considerant l'error de l'instrument de càlcul. Rep el nom del matemàtic indi Srinivasa Ramanujan, Aquest nombre és també un nombre transcendent. En particular:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743,9999999999992500...\,}$^[13]

Però això no només es dona amb l'arrel de 163, també amb la de 43 i la de 67:

• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743,999777466\,}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743,999998662454\,}$

La constant de Gelfond es pot expressar també com:

${\displaystyle e^{\pi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}={\frac {\pi ^{1}}{1}}+{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+\cdots }$

• El valor de e^π: - π és molt proper a 20, i se'l considera un nombre quasi enter. Es pot constatar constatar expressant-ho de diferents maneres:

• ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 19,99909997918947576726644298466904449606893684322510617247010181721652...\,}$ ^[14]

Que té de coeficients de fracció contínua: {19,1,1119,11,1,2,2,2,2,1,61,3,2083,1,2,1,3,1,2,9,2...}^[15]

• ${\displaystyle cos({ln({20+\pi })})=-0,9999999992...}$

• ${\displaystyle cos({\pi cos({\pi cos({ln({20+\pi })})})})=-1+3,9321609261*10^{-}35}$ ^[16]

• ${\displaystyle e^{\pi }}$ i ${\displaystyle \pi ,}$ són independents algebraicament, demostrat per Yuri V. Nesterenko.^[17]

La constant de Gelfond satisfà l'aproximació:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {23}}}\approx 2^{12}\rho ^{24}-24}$

on ${\displaystyle \rho }$ és el nombre plàstic, i la diferència és de 7,8 x 10^-5

1. Identitat d'Euler
2. Nombres transcendents
3. Nombre pi
4. Nombre e

• http://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html